OUPC2024 Day 1 解説 - Speaker Deck

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OUPC2024 Day 1 解説 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 1

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統計 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 2 問題 AC数全体FA オンサイトFA A 78 C2n2pBB2y(0:00) SuginokiButtaosu(0:01) B 74 UHISHIRO(0:02) compact(0:02) C 49 compact(0:10) compact(0:10) D 12 noshi91(1:00) OUPC_Ajillo(1:38) E 0 ○○○(0:00) ○○○(0:00) F 9 OUPC_Ajillo(1:23) OUPC_Ajillo(1:23) G 0 ○○○(0:00) ○○○(0:00) H 3 compact(2:48) compact(2:48) I 0 ○○○(0:00) ○○○(0:00)

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統計2 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 3 問題 AC数全体FA オンサイトFA J 10 sansen(0:51) OUPC_Ajillo(1:57) K 5 t_am(1:25) tree_univ_of_tree(2:44) L 55 compact(0:19) compact(0:19) M 25 sansen(0:28) tree_univ_of_tree(0:37) N 6 compact(2:22) compact(2:22) O 29 nanj_min(0:30) nanj_min(0:30) P 5 sansen(1:12) tree_univ_of_tree(1:41) Q 66 OUPC_Ajillo(0:09) OUPC_Ajillo(0:09)

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想定難易度・ACチーム数 0 10 20 30 40 50 60 70 80 A B Q C L D N O M J P F H G I E K AC者数(想定難易度順) AC者数 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 4

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オンサイト順位 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 5

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第3位チーム tree_univ_of_tree (KumaTachiRen, m_99, Nachia) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 6

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第2位チーム OUPC_Ajillo (potato167, ebi_fly, KKT89) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 7

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第1位チーム compact (tko919, PCTprobability, noya2ruler) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 8

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解説 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 9

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A:AlphAbet 原案: hint908 解説: littiegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 10

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問題概要英小文字からなる長さ𝑁の文字列𝑆 𝑆の頭文字を𝑐 𝑆に含まれる𝑐をすべて大文字にせよ • 1 ≤ 𝑁 ≤ 100 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 11 ex. kowerkoint→KowerKoint

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解法文字を順に見て行って頭文字と一致していたら変更しましょう 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 12 #include using namespace std; int main() { int N; cin >> N; string S; cin >> S; char initial = S[0]; for (auto &c : S) if (c == initial) c = toupper(c); cout << S << endl; } C++

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解法それ用の関数を用いても可 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 13 #include using namespace std; using ll = long long; int main() { ll N; string S; cin >> N >> S; char old_val = S[0], new_val = (char)toupper(S[0]); replace(S.begin(), S.end(), old_val, new_val); cout << S << endl; } C++ N = input() S = input() print(S.replace(S[0], S[0].upper())) Python

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B:Give Me a Hint 原案: shinchan 解説: littiegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 14

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問題概要 OUPCは𝑁問からなる shinchanは𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝐾 の𝐾問に正解している kotamanegiに𝐶𝑖 円賄賂を渡すと新たに問題𝑖に正解できる 𝑀問解くと優勝最小いくら賄賂を渡せばよい？ • 1 ≤ 𝑁 ≤ 100 • 1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑁 • 1 ≤ 𝐶𝑖 ≤ 100 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 15

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解法優勝のためにはあと𝑀 − 𝐾問解く必要がある 𝑀 − 𝐾 ≤ 0なら賄賂不要 𝑀 − 𝐾 > 0なら解いてない中で必要な賄賂の小さい順に渡せばよい • 解いてない問題のコストを昇順にソートして、前から𝑀 − 𝐾個選ぶ 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 16

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Q:Attack Reaction 原案: Integer1117 改題: KowerKoint 解説: littlegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 17

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問題概要以下の2つの行動で受けるダメージの期待値の小さい方を出力回避 • 20面ダイスを𝐾回振った最小値を𝑥 • 10面ダイスを𝑀回振った総和に𝐷を加えたものを𝑦 • 𝑥 ≤ 𝐻ならば0ダメージ、違えば𝑦ダメージ防御 • 10面ダイスを𝑀回振った総和に𝐷を加えたものを𝑦 • max(0, 𝑦 − 𝐴)ダメージ 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 18 • 1 ≤ 𝐻 ≤ 20 • 1 ≤ 𝑀 ≤ 6 • 1 ≤ 𝐷 ≤ 100 • 1 ≤ 𝐾 ≤ 100,000 • 1 ≤ 𝐴 ≤ 100 誤差1e-6までOK

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解法両方愚直に求められるので求めて小さい方を出力すればよい回避 • 最小値が𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 20)となる確率𝑝𝑖 を求める(上から除原理) • σ 𝑖=𝐻+1 20 𝑝𝑖 ⋅ 𝑦が期待値(𝑦 = 5.5𝑀 + 𝐷) 防御 • 総和が𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 10𝑀)となる確率𝑞𝑖 をdpで求める • σ 𝑖=𝐴−𝐷 10𝑀 𝑞𝑖 ⋅ (𝑖 + 𝐷 − 𝐴)が期待値 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 19

