Tweet
Tweet

Slide 1

Slide 1 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le nombre chromatique du plan Roger Mansuy χ-Science-Camp@Home ↔ Science Ouverte 9 juillet 2020 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 2

Slide 2 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Problème de Hadwiger-Nelson Colorier le plan de sorte à ce que deux points quelconques à distance 1 ne soient jamais de la même couleur. Le nombre minimal de couleurs pour pouvoir réussir ce coloriage est appelé nombre chromatique du plan et noté avec la lettre grecque χ. Objectif : calculer χ. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 3

Slide 3 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Problème de Hadwiger-Nelson Colorier le plan de sorte à ce que deux points quelconques à distance 1 ne soient jamais de la même couleur. Le nombre minimal de couleurs pour pouvoir réussir ce coloriage est appelé nombre chromatique du plan et noté avec la lettre grecque χ. Objectif : calculer χ. Spoiler : on ne connaît pas vraiment la réponse... Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 4

Slide 4 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 9 1 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 5

Slide 5 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 9 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 6

Slide 6 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 9 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 7

Slide 7 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 9 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 8

Slide 8 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Ce coloriage assure en particulier que χ est bien défini. Proposition χ ≤ 9, c’est-à-dire on peut colorier le plan avec 9 couleurs. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 9

Slide 9 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 7 1 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 10

Slide 10 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 7 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 11

Slide 11 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 7 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 12

Slide 12 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ ≤ 7 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 13

Slide 13 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Proposition χ ≤ 7, c’est-à-dire on peut colorier le plan avec 7 couleurs. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 14

Slide 14 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Proposition χ ≤ 7, c’est-à-dire on peut colorier le plan avec 7 couleurs. Spoiler : on ne sait pas si χ = 7 ou χ ≤ 6. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 15

Slide 15 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Pour obtenir une majoration χ ≤ N, il suffit d’exhiber un coloriage « admissible » du plan avec N couleurs. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 16

Slide 16 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 17

Slide 17 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Jackson Pollock, Wild beast, 1943 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 18

Slide 18 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Jackson Pollock, Wild beast, 1943 Drip painting Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 19

Slide 19 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 1 Proposition χ > 1, c’est-à-dire une seule couleur ne suffit pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 20

Slide 20 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 1 Proposition χ > 1, c’est-à-dire une seule couleur ne suffit pas. 1 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 21

Slide 21 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 1 Proposition χ > 1, c’est-à-dire une seule couleur ne suffit pas. 1 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 22

Slide 22 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 1 Proposition χ > 1, c’est-à-dire une seule couleur ne suffit pas. 1 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 23

Slide 23 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 2 Proposition χ > 2, c’est-à-dire deux couleurs ne suffisent pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 24

Slide 24 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 2 Proposition χ > 2, c’est-à-dire deux couleurs ne suffisent pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 25

Slide 25 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 2 Proposition χ > 2, c’est-à-dire deux couleurs ne suffisent pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 26

Slide 26 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 3 Proposition χ > 3, c’est-à-dire trois couleurs ne suffisent pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 27

Slide 27 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 3 Proposition χ > 3, c’est-à-dire trois couleurs ne suffisent pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 28

Slide 28 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 3 Proposition χ > 3, c’est-à-dire trois couleurs ne suffisent pas. ? Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 29

Slide 29 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 3 Proposition χ > 3, c’est-à-dire trois couleurs ne suffisent pas. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 30

Slide 30 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 31

Slide 31 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 32

Slide 32 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 33

Slide 33 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 34

Slide 34 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... La configuration obtenue lorsque les deux points de droite sont à distance 1 est appelée graphe de Moser ou broche de Moser. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 35

Slide 35 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Pour obtenir une minoration χ > N, il suffit d’exhiber un ensemble de points du plan que l’on ne peut pas colorier avec N couleurs. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 36

Slide 36 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Pour obtenir une minoration χ > N, il suffit d’exhiber un ensemble de points du plan que l’on ne peut pas colorier avec N couleurs. Proposition χ ∈ {4, 5, 6, 7}. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 37

Slide 37 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Pour obtenir une minoration χ > N, il suffit d’exhiber un ensemble de points du plan que l’on ne peut pas colorier avec N couleurs. Proposition χ ∈ {4, 5, 6, 7}. Spoiler : jusqu’en 2018, on n’en savait pas plus mais on cherchait des configurations de points qui n’étaient pas coloriables avec seulement 4 couleurs. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 38

Slide 38 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Exercices Essayons quelques configurations pour appréhender la difficulté du pro- blème. Exercice Parmi les configurations suivantes quelles sont celles qui peuvent être co- loriées avec trois couleurs et celles pour lesquelles il en faut au moins quatre ? Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 39

Slide 39 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Faisons un essai en repartant du triangle. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 40

Slide 40 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Faisons un autre essai en repartant du triangle pour obtenir une configu- ration plus compliquée(le graphe W7 ). Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 41

Slide 41 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Rajoutons encore un triangle : Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 42

Slide 42 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Rajoutons encore un triangle : Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 43

