組合せ最適化による 問題解決の実践的なアプローチ ⼤阪⼤学 ⼤学院情報科学研究科 梅⾕ 俊治 2021年9⽉16⽇ NEC Visionary Week 2021

数理最適化による問題解決 • ビッグデータが取得できた︕ビッグデータが分析できた︕ところで，分析 結果をどのように施策に活⽤すれば良い︖ • 数理最適化は，実際の事例より⽣じる多様な制約の下で，意思決定や計画 策定を実現するための有効な⼿段の⼀つ． • 最適化問題︓制約条件を満たす解の中で⽬的関数を最⼩(最⼤)にする解を 求める問題． 2 ⼈気商品に偏ってない︖ 予算内に収められる︖ 多様な制約を満たせる︖ AIと⼀⼝には ⾔うものの ビッグデータ 機械学習 数理最適化 データの取得 データの分析 計画策定 数百万の顧客に推薦する 商品の割当てを求める 超⼤規模な最適化問題 機械学習で個別の割当の 期待利得は推定できるが クーポン配信の事例

数理最適化による問題解決 • 数理最適化は，実際の事例より⽣じる多様な制約の下で，意思決定や計画 策定を実現するための有効な⼿段の⼀つ． • 最適化問題︓制約条件を満たす解の中で⽬的関数を最⼩(最⼤)にする解を 求める問題． • 数理最適化と⾔えばアルゴリズムに関する論⽂や書籍が多いが，実務では 最適化問題の定式化(モデリング)がとにかく重要︕ 3 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 アルゴリズムの 開発・適⽤ 分析・検証 最適化問題・アルゴリズムの修正

数理最適化の応⽤事例 • 製造業，物流・運輸業，農業，鉱業，⽯油・化学産業，製紙，鉄鋼，エネル ギー，医療，⾷品，広告，スポーツなど幅広い分野に応⽤事例を持つ． • 電気⾃動⾞の充放電計画，対訳⽂の対応付け，紙パイプの切出し計画，⾐服 の型紙の配置，無⼈搬送⾞の運⾏計画，⼈の移動履歴の推定，電⼦ジャーナ ル購読計画，クーポン配信計画，ホテル予約システムの表⽰順，カタログの レイアウト計画，⾃動⾞船の配船・運航計画，⾃動⾞船の積付け計画，その 他いろいろ． 4 広告配信 ⼈員配置 システム運⽤ 物流・配送 ⽣産計画 エネルギー 機械学習 制御 信号処理 待ち⾏列 シミュレーション 数理最適化 ゲーム理論 現実世界 数理の世界 学術から産業まで幅広い分野の事例が 最適化問題に定式化できる

代表的な最適化問題とアルゴリズム* 5 連続最適化問題 離散最適化問題 (組合せ最適化問題) 線形計画問題 凸2次計画問題 (半正定値計画問題，2次錐計画問題) 制約なし⾮線形計画問題 整数計画問題 資源配分問題，最⼩全域⽊問題など 貪欲法 ナップサック問題，資源配分問題， 最⼩費⽤弾性マッチング問題など 動的計画法 最⼤流問題，最⼩費⽤流問題， 最⼤マッチング問題，割当問題など 増加路法，負閉路消去法，最短路繰り返し法， (ハンガリー法) 最短路問題 ダイクストラ法，ベルマン・フォード法， フロイド・ウォーシャル法 分枝限定法，切除平⾯法，(分枝カット法) ビンパッキング問題，最⼤カット問題， 巡回セールスマン問題，頂点被覆問題， ナップサック問題など 性能保証付き近似解法 さまざまなNP困難問題 発⾒的解法，局所探索法，メタヒューリスティクス， (分枝カット法) 単体法，(内点法) 有効制約法，(内点法) 制約つき⾮線形計画問題 最急降下法，ニュートン法，準ニュートン法 ペナルティ関数法，拡張ラグランジュ関数法， 内点法，逐次２次計画法 *梅⾕俊治，しっかり学ぶ数理最適化，講談社，2020．

組合せ最適化問題とその応⽤事例 • 組合せ最適化問題︓最適解を含む解の集合(探索領域)が，集合，順列，割 当て，ネットワーク，論理，整数など組合せ的な構造を持つ最適化． 6 多くの現実問題が組合せ最適化問題に定式化できる

事例︓電⼦ジャーナルの購読計画 • 電⼦ジャーナルの価格⾼騰による全雑誌の包括契約から各雑誌の個別契約 への移⾏により⽣じる諸問題の解決． • 限られた予算の下で購読タイトルを決定する問題を整数計画問題に定式化． • 最⼩充⾜率を最⼤化することで分野による偏りを⼤幅に軽減． • 全体の充⾜率も66.05%→70.05%と向上(最⼩充⾜率68.87%)． 7 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary… Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences 0% 20% 40% 60% 80% 100% Veterinary Science and Veterinary… Social and Behavioral Sciences Physics and Astronomy Pharmacology, Pharmaceutical… Nursing Neuroscience Medicine Mathematics Materials Science Life Sciences Health Professions Environmental Sciences Engineering, Energy and Technology Economics, Business and Management Earth and Planetary Sciences Dentistry Computer Science Chemistry and Chemical Engineering Arts and Humanities Agricultural and Biological Sciences