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C:Handai Color 原案: shogo314 解説: littiegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 20

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問題概要 𝑁個のマスが青(B)・黄(Y)・黒(K)のいずれかで塗られている左から𝑖マス目の色は𝑆𝑖 これらのマスを順番を変えずにいくつかの区間に分割し、以下の条件を満たす区間の長さの合計を最大化したい • 連続する同じマスの色を一塊と見たときに3つの部分からなる • 色の並びは左からB,Y,K or K,Y,Bである ex. BBBYKK,KYYYB • 1 ≤ 𝑁 ≤ 106 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 21

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解法左(右)から貪欲みたいなのでは解けない BBYYYYKYYBYKYYYYYB は、 BBYYYYK | YYBY | KYYYYB と区切るのが最適末尾の状態を管理することで耳DPができる 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 22

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耳DP(状態DP) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 23 状態と遷移を有限オートマトンで表せるときに新たに文字を読み込んだ時の状態を管理するdp 今回の場合 𝑑𝑝 𝑖 𝑠 = 𝑖文字目まで読んだときに状態𝑠であるように分割したときの長さの最大値

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解法 𝑑𝑝 𝑖 𝐵 = max 𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐵 , 𝑑𝑝 𝑖 − 1 ∗ + 1 𝑑𝑝 𝑖 𝐾𝑌𝐵 = max 𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐾𝑌𝐵 , 𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐾𝑌 + 1 𝑑𝑝 𝑖 𝐾 = max 𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐾 , 𝑑𝑝 𝑖 − 1 ∗ + 1 𝑑𝑝 𝑖 𝐵𝑌𝐾 = max 𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐵𝑌𝐾 , 𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐵𝑌 + 1 𝑑𝑝 𝑖 𝐵𝑌 = max(𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐵𝑌 , 𝑑𝑝[𝐵]) + 1 𝑑𝑝 𝑖 𝐾𝑌 = max(𝑑𝑝 𝑖 − 1 𝐾𝑌 , 𝑑𝑝[𝐾]) + 1 𝑑𝑝 𝑖 ∗ = max(𝑑𝑝 𝑖 − 1 ∗ , 𝑑𝑝 𝑖 𝐾𝑌𝐵 , 𝑑𝑝[𝑖][𝐵𝑌𝐾]) という遷移が成り立つ。 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 24

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余談 enumを使うと実装が分かりよいセグ木に乗る • 更新クエリ・区間クエリの問題だとしても解ける 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 25 enum State { EMPTY, // "" B, // "B" K, // "K" BY, // "BY" KY, // "KY" BYK, // "BYK" KYB, // "KYB" NUM_STATES }; if (c == 'B') { ndp[B] = max(dp[B], dp[EMPTY]) + 1; ndp[KYB] = max(dp[KYB], dp[KY]) + 1; } if (c == 'K') { ndp[K] = max(dp[K], dp[EMPTY]) + 1; ndp[BYK] = max(dp[BYK], dp[BY]) + 1; } if (c == 'Y') { ndp[BY] = max(dp[BY], dp[B]) + 1; ndp[KY] = max(dp[KY], dp[K]) + 1; } ndp[EMPTY] = max({dp[EMPTY], ndp[BYK], ndp[KYB]});

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L:Double Elimination 原案: hint908 解説: littlegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 26

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問題概要 4𝑁人でプログラミングの大会選手𝑖の強さは𝑖 予選を行い決勝に進む2𝑁人を5回のコンテストで決めるコンテスト:2𝑁人で行い、上位𝑁人が勝者、下位𝑁人が敗者 𝑖番目に強い人が𝑖位を取る 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 27

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問題概要予選の順序 1. 2𝑁人でコンテストA、残り2𝑁人でコンテストB 2. A,Bの勝者でコンテストL。勝者は決勝へ 3. A,Bの敗者でコンテストR 4. Lの敗者とRの勝者でコンテストX。勝者は決勝へ 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 28 ⋯ ⋯ 決勝進出 A B L 上位N人上位N人上位N人 ⋯ ⋯ 決勝進出 R X 上位N人上位N人 A,Bの敗者 Lの敗者

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問題概要選手𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑀 がコンテストAに参加するコンテストAに参加する残り2𝑁 − 𝑀人を一様ランダムに決めるとき選手𝐾の決勝進出確率は？998244353の有理数modで • 1 ≤ 𝑁 ≤ 50,000 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 29

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解法実は強い2𝑁人が必ず決勝進出する • 𝐾 ≥ 2𝑁 + 1ならば1,違えば0を出力すればよい証明上位𝑁人はA,Bで絶対勝つし、Lでも勝つ→決勝進出上位𝑁 + 1～2𝑁人はRで絶対勝つし、Xでも勝つ→決勝進出 (FPSチックな制約にしたので悩んでくれてたら嬉しいらしいです) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 30

