第14回情報オリンピック 　春合宿  day4   Walls  別解解説 ⼆二階堂建⼈人(snuke)

⼩小課題２ 最初、防壁の左端が全部  0

下ごしらえ 壁を⻑⾧長さでソートしておく

下ごしらえ どの時点でも⼭山型になっている   （凹んでいたりしない）

レーザー レーザーが来た時は、   ・上  n  個を左揃え   ・上  n  個を右揃え   のどちらかが起こる

レーザー レーザーが来た時は、   ・上  n  個を左揃え   ・上  n  個を右揃え   のどちらかが起こる

レーザー レーザーが来た時は、   ・上  n  個を左揃え   ・上  n  個を右揃え   のどちらかが起こる

segtree segtreeを作ってみる   ノードに持たせる値は何にするか

ノードに持たせる値 とりあえず、state,pos  を⽤用意する   ・state  =  1  なら、区間内の防壁がposで左揃えされている   ・state  =  2  なら、区間内の防壁がposで右揃えされている   ・state  =  -‐‑‒1  なら、区間は揃っていない (state,pos)  =  (-‐‑‒1,-‐‑‒1) 2,10 -‐‑‒1,-‐‑‒1 2,10 2,10 -‐‑‒1,-‐‑‒1 1,0 2,10 2,10 2,10 2,10 1,4 1,2 1,0 1,0

更更新⽅方法 state  =  1  の場合（区間が全てposで左揃え）   ・区間が全てpi で左揃えされる場合：普通に更更新   ・区間が全てpi で右揃えされる場合：普通に更更新   ・区間が揃わない場合：
  　 　stateを  -‐‑‒1  にして、左の⼦子に潜り、    　 　・左の⼦子が揃わなかった場合：右の⼦子には潜らない    　 　・左の⼦子が揃った場合：右の⼦子にも潜る   （state  =  2  の場合（区間が全てposで右揃え）も同様） ＝state,posの組が同じ

更更新⽅方法 state  =  -‐‑‒1  の場合（区間が揃っていない）   ・左の⼦子に潜る    　・左の⼦子が揃わなかった場合：右の⼦子には潜らない    　・左の⼦子が揃った場合：右の⼦子にも潜る   ・潜った後、
  　・左右の⼦子が揃った場合：state,posを⼦子と同じにする    　・左右の⼦子が揃わなかった場合：stateを-‐‑‒1にする

更更新⽅方法 state  =  1  の場合（区間が全てposで左揃え）   ・区間が全てpi で左揃えされる場合：普通に更更新   ・区間が全てpi で右揃えされる場合：普通に更更新   ・区間が揃わない場合：
  　 　stateを  -‐‑‒1  にして、左の⼦子に潜り、    　 　・左の⼦子が揃わなかった場合：右の⼦子には潜らない    　 　・左の⼦子が揃った場合：右の⼦子にも潜る   →  ノードに  w  =「区間内の防壁の⻑⾧長さの最⼤大」も
  　  持たせておくとよい（⻑⾧長いのが揃えば短いのも揃う）

答えを求める 答えを求めるためには、   各ノードになにを持たせればいいか  

各移動の⻑⾧長さ 左揃え  →  左揃え（右揃え  →  右揃え）   p 移動量量：pos  -‐‑‒  p pos wi

左揃え  →  右揃え（右揃え  →  左揃え）   pos wi 各移動の⻑⾧長さ 移動量量：p  -‐‑‒  pos  -‐‑‒  wi  +  1 p

答えを求める ・pos  -‐‑‒  p   ・p  -‐‑‒  pos  -‐‑‒  wi  +  1   をいくつか⾜足したものが答え   各防壁の答えは、   ・x  +  wi  *  y   という形で表せそう

答えを求める segtreeの各ノードに、sum,cnt  という値を持たせる   答えは「sumの和  +  cntの和  *  wi 」   更更新は   ・左揃え→左揃え：sum  +=  pos  -‐‑‒  p   ・左揃え→右揃え：sum  +=  p  -‐‑‒  pos  +  1,  cnt  -‐‑‒=  wi   とすればいい