事例︓カタログのレイアウト計画 • 週次でカタログを配布し，顧客から注⽂を受けた商品を配送する宅配事業 会社において，1000点以上の商品を掲載する50〜100ページのカタログ のレイアウトを⾃動作成． • 同種の商品を互いに近くに配置するレイアウトを⾃動作成する問題を (1)⻑⽅形詰込み問題，(2)割当問題の2通りに定式化． • コマ割りのテンプレートをあらかじめ⽤意し，1ページ当たり1秒程度で 実⽤的なレイアウトを作成するメタヒューリスティクスを開発． 8

事例︓⾃動⾞専⽤船の配船・運航計画 • 世界各地を航海する約100隻の⾃動⾞専⽤船を4ヶ⽉先までの約200ブッキン グ(約130万台)に割り当てる． • 各船の航海パターン候補を列挙した後に，全てのブッキングを充⾜する航海 パターンの組合せを求める整数計画問題に定式化． • 数理最適化ソルバーにより数分程度で実⽤的な運航スケジュールを作成． 9 Booking1 5000台 Booking2 3000台 Booking3 4000台 Booking4 4500台 Booking5 2500台 貨物船2:3000台 貨物船1:5000台 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 航海パターン候補は 約200万通り 4ヶ⽉間の航海数は 約200航海 4ヶ⽉間の荷量は 約130万台 船舶数は約100隻 (約50万台の輸送能⼒)

事例︓⾃動⾞専⽤船の積付け計画 • ⽇本の数ヶ所の積み港から海外の数ヵ所の揚げ港に運航する⾃動⾞専⽤船の 複数の⾞種から構成されるブッキングを船内のホールドに割り当てる． • 寄港時の⾞両の搬⼊出経路の確保など多様な条件を考慮しつつ，ブッキング を船内のホールドに割り当てる問題を整数計画問題に定式化． • 数理最適化ソルバーにより数分程度で実⽤的な積付け計画を作成． 10 揚げ港 X港 Y港 Z港 A港 100 200 2200 積み港 B港 300 2000 300 C港 1300 600 100 寄港順は A→B→C→X→Y→Z ホールド1 ブッキングの概要 ホールド2 ホールド3 ホールド4 ホールド5 ⾃動⾞専⽤船の概要 積付けの例

現実問題への数理最適化の適⽤ • 現実問題が既知の最適化問題に⼀致することはまれ． • 論⽂発表されたアルゴリズムが利⽤可能な状態で公開されていることもまれ． • 汎⽤の数理最適化ソルバーを利⽤ ü整数計画問題に定式化して汎⽤の数理最適化ソルバーを適⽤． ü多様な問題に適⽤可能だが，問題の特徴が利⽤できないため苦⼿な問題も少なくない． • 専⽤のアルゴリズムを開発 ü問題の特徴を上⼿く利⽤すれば⾼性能なアルゴリズムを開発できるが，適⽤できる範囲 が限定される．そもそも，開発には⼗分な知識・技術と⼿間が必要． 11 a 整数計画問題 b c d e 現実世界 汎⽤の数理最適化 ソルバー a b c d e 現実世界 問題 a 問題 b 問題 e アルゴリズム a アルゴリズム b アルゴリズム e 「汎⽤的」かつ「⾼性能」なソルバーの実現は困難

現実問題への数理最適化の適⽤ • 妥当な最適化問題を得るには修正を繰り返す必要があるものの，アルゴリズ ムの開発・修正には多くの⼿間を要する． • 妥当な最適化問題が得られるまでは，汎⽤の数理最適化ソルバーを⽤いて， アルゴリズムの開発・修正に要する⼿間を削減する． 12 ソルバーの適⽤ 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 最適化問題の修正 アルゴリズムの 開発と適⽤ 現 実 問 題 最 適 化 問 題 ( 近 似 ) 最 適 解 解 決 策 定式化 分析・検証 汎⽤の数理最適化ソルバーを⽤いて検討した後に 専⽤アルゴリズムの開発を検討する

数理最適化の適⽤にかかる課題と対策 • ⽬標設定︓コストの最⼩化や利益の最⼤化が⽬的とは限らない．現場の計 画担当者の作業を⾃動化・⽀援することで，業務の改善が期待できる． • データ取得︓現場の計画担当者に⼊⼒データを取得・作成するための新た な業務が⽣じるのは本末転倒．インフラの整備が⼤前提． • 最適化問題の定式化︓モデリングに必要な情報の多くは，⽇々業務に従事 する計画担当者には改めて話題にするまでもない常識． • 暫定的な計画案を提⽰することは，現場の計画担当者から最適化問題の定 式化に必要な情報を引き出すための⼿段だと割り切る． • 簡単な最適化問題から初めてインタビューと再検討を繰返しつつ，段階的 に詳細な最適化問題に定式化する． 13 ⾒積り回答に 数⽇かかる 顧客 営業 計画担当者 ⾒積り回答が 迅速に︕ 計画担当者の 負担を軽減 顧客 営業 計画担当者 計画担当者の 負担が⼤きい

まとめ • 数理最適化による問題解決 →「分析」から「計画」へ • 数理最適化の応⽤事例 • 組合せ最適化問題とその応⽤ →電⼦ジャーナル購読計画，カタログのレイアウト計画，⾃動⾞専⽤船の 配船・運航計画，⾃動⾞専⽤船の積付け計画，クーポンの配信計画 • 現実問題への数理最適化の応⽤ →汎⽤的な数理最適化ソルバーを利⽤したモデリングの効率化 • 数理最適化の適⽤にかかる課題と対策 →⽬標設定，データ取得，最適化問題の定式化 14 現実問題の解決に数理最適化を活⽤して下さい︕