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D:Give or Take 原案: hint908 解説: littiegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 31

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問題概要 𝑁枚のカードを用いて先大君と小後君の2人でゲーム 𝑖枚目のカードには𝑎𝑖 が書かれている 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 32 先大君から以下の操作をする • まだ選ばれていないカードを選びどちらかに所持させる 𝑁回の操作後の2人のスコアを以下の和で定める • それぞれの所持しているカードの値の総和 • カード𝑥𝑗 とカード𝑦𝑗 を両方所持しているような𝑧𝑗 の総和 (そのような条件が𝑀個与えられる) 2人とも(自分のスコア) − (相手のスコア)を最大化するように最適に動くときの(先大君のスコア) − (小後君のスコア)は？ • 2 ≤ 𝑁 ≤ 200,000 • 1 ≤ 𝑀 ≤ 100,000 • −109 ≤ 𝑎𝑖 , 𝑧𝑖 ≤ 109

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解法 𝑎 𝑥𝑗 と𝑎 𝑦𝑗 に𝑧𝑗 /2を加えることでスコアの条件の2つ目が無視できる (両方取ったら+𝑧𝑗 で、別々に取ったら±0なので) 1個目の条件だけなら明らかに貪欲に選んでよい • 絶対値の降順でソートして奇数番目を先大、偶数番目を小後が選ぶ • 値が正なら自分で取って、負なら相手に渡す • 絶対値を取ってそのまますべて自分で取るとしてもよい (相手に−𝑎𝑖 と自分に+𝑎𝑖 は等価なので) 実装上はすべて2倍して、最後に2で割るとよい 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 33

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N:Super Knight 原案: shinchan 解説: shinchan 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 34

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問題概要 • 𝑅×𝐶の盤面上で、(𝑥1 , 𝑦1 ) にいるスーパーナイトが、ちょうど2手で、 𝑥2 , 𝑦2 にいるお姫様を助けに行きたい • 1手目として経由する可能性のあるマスの個数を出力 • 𝑅, 𝐶 ≤ 109, 𝑄 ≤ 10000 • 𝑥1 , 𝑥2 ≤ 𝑅, 𝑦1 , 𝑦2 , ≤ 𝐶 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 35 ただのナイトスーパーナイト

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解法スーパーナイトとお姫様が初めから同じマスにいる場合 • 2手目を無視して1手で行けるマスを数える • それぞれのマスは1手で戻ってくれる(明らか) • 算数をすればよい 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 36

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解法同じマスでない場合 • スーパーナイト、お姫様からの方向を固定 • 正負を一緒に考えると4×4通り • それぞれ重複しないので足し合わせられる • 同じ方向 • これも算数 • その方向で1手で行ける位置関係なら算数 • 直線上のマスの個数から 2 を引いたもの • 上記でない場合、0 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 37

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解法同じマスでない場合 • 違う方向 • 高々1通りしかない • 連立方程式を作って解けばよい • 実装上は同じ方向の場合と合わせて、行列を使うと良さそうまとめ • 同じマスの場合 : 算数 • そうでない場合 : 方向を固定して行列とか • 行列式が0なら方向が同じ : 算数 • 0でないなら方向が異なる : 逆行列で一意に 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 38

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O:Perfect Viewing 原案:KowerKoint 解説:KowerKoint 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 39

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問題概要数直線上にビルが𝑁棟並んでいる • 左から𝑖番目のビル𝑖は座標𝑋𝑖 にあり高さ𝐻𝑖 hint908君はビルをいくつか破壊して完璧な景観を作りたい • 完璧な景観:破壊されていない全てのビル同士は互いに見える • ビル𝑖の破壊にはコスト𝐶𝑖 を要する完全な景観にするのに必要な最小コストは？ • 1 ≤ 𝑁 ≤ 3000 • 1 ≤ 𝑋1 < 𝑋2 < ⋯ < 𝑋𝑁 ≤ 109, 1 ≤ 𝐻𝑖 , 𝐶𝑖 ≤ 109 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 40

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解法左から残すビルを決めることにする(残すビルのコストを最大化する) 隣り合う2つのビルの傾きが段々大きくならないとダメ最後2つが分かっていれば序盤はどうでもいい以下のdpができる 𝑑𝑝 𝑖 𝑗 = として、 𝑑𝑝 𝑗 𝑘 = max 𝑖 𝑑𝑝 𝑖 𝑗 + 𝐶𝑘 (ただし、𝑖, 𝑗間の傾きより𝑗, 𝑘間の傾きの方が大きい) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 41 残っているビルの右2つがビル𝑖,ビル𝑗のときの残っているビルのコストの和の最大値

