同期モータの電圧方程式 ー①3相座標系のインダクタンス 大阪府立大学 工学研究科 清水 悠生

2 本記事を読む前に ✓ d-q回転座標系の記事を読んでいる方が より理解できると思いますので 是非↓の記事も読んでみてください ✓ d-q回転座標系のお話①-③ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/05/dqrotatingcoordinate1/ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/12/dqrotatingcoordinate2/ ✓ https://yuyumoyuyu.com/2020/07/19/dqcrotatingroordinate3/

3 電圧方程式とは ✓ キルヒホッフの第二法則より導かれる電圧の等式を モータに適用したものを電圧方程式と呼ぶ 電流 𝑖 抵抗 𝑅 電圧 𝑣 𝜙 磁束鎖交数 𝑣 = 𝑅𝑖 + 𝑑𝜙 𝑑𝑡 誘導起電力 電圧降下

4 同期モータの電圧方程式 ✓ 平衡3相交流駆動の同期モータを考える 𝑣𝑢 𝑣𝑣 𝑣𝑤 = 𝑅𝑎 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 𝑣𝑢 , 𝑣𝑣 , 𝑣𝑤 ：u,v,w相電圧 𝑖𝑢 , 𝑖𝑣 , 𝑖𝑤 ：u,v,w相電流 𝛹𝑢 , 𝛹𝑣 , 𝛹𝑤 ：u,v,w相磁束鎖交数 𝑅𝑎 ：電機子抵抗 u相コイル u v w u相鎖交磁束 u相電圧 u相電流 v相 w相 電機子抵抗 ロータ ステータ

5 u相鎖交磁束 ✓ u相の磁束鎖交数はu相電流による自己誘導と v,w相電流による相互誘導による磁束，界磁磁束から成る u相 u軸 v軸 w軸 界磁磁束 𝛹𝑓 回転子位置 𝜔𝑡 (電気角) 界磁磁束の u相成分 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑢 = 𝐿𝑢 𝑖𝑢 + 𝑀𝑣𝑢 𝑖𝑣 + 𝑀𝑤𝑢 𝑖𝑤 + 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 相互誘導 自己誘導 界磁磁束 𝐿𝑢 ：u相自己インダクタンス 𝑀𝑣𝑢 , 𝑀𝑤𝑢 ：v-u,w-u相間 相互インダクタンス

6 u,v,w相鎖交磁束 ✓ v,w相の磁束鎖交数も同様に表されるため 磁束鎖交数ベクトルはインダクタンス行列で表現できる 𝛹𝑢 = 𝐿𝑢 𝑖𝑢 + 𝑀𝑣𝑢 𝑖𝑣 + 𝑀𝑤𝑢 𝑖𝑤 + 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑣 = 𝑀𝑢𝑣 𝑖𝑢 + 𝐿𝑣 𝑖𝑣 + 𝑀𝑤𝑣 𝑖𝑤 + 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑤 = 𝑀𝑢𝑤 𝑖𝑢 + 𝑀𝑣𝑤 𝑖𝑣 + 𝐿𝑤 𝑖𝑤 + 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 ⇔ 𝛹𝑢 𝛹𝑣 𝛹𝑤 = 𝐿𝑢 𝑀𝑣𝑢 𝑀𝑤𝑢 𝑀𝑢𝑣 𝐿𝑣 𝑀𝑤𝑣 𝑀𝑢𝑤 𝑀𝑣𝑤 𝐿𝑤 𝑖𝑢 𝑖𝑣 𝑖𝑤 + 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝛹𝑓 cos 𝜔𝑡 + 2𝜋 3 インダクタンス行列 界磁磁束ベクトル

7 自己インダクタンスは回転子位置で変化する ✓ 突極性を有するモータでは u,v,w相インダクタンスは回転子位置により変化する 回転子位置 𝜔𝑡 = 0°(電気角) u相 u軸 v軸 w軸 u軸磁路 回転子位置 𝜔𝑡 = 90°(電気角) 磁気抵抗が大きく磁束が通りづらい ⇒インダクタンスが小さい 磁気抵抗が小さく磁束が通りやすい ⇒インダクタンスが大きい u相 u軸 v軸 w軸 u軸磁路

8 u相自己インダクタンスの周期性 ✓ u相インダクタンスはモータ形状により決定され 極性に依存しないため 周期は入力電力の周期の半分（電気角180°で1周） 𝐿𝑢 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 回転子位置 𝜔𝑡 (電気角) 90° 180° 270° 360° 0° u相インダクタンス 𝐿𝑎 + 𝑙𝑎 𝑙𝑎 ：漏れインダクタンス 𝐿𝑎 ：有効インダクタンスの平均値 𝐿𝑎𝑠 ：有効インダクタンスの 高調波振幅 u相インダクタンスの数式表現(基本波)

9 自己インダクタンスの周期性 ✓ u,v,w相インダクタンスは以下のように定義できる 𝐿𝑢 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝐿𝑣 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝐿𝑤 = 𝑙𝑎 + 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 反時計回りを 正の回転方向と しているため u相 u v w v相 w相

