F⋆ でプログラムの正しさを証明する 艮 鮟鱇（@ushitora_anqou） 2021 年 8 月 9 日 1

あなたが書いたそのプログラム、正しいですか？ テストはプログラムの正しさを保証しない • テストした値では正しいと言える（かも） • テストしていない値では？ • 入力値は加算無限個ある プログラムが「数学的に」正しいことを示したい • プログラムの正しさを「証明」する • どんな入力に対しても正しく動作することを保証する プログラムの証明を人力でチェックする⋯⋯？ 2

形式証明 証明の正しさを機械的に検証する • 証明を特殊なプログラムとして記述し、コンパイラに入力 • （コンパイラが間違っていなければ）コンパイルが通ると証 明が正しいことが分かる • こういうコンパイラを「証明支援系」と呼ぶ 背後には Curry-Howard 同型対応などの理論がある⋯⋯ • ⋯⋯が今回は省略 • 気になる人は「計算と論理」で検索して五十嵐先生のスライ ドとかをチェック 3

F⋆ 最近出てきた証明支援系 • Microsoft Research や INRIA が作っている（2016 年～） • 依存型・篩型・エフェクトなどの格好いい機能がある • 証明をある程度省略して書いてもいい感じに推論して検証 してくれる • プログラミング言語 OCaml に酷似した文法 今日の主役 4

F⋆ 使われています HACL*：F⋆ で検証された暗号ライブラリ • TLS の実装を F⋆ で検証することを目標にしている（Project Everest） • Firefox（ブラウザ）や Wireguard（VPN）や Tezos（暗号通 貨）に組み込まれている Plebeia：暗号通貨 Tezos 用のストレージシステム • F⋆ で実装が正しいことを保証 • 現在絶賛開発中 5

本日のお題：フィボナッチ数列 前項と前々項の和でできる数列 an =        1 (n = 0, 1) an−1 + an−2 (n ≥ 2) an = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . (n = 0, 1, 2, . . . ) 定理 n = 2, 3, 4, . . . について an ≥ n 6

日本語での証明 n に関する数学的帰納法により証明する。すなわち 1. a2 ≥ 2 かつ a3 ≥ 3 を示す。 • 定義より a2 = 2 ≥ 2 かつ a3 = 3 ≥ 3 なのでこれは成り立つ。 2. 任意に n = 4, 5, 6, . . . をとり、an−2 ≥ n − 2 かつ an−1 ≥ n − 1 を仮定して an ≥ n を示す。 an = an−1 + an−2 (定義より) ≥ (n − 1) + (n − 2) (帰納法の仮定より) = (n + 1) + (n − 4) ≥ n + 1 (n ≥ 4 より) 7

F⋆ で証明する：fibの定義 まずフィボナッチ数列を計算する関数 fib を定義 8

F⋆ で証明する：定理の宣言 続いて示したい定理を宣言 定理 n = 2, 3, 4, . . . について an ≥ n 9

F⋆ で証明する：証明をプログラムとして定義 何を書けばよいか • F⋆ は証明のかなりの部分を自動化してくれる • しかし帰納法をどう行えばよいかはまるっきり分からない • より具体的には「帰納法の仮定をどう使うか」 • 人間がヒントとして帰納法の仮定の使い方を教える必要 • プログラム上では再帰関数呼び出しとして表現される 10

F⋆ で証明する：証明をプログラムとして定義 11

F⋆ で証明する：検証結果 fstar.exe に食わせると証明が正しいことを検証できる F⋆ コードを OCaml コードに変換（コード抽出）することで、検 証された fib 関数を実行することができる • 今回は省略 12

Let’s write F⋆! 13