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解法 𝑑𝑝 𝑗 𝑘 = max 𝑖 𝑑𝑝 𝑖 𝑗 + 𝐶𝑘 (傾き𝑖, 𝑗 ≤傾き𝑗, 𝑘) これは以下の手順で𝑂(𝑁2 log 𝑁)で求まる 1. 𝑗を固定して傾き𝑖, 𝑗の小さい順に𝑖をソート 2. ソートした順にパレート最適な(𝑑𝑝 𝑖 𝑗 , 𝑖)を要素に持つ配列を作る (傾き𝑖1 , 𝑗 < 傾き𝑖2 , 𝑗なのに𝑑𝑝 𝑖1 𝑗 ≥ 𝑑𝑝 𝑖2 𝑗 みたいな𝑖2 は無視) 3. 𝑘を固定して、選べる中でdpの値が最大の𝑖を二分探索で見つける全ての(𝑖, 𝑗)を傾き昇順でソートしてもいい二分探じゃなくてセグ木でもいい (PythonのTLがかなり厳しい。(作問側未AC) 伸ばすと枝狩り3乗が通ってしまい…。ごめん) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 42

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M:Ikomiki String 原案: littlegirl112 解説: littlegirl112 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 43

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謝罪 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 44 サンプルの説明に誤りがありました。大変申し訳ありません。

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問題概要「已己巳己」文字列を以下で定義 • 長さ1の文字列 • 長さの等しい相異なる「已己巳己」文字列𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 を 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆2 の順につなげた文字列 ex1. 𝑆 = "ABCB" ex2. 𝑆 = "ABCBBCACCABABCAC“ A,B,C,?からなる長さ4𝐾の文字列𝑆の?をA,B,Cに置き換えて得られる文字列のうち「已己巳己」文字列はいくつ? 998244353で割った余りを出力 • 1 ≤ 𝐾 ≤ 8 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 45

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解法 𝑆を等しい長さで4つに区切って𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 とする • 𝑓(𝑆, 𝑇) 𝑆𝑖 ≠ 𝑇𝑖 のとき片方?ならもう片方に揃える違えば空文字を返す関数 𝑆2 = 𝑓 𝑆2 , 𝑆4 として、𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 の3つで考える 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 がすべて「已己巳己」文字列かつ相異なってほしい 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 46 string ret(len, '_’); for(int i = 0; i < len; i++) { if(S[i] == '?') ret[i] = T[i]; else if(T[i] == '?') ret[i] = S[i]; else if(S[i] == T[i]) ret[i] = S[i]; else return ""; } return ret; ex. 𝑓(A?B?,?C??) = ACB? 𝑓(A?B?,?CC?) = ""

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解法包除で数え上げ • 𝑔 𝑆 : 𝑆に対する答えを求める関数 • 𝑔 𝑆1 , 𝑔 𝑆2 , 𝑔 𝑆3 , 𝑔 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑔 𝑓 𝑆1 , 𝑆3 , 𝑔 𝑓 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑔 𝑓 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 の7つが分かればよくてこれは再帰で求まる • 𝑂(7𝐾) (最初𝐾 ≤ 9にしてて遅い言語にだけメモ化を要求しそうだったので8になった) 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 47 𝑔 𝑆 = 全体 − 𝑆1 = 𝑆2 ≠ 𝑆3 のとき − 𝑆1 = 𝑆3 ≠ 𝑆2 − 𝑆2 = 𝑆3 ≠ 𝑆1 − 𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3 = 𝑔 𝑆1 𝑔 𝑆2 𝑔 𝑆3 − 𝑔 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 𝑔 𝑆3 − 𝑔 𝑓 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 − ቀ ቁ 𝑔 𝑓 𝑆1 , 𝑆3 𝑔 𝑆2 − 𝑔 𝑓 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 − 𝑔 𝑓 𝑆2 , 𝑆3 𝑔 𝑆1 − 𝑔 𝑓 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 − 𝑔 𝑓 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 = 𝑔 𝑆1 𝑔 𝑆2 𝑔 𝑆3 − 𝑔 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 𝑔 𝑆3 − 𝑔 𝑓 𝑆1 , 𝑆3 𝑔 𝑆2 − 𝑔 𝑓 𝑆2 , 𝑆3 𝑔 𝑆1 + 2𝑔 𝑓 𝑓 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3

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J: Revelatory Graph 原案: hint908 解説: hint908 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 48

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問題概要・制約正整数列 X = (X[1], X[2], …, X[Q]) が与えられる条件を満たすようなグラフと正整数列 K = (K[1], K[2], …, K[Q]) を見つけよ • 頂点 1 が始点の長さ K[q] のパスの個数を P で割ったあまりは X[q] • 頂点 I (2 <= I <= N) が始点の長さ K[q] のパスの個数を P で割ったあまりは X[q] でない • Ｋは狭義単調増加 • 頂点数は 30 以下 • グラフは単純連結無向グラフ • Q: 小さい • X[i]: 正整数 • P = 998244353 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 49

