Tweet
Tweet

Slide 1

Slide 1 text

Couper un gâteau... sans connaître le nombre de convives Roger Mansuy Journées APMEP 2024

Slide 2

Slide 2 text

Introduction Pour l’anniversaire de mon épouse, • j’ai prévu de faire un gâteau, • j’ai invité un couple de vieux amis, mais j’ai oublié de leur demander si leurs deux ados venaient: on sera donc 4, 5 ou 6 autour de la table.

Slide 3

Slide 3 text

Introduction Pour l’anniversaire de mon épouse, • j’ai prévu de faire un gâteau, • j’ai invité un couple de vieux amis, mais j’ai oublié de leur demander si leurs deux ados venaient: on sera donc 4, 5 ou 6 autour de la table. Je souhaite couper le gâteau avant l’arrivée des invités et que l’on puisse le partager équitablement peu importe que le nombre que nous serons.

Slide 4

Slide 4 text

Introduction Pour l’anniversaire de mon épouse, • j’ai prévu de faire un gâteau, • j’ai invité un couple de vieux amis, mais j’ai oublié de leur demander si leurs deux ados venaient: on sera donc 4, 5 ou 6 autour de la table. Je souhaite couper le gâteau avant l’arrivée des invités et que l’on puisse le partager équitablement peu importe que le nombre que nous serons. Comment couper le gâteau?

Slide 5

Slide 5 text

Solution 1: on coupe 60 parts de même taille

Slide 6

Slide 6 text

Solution 1: on coupe 60 parts de même taille • Si on est 4, chacun prend 15 parts. • Si on est 5, chacun prend 12 parts. • Si on est 6, chacun prend 10 parts.

Slide 7

Slide 7 text

Solution 1bis: on coupe p parts de même taille

Slide 8

Slide 8 text

Solution 1bis: on coupe p parts de même taille • Si on est 4, il faut que 4 divise p. • Si on est 5, il faut que 5 divise p. • Si on est 6, il faut que 6 divise p. Ainsi, p est un multiple du ppcm 4 ∨ 5 ∨ 6 = 60.

Slide 9

Slide 9 text

Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 .

Slide 10

Slide 10 text

Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . Il n’y a que 11 parts dans ce découpage.

Slide 11

Slide 11 text

Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . • Si l’on est 4, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 5 60 , 9 60 + 6 60 , 8 60 + 7 60 , 5 60 + 4 60 + 3 60 + 2 60 + 1 60

Slide 12

Slide 12 text

Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . • Si l’on est 4, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 5 60 , 9 60 + 6 60 , 8 60 + 7 60 , 5 60 + 4 60 + 3 60 + 2 60 + 1 60 • Si l’on est 5, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 2 60 , 9 60 + 3 60 , 8 60 + 4 60 , 7 60 + 5 60 , 6 60 + 5 60 + 1 60

Slide 13

Slide 13 text

Solution 2: on coupe des parts de taille 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . • Si l’on est 4, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 5 60 , 9 60 + 6 60 , 8 60 + 7 60 , 5 60 + 4 60 + 3 60 + 2 60 + 1 60 • Si l’on est 5, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 + 2 60 , 9 60 + 3 60 , 8 60 + 4 60 , 7 60 + 5 60 , 6 60 + 5 60 + 1 60 • Si l’on est 6, on se répartit les parts de la façon suivante: 10 60 , 9 60 + 1 60 , 8 60 + 2 60 , 7 60 + 3 60 , 6 60 + 4 60 , 5 60 + 5 60

Slide 14

Slide 14 text

Problème général Pour tout entier n ≥ 2, notons un le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit n − 1, n ou n + 1 convives.

Slide 15

Slide 15 text

Problème général Pour tout entier n ≥ 2, notons un le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit n − 1, n ou n + 1 convives. Que dire de un ?

Slide 16

Slide 16 text

Problème général Pour tout entier n ≥ 2, notons un le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit n − 1, n ou n + 1 convives. Que dire de un ? D’après l’introduction, u5 ≤ 11.