10 u相電流によるu相鎖交磁束 ✓ u相巻線のみ通電している場合のu相鎖交磁束は 次式のように計算できる 𝛹𝑢𝑢 = 𝑖𝑢 න −𝜋/2 𝜋/2 𝜙𝑢 𝛼 cos𝛼𝑑𝛼 u相 u軸 v軸 w軸 機械角 𝛼 位置 𝛼 におけるu相電流による r方向ギャップ磁束 𝜙𝑢 𝛼 ギャップ磁束 𝜙𝑢 𝛼 の 正射影の合計で計算できる u相鎖交磁束 𝛹𝑢𝑢

11 u相電流によるギャップ磁束 ✓ 定義したu相自己インダクタンスから u相巻線のみ通電している場合のu相鎖交磁束は 漏れインダクタンスを無視すると次式の通り 𝛹𝑢𝑢 = 𝐿𝑢 𝑖𝑢 = 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑖𝑢 よって，次式のように𝜙𝑢 𝛼 をおくと 𝜙𝑢 𝛼 = 2𝐿𝑎 𝜋 cos𝛼 + 2𝐿𝑎𝑠 𝜋 cos 𝛼 − 2𝜔𝑡 𝛹𝑢𝑢 = 𝑖𝑢 න −𝜋/2 𝜋/2 𝜙𝑢 𝛼 cos𝛼𝑑𝛼 = 𝑖𝑢 න −𝜋/2 𝜋/2 𝐿𝑎 𝜋 1 + cos 2𝛼 + 𝐿𝑎𝑠 𝜋 cos 2𝛼 − 2𝜔𝑡 − cos 2𝜔𝑡 𝑑𝛼 = 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑖𝑢 積和の公式 となり，インダクタンスの定義と一致する （22/01/25追記） 本頁の𝜙𝑢 𝛼 は相互インダクタンス計算のために導入しましたが，不正確です。 相互インダクタンス導出に関してはこちら↓を参照してください。 https://yuyumoyuyu.com/2022/01/23/voltageequation5/

12 u相電流によるv相鎖交磁束 ✓ 同様にu相巻線のみ通電している場合のv相鎖交磁束は 次式のように計算できる 𝛹𝑢𝑣 = 𝑖𝑢 න −𝜋/2 𝜋/2 𝜙𝑢 𝛼 cos 2𝜋 3 − 𝛼 𝑑𝛼 u軸 v軸 w軸 機械角 𝛼 位置 𝛼 における u相電流によるギャップ磁束 𝜙𝑢 𝛼 ギャップ磁束 𝜙𝑢 𝛼 の 正射影の合計で 計算できる v相鎖交磁束 𝛹𝑢𝑣 v相 2𝜋 3 − 𝛼

13 相互インダクタンスの導出 ✓ u相電流によるv相鎖交磁束を計算すると 𝛹𝑢𝑣 = 𝑖𝑢 න −𝜋/2 𝜋/2 𝜙𝑢 𝛼 cos 2𝜋 3 − 𝛼 𝑑𝛼 = 𝑖𝑢 න −𝜋/2 𝜋/2 ቌ ቍ 𝐿𝑎 𝜋 cos 2𝛼 − 2𝜋 3 + cos 2𝜋 3 + 𝐿𝑎𝑠 𝜋 cos 2𝛼 − 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 − cos −2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝑑𝛼 = 𝐿𝑎 cos 2𝜋 3 − 𝐿𝑎𝑠 cos −2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 𝑖𝑢 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑖𝑢 積和の公式 となり，u-v間相互インダクタンスが求められる 相互インダクタンス 𝑀𝑢𝑣

14 相互インダクタンスの周期性 ✓ 同様に相互インダクタンスを計算すると次式のとおり 𝑀𝑢𝑣 = 𝑀𝑣𝑢 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 − 2𝜋 3 𝑀𝑣𝑤 = 𝑀𝑤𝑣 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 𝑀𝑤𝑢 = 𝑀𝑢𝑤 = − 1 2 𝐿𝑎 − 𝐿𝑎𝑠 cos 2𝜔𝑡 + 2𝜋 3 u相 u v w v相 w相

15 非突極モータは理解しやすい ✓ u,v,w相自己インダクタンスと相互インダクタンスの 直流成分（非突極時）の関係は下記のように考えられる u相電流よる u相鎖交磁束の直流成分 𝛹𝑢_𝑑𝑐 = 𝐿𝑢 𝑖𝑢 u v w u相電流よる v相鎖交磁束の直流成分 𝛹𝑢_𝑑𝑐 cos 2𝜋 3 = 𝑀𝑢𝑣 𝑖𝑢 𝑀𝑢𝑣 = 𝑀𝑣𝑢 = 𝑀𝑣𝑤 = 𝑀𝑤𝑣 = 𝑀𝑤𝑢 = 𝑀𝑢𝑤 = 𝐿𝑎 cos 2𝜋 3 = − 1 2 𝐿𝑎 非突極時のインダクタンス 𝐿𝑢 = 𝐿𝑣 = 𝐿𝑤 = 𝐿𝑎