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解法簡単なグラフから考えてみる例: 完全グラフ • 頂点 i を始点とする長さ k のパスの個数は (𝑁 − 1)𝑘 → 条件 1, 2 を両立できない • (𝑁 − 1)𝑥≡ 𝑁 − 1 𝑥+ 𝑃−1 (mod 𝑃) → 条件 3 は容易に達成可能 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 50

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解法簡単なグラフから考えてみる例: スターグラフ（ウニグラフ） • 頂点 1 を始点とする長さ k のパスの個数は (𝑁 − 1)ceil 𝑘 2 • 頂点 i (≠ 1)を始点とする長さ k のパスの個数は (𝑁 − 1)floor 𝑘 2 → k を奇数にすれば条件 1, 2を両立できる • (𝑁 − 1)𝑥≡ 𝑁 − 1 𝑥+ 𝑃−1 (mod 𝑃) → 条件 3 は容易に達成可能 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 51

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解法グラフ: N-1 を mod998244353 上の原始根としたスターグラフ正整数列 K: (𝑁 − 1)𝑘≡ 𝑋 𝑞 (mod 𝑃) を満たすようにする • BabyStep GiantStep 法を用いればよい 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 52

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P: Pure OUPC Project 原案: shinchan 改題: hint908 解説: hint908 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 53

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問題概要正整数列 A がある総積が M 以下となるような正整数列 B を考える 𝐴𝑖 𝐵𝑖 ≤ 𝐴𝑖+1 𝐵𝑖+1 となる i の個数を最大化してください • A の各要素を何倍かして、なるべく小さい順にしたい M が複数与えられるので、それぞれについて求める • N: 10^5 • M の個数: 3*10^5 • A[i], M: 10^12 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 54

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解法素直な dp を考える • dp[i][j][k] := • i 番目の要素までで、 • 𝐴𝑥 𝐵𝑥 ≤ 𝐴𝑥+1 𝐵𝑥+1 となる i 未満の x の個数が j 個で、 • 𝐴𝑥 𝐵𝑥 = 𝑘であるような • prod(B) の最小値 • O(N^2 M) 時間でできました 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 55

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解法ポイント: 240 > 1012 • 𝐵𝑥 ≥ 2 となるのは 40 個未満 • 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 かつ 𝐴𝑥 𝐵𝑥 ≤ 𝐴𝑥+1 𝐵𝑥+1 となる x は高々 40 個 • 大小順が正される場所 → 考慮すべき j の個数は 40 個程度 • O(NM logM) 時間でできました 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 56

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F: Repeating Decimal 原案: KowerKoint 解説: KowerKoint 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 57

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問題概要・制約 • 正の整数 𝑥, 𝑦 について、𝑓 𝑥, 𝑦 を、「 𝑥 𝑦 を循環小数で表したときの循環節の長さ」と定義 • 1 8 = 0.1250000 … だから 𝑓 1,8 = 1 • 26 22 = 1.18181818 … だから 𝑓 26,22 = 2 • σ𝑥=𝐴 𝐵 σ𝑦=𝐶 𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 を求めよ • 1 ≤ 𝐴 ≤ 𝐵 ≤ 109 • 1 ≤ 𝐶 ≤ 𝐷 ≤ 109 • 0 ≤ 𝐷 − 𝐶 ≤ 105 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 58

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解法 • 𝑓 𝑥, 𝑦 は、𝑥 𝑦 10𝑡 − 1 が有限小数であるような正の整数 𝑡 の最小値 • 例えば、x = 2, 𝑦 = 55 のとき、 2 55 = 0.03636363 … と 2 55 ⋅ 102 = 3.63636363 … の差を取ると 2 55 ⋅ 102 − 1 = 3.6 となって循環節が打ち消される • 有限小数 ⇔ 整数 𝑛 と非負整数 𝑝, 𝑞 を用いて 𝑛 2𝑝5𝑞 と表される 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 59

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解法 • 𝑥 𝑦 10𝑡 − 1 = 𝑛 2𝑝5𝑞 と表される 𝑡 の最小値が知りたい • 𝑦 から素因数 2,5 を取り除き、さらに 𝑥 𝑦 を約分したものを 𝑥′ 𝑦′ とすると、 𝑥′ 𝑦′ 10𝑡 − 1 = 𝑛 • 𝑥′ と 𝑦′ は互いに素だから、10𝑡 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑦′ となる • 𝑡 = 𝜙 𝑦′ なら明らかに満たし(オイラーの定理)、𝑡 の最小値(位数)は 𝜙 𝑦′ の約数 (ラグランジュの定理) • 𝑡 = 𝜙 𝑦′ から初めて、10𝑡 ≡ 1 を満たす限り順に素因数で割っていけば最小値が得られる 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 60

