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関西大学総合情報学部 浅野　晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第2部・画像情報圧縮 ／ 第8回 行列の直交変換と基底画像

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 JPEG方式による画像圧縮 2 画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす ひとつのセルを， これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつの セルに分解 細かい部分は，どの画像でも大してかわら ないから，省略しても気づかない 省略すると，データ量が減る （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p / 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 （情報の損失が最小）

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 Karhunen-Loève変換（KL変換） 3 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１～第p / 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 （情報の損失が最小） データ量が半分でも 情報の損失は最小

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには， 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 KL変換の大問題 4 主成分を求めるには，分散共分散行列が必要 分散共分散行列を求めるには， 「いまから取り扱うすべての画像」が 事前にわかっていないといけない そんなことは不可能😵😵 （一応）

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20 5 じゃあ，主成分を求めるのはあきらめて， どういう直交変換をするか「直観的」に🤔🤔

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20 6 画像をベクトルにしてしまったら， 直観がはたらかない…

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20 7 行列の直交変換💡💡

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 画像を行列であらわす 8 平面のものを素直に表せばいいだけのことですが， 前回はベクトルで考えていたので。 ベクトルから行列に書き換える（戻す）ことを考える z = P x 原画像を表すベクトル（m2要素） 直交変換を表す行列（m2×m2） 変換後の画像を 表すベクトル （m2要素）

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素 m要素

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 m要素 m要素 m要素

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルを行列に書き換える 9 x =          x1 . . . xj . . . xm          X = x1 · · · xj · · · xm m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 zも同じ m要素 m要素 m要素

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交変換行列P′は？ 10 P′ がこういう形になっているのなら P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm             

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交変換行列P′は？ 10 P′ がこういう形になっているのなら P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              こういう形ってどういう形？

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C r1m× C

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C r1m× C rm1× C

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P = R ⊗ C Kronecker積

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列のKronecker積 11 Rの各要素に Cを貼付けたもの P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11× C r1m× C rm1× C rmm ×C P = R ⊗ C Kronecker積 こうなっているのなら

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P x Z = CXR 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P x Z = CXR 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P x Z = CXR 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P x Z = CXR 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の変換に書き換える 12 ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 z = P x Z = CXR 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換 証明は…ひたすら計算💦💦（付録1）

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列…

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列…

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列…

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    P = R ⊗ C 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列… なら

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 P′ が直交行列であるためには 13 C, Rそれぞれが直交行列なら， P′は直交行列 P =              r11 c11 · · · r11 c1m r1m c11 · · · r1m c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . r11 cm1 · · · r11 cmm r1m cm1 · · · r1m cmm . . . ... . . . rm1 c11 · · · rm1 c1m rmm c11 · · · rmm c1m . . . ... . . . · · · . . . ... . . . rm1 cm1 · · · rm1 cmm rmm cm1 · · · rmm cmm              C =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm    , R =    r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    P = R ⊗ C 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１ 直交行列… なら

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm    RはXの行に作用

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 分離可能性 14 CはXの列に作用 縦方向と横方向の作用を分離できることを， 分離可能(separable)という CXR =    c11 · · · c1m . . . ... . . . cm1 · · · cmm       x11 · · · x1m . . . ... . . . xm1 · · · xmm       r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm    RはXの行に作用

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR X = R ZR ただし　RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Rによるユニタリー変換

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列の直交変換とユニタリー変換 15 縦横の作用を区別する必要はない場合，C=Rとする Z = RXR X = R ZR ただし　RR′=I 行列Xの行列Rによる直交変換 要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Rによるユニタリー変換 *は複素共役（ i を(–i)にかえる）

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20 16 ちょっと余談ですが☕

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる 上下反転のほうが違和感が大きい

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 縦横の作用を区別する必要はないのか？ 17 画像処理としてはその仮定はおかしくないが， 現実世界においては，重力があるので，左右と上下は異なる 上下反転のほうが違和感が大きい だから

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像 北を見ているなら

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 18 鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく 前後。 鏡 実像 鏡像 北を見ているなら 南を見ている

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像 鏡像 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像 鏡像 水平に回転 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 実像 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 左右が反転 上下はそのまま 実像 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 19 左右が反転 上下はそのまま 実像 🐻🐻💭💭 正解はこれしかないでしょう？ 鏡像 水平に回転 💃💃 💃💃 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 物体

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 物体

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体 水平回転が正しいと思うのは 重力の都合でしかない

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 20 上下が反転 左右はそのまま 👨👨👨👨💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません 鏡像 縦回転だって 可能 🚀🚀 🚀🚀 物体 水平回転が正しいと思うのは 重力の都合でしかない ここで参考動画を

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20 21 基底画像🤔🤔

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 22 Z = RXR どういうRを用いれば， 最適に画像データを圧縮できるか？ それは，依然わからない しかし，画像をベクトルでなく行列で表したことで， 直交変換の効果がヴィジュアルにわかる

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける Z =       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm      

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z =       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z =       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0      

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z =       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0      

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 23 変換後の画像Zのm2個の要素を，それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば Z =       z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       +       0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0       + · · · +       0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · zmm       X = R ZR    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm   

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 かけ算

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る かけ算

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る かけ算

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る かけ算

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る かけ算 この列が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 ベクトルの直積 （付録3） z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 ベクトルの直積 （付録3） z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) = z11       r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m       r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 ベクトルの直積 （付録3） 行列，すなわち画像 z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) = z11       r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m       r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 24    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　    r11 · · · rm1 . . . ... . . . r1m · · · rmm          z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . ... . . . 0 0 · · · 0          r11 · · · r1m . . . ... . . . rm1 · · · rmm    　 　 ベクトルの直積 （付録3） 行列，すなわち画像 z11    r11 . . . r1m    (r11 · · · r1m) = z11       r11r11 r11r12 · · · r11r1m r12r11 r12r12 · · · r12r1m . . . . . . ... . . . r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m       r11が残る r11が残る かけ算 かけ算 この列が残る この行が残る ここでちょっと 「直積ジョーク」を…😊😊

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 基底画像 25     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m つまり 基底画像 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 26 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載） たとえば，64個（ )の基底画像が， 右のような と の直積になっていると すると m = 8 r1 …r8 r′ 1…r′ 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つまり基底画像とは 27 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）     X = z11r1r1 + z12r1r2 + · · · + zmmrmrm m m 64個（ )の基底画像がこれだとすると m = 8 r′ 1 r′ 8 r1 r8

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 28 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた これ（の8×8の１つ１つ）は 基底画像の例です👉👉

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 28 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせたものになっている… 今日の最初にでてきた これ（の8×8の１つ１つ）は 基底画像の例です👉👉 　　第１部の 👈👈 これと同じ？ （図はA. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processingより転載）

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 29 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた ものになっている… つまり，逆フーリエ変換？ フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種

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29 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 つづきは 29 フーリエ変換を基本に， 画像圧縮に適した基底画像（一部を省略しても影響が少ない基底画像）を選ぶ 原画像Xは，m2個の基底画像に それぞれZの各要素をかけて足し合わせたものになっている 元の関数は，いろいろな周波数の波に， 各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた ものになっている… つまり，逆フーリエ変換？ フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種