まとめ segtreeを作り、ノードには以下の値を持たせる   ・state,pos：左揃い・右揃い・不不揃い、揃った場所   ・w：防壁の最⼤大⻑⾧長区間（全て揃うかを判定するため）   ・sum,cnt：答えを計算するための値   更更新は、   ・state,posを更更新するついでにsum,cntを更更新する   ・state=1,2（揃っている）なら普通に更更新   ・state=-‐‑‒1（不不揃い）なら⼦子に潜る   →  計算量量は？

計算量量 state  =  -‐‑‒1  の場合（区間が揃っていない）   ・左の⼦子に潜る    　・左の⼦子が揃わなかった場合：右の⼦子には潜らない    　・左の⼦子が揃った場合：右の⼦子にも潜る   ・潜った後、
  　・左右の⼦子が揃った場合：state,posを⼦子と同じにする    　・左右の⼦子が揃わなかった場合：stateを-‐‑‒1にする state  =  1  の場合（区間が全てposで左揃え）   ・区間が全てp i で左揃えされる場合：普通に更更新   ・区間が全てp i で右揃えされる場合：普通に更更新   ・区間が揃わない場合：
  　 　stateを  -‐‑‒1  にして、左の⼦子に潜り、    　 　・左の⼦子が揃わなかった場合：右の⼦子には潜らない    　 　・左の⼦子が揃った場合：右の⼦子にも潜る   （state  =  2  の場合（区間が全てposで右揃え）も同様） ポイント   ・state  =  -‐‑‒1  なら潜る   ・stateによらず、まず左の⼦子に潜り、    　・左の⼦子が揃わなかった場合：右の⼦子には潜らない    　・左の⼦子が揃った場合：右の⼦子にも潜る

計算量量 ⾚赤い線のようにsegtree上を動きます   たくさんのノードを辿ることもありそうに⾒見見えます  

計算量量 ◯で囲ったような部分、   つまり左も右もがっつり潜る部分の個数を  x  とすると、   O(x  *  segtreeの⾼高さ(=logN))  で抑えられそうです   ※ここのように、潜った直後に帰ってくる場所は含まない  

計算量量 ・◯で囲ったような部分のstateは  -‐‑‒1  のはず  

計算量量 ・右の⼦子にも潜るということは、左の⼦子は全部揃っている   →  ◯の部分で右に潜ったということは、    　  △のstateが  -‐‑‒1  から  1  か  2  になる  

計算量量 つまり左も右もがっつり潜る部分の個数を  x  とすると、   O(x  *  segtreeの⾼高さ=(logN))  で抑えられそうです   ・潜るノードの個数が  O(log  N)  回増えるときは、    　state=-‐‑‒1  のノードが  1  つ減る！   ・さらに、stateが  1  か  2  から  -‐‑‒1  になるノードは、１つの
  　レーザーにつき、O(log  N)  個    　→  そのような場所は、
  　 　  i  =  iより左は全部揃い、iより右は揃わない
  　 　というような  i  を含む区間のみ

計算量量 ・潜るノードの個数が  O(log  N)  回増えるときは、    　必ず  state=-‐‑‒1  のノードが  1  つ減る！   ・さらに、stateが  1  か  2  から  -‐‑‒1  になるノードは、１つの
  　レーザーにつき、O(log  N)  個   潜るノードの個数が増える回数  ≦  state=-‐‑‒1のノードが減る個数   state=-‐‑‒1のノードが減る個数  ≦  state=-‐‑‒1のノードが増える個数   state=-‐‑‒1のノードが増える個数  ≦  O(log  N)*レーザーの個数   つまり、   潜るノードの個数が増える回数  ≦  O(log  N)*レーザーの個数！   →  ならし計算量量が  O(log^2  N)  になった！

⼩小課題２ このように、   保留留した頂点を後で潜る、遅延更更新の発展系のような⼿手法   を使うと、O(M  log^2  N)  で解けた！   参考   http://snuke.hatenablog.com/entry/2014/08/02/202210

⼩小課題３ 初期位置がめちゃくちゃなので、そのままだとダメ   初期位置が  0  だったときとの差分を計算してやると良良い