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解法 • 𝑦 ごとに σ𝑥=𝐴 𝐵 𝑓 𝑥, 𝑦 を求める • 𝑦′ の候補は 𝑦 の約数で、𝑑 𝑦 個とする • 各 𝑦′ について、前述の方法で 𝑡 の最小値を計算する • A ≤ 𝑥 ≤ 𝐵 の各 𝑥 について、約分後分母が 𝑦′ になるものの個数を求めたい → 高速ゼータ変換により 𝑂 𝑑 𝑦 log 𝑦 時間で可能 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 61

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計算量解析 • 𝑁 = 𝐷 − 𝐶 とする • 𝐶 ≤ 𝑦 ≤ 𝐷 の素因数分解→区間篩で 𝑂 𝑁 log 𝐷 時間 • 𝑦 の約数 𝑦′ それぞれについて 𝑥 を高速ゼータ変換で数え上げ→ 𝑂 𝑑 𝑦 log 𝑦 時間 𝐶 ≤ 𝑦 ≤ 𝐷 について足し合わせて 𝑂 𝑁 log 𝑁 + 𝐷 log 𝐷 時間 • 各 𝑦′ について、𝜙 𝑦′ を素因数分解 𝑦 の各素因数 𝑝 に対する 𝑝 − 1 の素因数分解を新たにできれば良い • 𝑝 ≤ 𝐷 の部分は前計算で 𝑂 𝐷 log 𝐷 時間 • 𝑝 > 𝐷 の部分は、y ⋅ 𝑝−1 𝑝 = 𝑦 − 𝑦 𝑝 > 𝐶 − 𝐷 なので、 𝐶 − 𝐷 から 𝐷 まで区間篩をかけておくことで 𝑝 − 1 の素因数分解が含まれるこれは 𝑂 𝑁 + 𝐷 log 𝐷 時間 • 各 𝑦′ について位数を求める →工夫すれば 𝑂 𝑑 𝑦 log 𝑦 時間、足し合わせて𝑂 𝑁 log 𝑁 + 𝐷 log 𝐷 時間 • 以上、合計で𝑂 𝑁 log 𝑁 + 𝐷 log 𝐷 時間 • もう少し愚直にやっても実際は十分間に合う 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 62

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H: Segment Graph 原案: hint908 改題: vwxyz 解説: hint908 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 63

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問題概要・制約 Segment Tree みたいなグラフがある dist(i,j) = 頂点 i と頂点 j の距離とする数列 A に対し、変更クエリに対応しながら以下を求めてください • σ σ dist(𝐴 𝑖 , 𝐴 𝑗 ) • N, Q <= 250000 • A[i] <= 2^20 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 64 0 1 2 3 4 5 6 7 8

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解法奇数頂点から始めたとき、1 足すか 1 引くかのどちらか 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 65 0 1 2 3 4 5 6 7 8

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解法奇数頂点から始めたとき、1 足すか 1 引くかのどちらか基本的には 4 の倍数のほうへ動くべき 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 66 0 1 2 3 4 5 6 7 8

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解法奇数頂点から始めたとき、1 足すか 1 引くかのどちらか基本的には 4 の倍数のほうへ動くべき • 4k+1, 4k+2, 4k+3 間、同じ頂点に存在する場合は例外で帳尻を合わせる 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 67 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 同じ頂点に存在する場合

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解法奇数頂点から始めたとき、1 足すか 1 引くかのどちらか基本的には 4 の倍数のほうへ動くべき • 4k+1, 4k+2, 4k+3 間、同じ頂点に存在する場合は例外で帳尻を合わせる全員偶数頂点に移動し、２で割ると元の問題に帰着 • 繰り返し行う= 全員頂点 0 にたどり着く 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 68 0 1 2 3 4 5 6 7 8

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解法変更クエリに対応するためには以下の値を管理すればよい • σ dist(0, 𝐴 𝑖 ) • 「4k+1, 4k+2, 4k+3 間、同じ頂点に存在する場合は例外で帳尻を合わせる」をした値 • 𝑂 𝑁log𝐴 + 𝑄log𝐴 時間で解けた 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 69

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G: kotamanegi_world 原案: hint908 改題: vwxyz 解説: hint908 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 70

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問題概要・制約正整数 N, X が与えられます N 以下の正整数 n のうち、以下のいずれかを満たすものはいくつありますか？ • n は X の倍数 • 文字列として見たとき、n は X を連続部分文字列として含む • 1 <= X <= N <= 10^18 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 71

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解法条件 • n は X の倍数 • 文字列として見たとき、n は X を連続部分文字列として含む • X の倍数である n の個数 • これは floor(N/X) 個 • X を連続部分文字列として含む n の個数 • X を連続部分文字列として含んでかつ X の倍数である n の個数 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 72

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解法 • X を連続部分文字列として含む n の個数 • X を連続部分文字列として含んでかつ X の倍数である n の個数 • この２つを高速に求めたい考えられる解法 • 桁 dp • X の倍数である n を列挙 • X を連続部分文字列として含む n を列挙 • 上記のいずれでもない斬新な解法 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 73