Slide 43 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Rajoutons encore un triangle : La figure obtenue s’appelle graphe de Gollomb. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 44

Slide 44 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Voici un petit poisson : Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 45

Slide 45 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Un autre poisson : Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 46

Slide 46 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Un dernier poisson (graphe poisson de Hochberg et O’Donnell) : Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 47

Slide 47 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... χ > 4 Depuis 2018, on dispose du résultat suivant : Proposition χ > 4 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 48

Slide 48 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Aubrey de Grey (1963- ) ▶ a suivi un cursus en informatique ▶ est un biogérontologue autodidacte, fondateur du projet Strategies for Engineered Negligible Senescence ▶ cherche « à régénérer les tissus cellulaires pour étendre l’espérance de vie au-delà de 1000 ans » ▶ est champion du jeu Othello Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 49

Slide 49 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Il prépublie en avril 2018 un article intitulé : The chromatic number of the plane is at least 5 dans lequel il propose une configuration à 1581 points (ou graphe distance- unité à 1581 sommets) dont le coloriage requiert cinq couleurs ! Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 50

Slide 50 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Il commence par remarquer qu’il y a essentiellement quatre coloriages avec 4 couleurs de W7 . Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 51

Slide 51 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Deux d’entre eux (ceux du haut) admettent trois sommets de la même couleur. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 52

Slide 52 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Il couple treize roues W7 pour former un graphe appelé J. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 53

Slide 53 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... J admet essentiellement six coloriages tels que les sept copies de W7 « in- térieures » ne contiennent pas trois sommets de la même couleur. Il y a (de gauche à droite) 6, 4 (consécutifs) ou 2 (opposés) sommets à distance 2 du centre de la même couleur que le centre. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 54

Slide 54 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le graphe K est composé de deux copies de J tournées l’une par rapport à l’autre d’un angle de 2 arcsin 1 4 autour du centre. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 55

Slide 55 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... L’objectif est donc de « coller » des copies de graphes en reliant des points de sorte à les empêcher d’avoir la même couleur (comme pour la construc- tion du graphe de Moser). Par exemple, on force ici les copies du graphe J à avoir exactement 2 sommets à distance 2 du centre de la même couleur que le centre puisque, dans le cas contraire, une nouvelle arête relierait deux points de la même couleur. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 56

Slide 56 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le graphe L est composé de deux copies de K tournées autour de A et d’angle 2 arcsin 1 8 . Le point B et son image B′ sont désormais à distance 1 : ils sont de couleurs différentes. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 57

Slide 57 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le graphe M est trouvé avec 1345 sommets et contient un très grand nombre de graphes de Moser. C’est l’union de sept copies translatées d’un graphe W dont on connaît explicitement les coordonnées des 301 sommets. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 58

Slide 58 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Dans L, il y a 52 « copies » de W7 . Il y a un graphe W7 au milieu de M. On obtient le graphe N en copiant 52 fois M de sorte à ce que chaque copie de M soit centrée sur l’une des occurrences de W7 dans L. Proposition Le graphe N ainsi obtenu n’est pas coloriable avec 4 couleurs. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 59

Slide 59 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le graphe N admet 20425 sommets. A. de Grey le simplifie en enlevant les sommets qui ne contraignent pas la coloriabilité pour tomber sur un graphe G à seulement 1581 sommets. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 60

Slide 60 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le graphe N admet 20425 sommets. A. de Grey le simplifie en enlevant les sommets qui ne contraignent pas la coloriabilité pour tomber sur un graphe G à seulement 1581 sommets. Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 61

Slide 61 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le projet Polymath est une plate-forme pour des collaborations massives de mathématiciens. Trois des projets du groupe ont donné lieu à des publications d’articles de recherche sous le pseudonyme « D.H.J. Polymath ». Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 62

Slide 62 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Le projet Polymath est une plate-forme pour des collaborations massives de mathématiciens. Trois des projets du groupe ont donné lieu à des publications d’articles de recherche sous le pseudonyme « D.H.J. Polymath ». Voici le seizième projet sur proposition du 10 avril 2018 (après l’article de de Grey) : finding simpler unit distance graphs of chromatic number 5 Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 63

Slide 63 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Parmi les contributeurs à ce projet, Marijn Heule a fait de nombreuses avancées et a simplifié, grâce à un traitement algorithmique de formules logiques, la configuration de Aubrey de Grey en une configuration à « seule- ment » 509 points qui ne peut être coloriée avec moins de 5 couleurs ! Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan

Slide 64

Slide 64 text

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème de Hadwiger-Nelson Majorations Minorations Le graphe de de Grey Et après... Simultanément à A. de Grey, Geoffrey Exoo et Dan Ismailescu ont montré un résultat analogue en supposant deux conditions sur les distances inter- dites pour deux points de même couleur (1 et d = 1 2 √ 31/423/2 + 31/22 + 2) en utilisant le même argument à partir d’un graphe simple où deux som- mets sont forcés à être de même couleur : Roger Mansuy Le nombre chromatique du plan