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解法桁 dp • dp[i][j][k][f] := • 上から i 桁目までみたとき、 • X で割ったあまりは j で、 • 末尾 k 文字が X の先頭 k 文字と一致 / すでに X を連続部分文字列として含み、 • N 未満であることが確定している (f = true/false) • n の個数 • 𝑂(10𝑋log𝑁 log𝑋 + 10log2𝑋) 時間 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 74

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解法 X を連続部分文字列として含む n を考える例: X = 908, n = ???????????? 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 75

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解法 X を連続部分文字列として含む n を考える例: X = 908, n = ??908???908? • 1. X と一致する場所を決め打つ • n = ????????????, ?????????908, ????????908?, …, 908908908908 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 76

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解法 X を連続部分文字列として含む n を考える例: X = 908, n = 31908???9085 • 1. X と一致する場所を決め打つ • n = ????????????, ?????????908, ????????908?, …, 908908908908 • 2. ? のうち、最も長い箇所を残して全探索する • n = 00908???9080, 00908???9081, …, 99908???9089 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 77

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解法 X を連続部分文字列として含む n を考える • 3. 残った ? を変えたときに X の倍数になるものの個数を高速に求める → k = 0,1,…, R のうち 10𝑑𝑘 ≡ 𝑥 (mod 𝑋) を満たすものの個数 → 10𝑑 gcd 10𝑑,𝑋 𝑘 ≡ 𝑥 gcd 10𝑑,𝑋 mod 𝑋 gcd 10𝑑,𝑋 を満たすものの個数 → 𝑘 ≡ ൗ 𝑥 gcd 10𝑑,𝑋 10𝑑 gcd 10𝑑,𝑋 mod 𝑋 gcd 10𝑑,𝑋 を満たすものの個数 → floor 𝑅+ 𝑋 gcd 10𝑑,𝑋 −10−𝑑𝑥 𝑋 gcd 10𝑑,𝑋 個 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 79

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解法 X を連続部分文字列として含む n を考える例: X = 908, n = 31908???9085 • 1. X と一致する場所を決め打つ • 2. ? のうち、最も長い箇所を残して全探索する • 3. 残った ? を変えたときに X の倍数になるものの個数を高速に求める最後に包除原理を用いてうまくまとめる • 高々 𝑂 1 + 10 log𝑁−log𝑋 + log𝑁 log𝑋 時間 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 80

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解法 • 桁dp 解法: 𝑂(10𝑋log𝑁 log𝑋 + 10log2𝑋)時間 • X < 10^5 なら充分高速 • 包除解法: 高々 𝑂 1 + 10 log𝑁−log𝑋 + log𝑁 log𝑋 時間 • X >= 10^4 なら充分高速 • ２つの解法を組み合わせればよい 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 81

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I: Ant on Tetrahedron 原案: shogo314 改題: KowerKoint 解説: shogo314 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 82

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問題概要四面体（直方体を切ったような形）が与えられる表面上を移動する道のりの長さの最小は？ 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 83 O A B C

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解法経路は展開図上の線分になる 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 84 O C B A O O

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解法全ての展開図を考えれば良い全部で16通り 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 85

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解法全ての展開図を考えれば良い全部で16通り本質的には4通り 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 86

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解法実は、展開図から線分がはみ出るかどうかは考えなくてよい（はず）エレガントな証明を求む 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 87

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E: Periodic Sequence 原案: hint908 改題: vwxyz 解説: hint908 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 88

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問題概要整数 T,N および数列 𝐴 = (𝐴1 , … , 𝐴1000 ) がある • 1 <= T < N <= 1000 • 𝐴𝑖 = min 𝑖 − 1, 𝑁 − 1 mod 𝑇 • 𝐴1 < ⋯ < 𝐴𝑇 • 最初 T 項は狭義単調増加 • T < i <= N について、 𝐴𝑖 = 𝐴𝑖−𝑇 • 次の N-T 項は、最初の T 項が繰り返される • N < i <= 1000 について、 𝐴𝑖 = 𝐴𝑖−1 • 以降は一定 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 89

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問題概要整数 T,N および数列 𝐴 = (𝐴1 , … , 𝐴1000 ) がある • 1 <= T < N <= 1000 • 𝐴𝑖 = min 𝑖 − 1, 𝑁 − 1 mod T 質問を 15 回まで行い、T を当ててください • 組 (x, y) (x

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解法 • Step1. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) を得る • Step2. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x を得る • Step3. T を得る（ 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる最小の x を得る） • 15 回の質問をどう割り振る？ 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 91

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解法 Step1. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) を得るポイント: 𝑥 ≤ 𝑇 < 𝑦 < 2𝑥 なら𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 • 1 ≤ 𝑦 − 𝑇 < 2𝑥 − 𝑇 ≤ 𝑥 ≤ 𝑇 より 𝐴𝑦 ≤ 𝑦 − 𝑇 − 1 < 𝑥 − 1 = 𝐴𝑥 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 92

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解法 Step1. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) を得るポイント: 𝑥 ≤ 𝑇 < 𝑦 < 2𝑥 なら𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 • 1 ≤ 𝑦 − 𝑇 < 2𝑥 − 𝑇 ≤ 𝑥 ≤ 𝑇 より 𝐴𝑦 ≤ 𝑦 − 𝑇 − 1 < 𝑥 − 1 = 𝐴𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑘 + 1, 2𝑘+1 + 1 とすると、𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) が得られる • すべて 𝐴𝑥 ≤ 𝐴𝑦 なら 𝑇 = 1 • 質問回数: 10 回 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 93

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解法 Step2. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x を得る 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) が 1 つ分かっているので二分探索する • 質問回数: 9 回 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 94

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解法 Step3. T を得る（ 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる最小の x を得る） 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x が1つ分かっているポイント: x の約数の一つが T である • x を素因数分解し、各指数を二分探索すればよい • 質問回数: 6 回 • 720 = 243251, 900 = 233353 が最大ケース 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 95

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解法 • Step1. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) を得る • 質問回数: 10 回 • Step2. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x を得る • 質問回数: 9 回 • Step3. T を得る（ 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる最小の x を得る） • 質問回数: 6 回 • 25 回の質問で T を特定できた • 質問は 15 回しか行うことができず WA になってしまいました 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 96

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解法 Step1. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) を得る 𝑥, 𝑦 = 2𝑘 + 1, 2𝑘+1 + 1 とすると、𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) が得られる • 𝑘 = 9,8, … , 0 の順に聞き、𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 が返ってきた時点で Step2 へ Step2. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x を得る 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) が 1 つ分かっているので二分探索する • 質問回数: 合計 10 回 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 97

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解法 Step3. T を得る（ 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる最小の x を得る） 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x が1つ分かっているポイント: x の約数の一つが T である • x を素因数分解し、各指数を二分探索すればよい • 質問回数: 5 回 • 720 = 243251, 900 = 233353 は頑張って縮める • 枝刈り・メモ化を駆使して見つける（手作業で発見するのは厳しいです） 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 99

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解法 • Step1. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑦 となる (x, y) を得る • Step2. 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる x を得る • 質問回数: 10 回 • Step3. T を得る（ 𝐴𝑥 > 𝐴𝑥+1 となる最小の x を得る） • 質問回数: 5 回 • ちょうど 15 回の質問で T を特定できた 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 100

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K: OU Language 原案: KowerKoint 解法: hint908 解説: KowerKoint 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 101

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問題概要・制約 • 𝑁 種類のアルファベットからなるデータを 01文字列に変換するルールを構築する • ルールは 𝑇 個の01文字列で表現され、アルファベット 𝑖 は 01文字列 𝑇𝑖 に変換される • データを変換するときは各アルファベットを01文字列に変換し、それを連結する • データから01文字列への変換は単射でなければならない • アルファベットの出現頻度 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑁 が与えられる • σ𝑖 𝐴𝑖 𝑇𝑖 の最小値を出力してください • ただし、𝑻𝟏 だけは入力 𝑺 で固定されている • 𝑁 ≤ 500000 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 102

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解法 • 𝑇1 が決まっていなければ？ →ただの最適2元符号化の問題 →ハフマン符号を構築すれば終わり • 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 を優先度付きキューに入れ、以下を繰り返して1つにマージ • 小さい値2つをPopし、値を足し合わせてPush • マージ過程を木とみなすと最適な語頭符号が完成 • 例: 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , 𝐴4 = 3,1,4,1 → 01,000,1,001 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 103 9 𝑎3 5 2 𝑎1 𝑎4 𝑎2 0 0 0 1 1 1

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解法 • 𝑇1 = 𝑆 で固定されているなら？ • σ𝑖 𝐴𝑖 𝑇𝑖 の 𝐴1 𝑇1 の項は固定されているから考えても無駄 • 𝐴1 の値を変数 𝑥 として自由に書き換えてみる • 出現頻度を 𝑥, 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 としてハフマン符号を構築したときの、 𝑇1 の最小値を 𝑦1 𝑥 、最大値を 𝑦2 𝑥 とする(広義単調減少) • 重要な事実: 𝑦2 𝑥 = 𝑦1 𝑥 + 1 (ハフマン木構築時のタイブレークを考えると示せる) • 𝑦2 0 ≤ 𝑆 のとき → 𝑥 = 0 のときのハフマン符号で、 𝑇1 だけを長さ 𝑆 まで冗長化するのが最適 • 𝑦2 0 ≥ 𝑆 のとき、𝑦1 𝑥 ≤ 𝑆 ≤ 𝑦2 𝑥 となる 𝑥 が存在 →二分探索可能！ • 計算量は 𝑂 𝑁 log 𝑁 log 𝑁 + log max 𝑖 𝐴𝑖 2025/03/15 OUPC2024 Day 1 104