Slide 17

Slide 17 text

Cas particuliers Calculons un pour de petites valeurs de n.

Slide 18

Slide 18 text

Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3

Slide 19

Slide 19 text

Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3 puis que u2 ≥ 4.

Slide 20

Slide 20 text

Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3 puis que u2 ≥ 4. On a également u2 ≤ 4 avec le découpage suivant en parts de taille 2 6 , 2 6 , 1 6 , 1 6 :

Slide 21

Slide 21 text

Pour n = 2, c’est-à-dire 1, 2 ou 3 convives, on vérifie immédiatement que u2 ≥ 3 puis que u2 ≥ 4. On a également u2 ≤ 4 avec le découpage suivant en parts de taille 2 6 , 2 6 , 1 6 , 1 6 : En conclusion, u2 = 4.

Slide 22

Slide 22 text

Photographie Bob Jagendorf

Slide 23

Slide 23 text

Pour n = 3, c’est-à-dire 2, 3 ou 4 convives, montrons que u3 = 6 en deux étapes. • On montre qu’il est impossible d’obtenir un découpage admissible avec au plus 5 parts. • On exhibe un découpage admissible du gâteau avec 6 parts.

Slide 24

Slide 24 text

Pour n = 3, c’est-à-dire 2, 3 ou 4 convives, montrons que u3 = 6 en deux étapes. • On montre qu’il est impossible d’obtenir un découpage admissible avec au plus 5 parts. Ainsi, u3 ≥ 6. • On exhibe un découpage admissible du gâteau avec 6 parts. Ainsi, u3 ≤ 6.

Slide 25

Slide 25 text

Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes.

Slide 26

Slide 26 text

Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes. Quand on partage le gâteau entre 4 personnes, l’une à deux parts et les autres en ont une seule: il y a donc 3 parts de taille 1 4 et 2 parts de taille inférieure.

Slide 27

Slide 27 text

Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes. Quand on partage le gâteau entre 4 personnes, l’une à deux parts et les autres en ont une seule: il y a donc 3 parts de taille 1 4 et 2 parts de taille inférieure. Quand on partage le gâteau entre 3 personnes, chacun doit avoir une part de taille 1 4 (car 1 4 + 1 4 > 1 3 ) mais une d’entre elle ne pourra pas avoir d’autre part: contradiction.

Slide 28

Slide 28 text

Supposons que u3 ≤ 5 donc qu’il existe un découpage acceptable du gâteau en 5 parts que l’on peut partager équitablement entre 2, 3 ou 4 personnes. Quand on partage le gâteau entre 4 personnes, l’une à deux parts et les autres en ont une seule: il y a donc 3 parts de taille 1 4 et 2 parts de taille inférieure. Quand on partage le gâteau entre 3 personnes, chacun doit avoir une part de taille 1 4 (car 1 4 + 1 4 > 1 3 ) mais une d’entre elle ne pourra pas avoir d’autre part: contradiction. En conclusion, u3 > 5, soit u3 ≥ 6.

Slide 29

Slide 29 text

Le découpage suivant 3 12 , 3 12 , 2 12 , 2 12 , 1 12 , 1 12 permet de partager le gâteau entre 2, 3 ou 4 convives:

Slide 30

Slide 30 text

Le découpage suivant 3 12 , 3 12 , 2 12 , 2 12 , 1 12 , 1 12 permet de partager le gâteau entre 2, 3 ou 4 convives: En conclusion, u3 ≤ 6, et puis, par double inégalité, u3 = 6.

Slide 31

Slide 31 text

Pour n = 4, un raisonnement analogue donne u4 = 9

Slide 32

Slide 32 text

Pour n = 4, un raisonnement analogue donne u4 = 9, et un découpage admissible est 12 60 , 12 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60

Slide 33

Slide 33 text

Pour n = 4, un raisonnement analogue donne u4 = 9, et un découpage admissible est 12 60 , 12 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 Pour 5: 12 60 , 12 60 , 10 60 + 2 60 , 8 60 + 3 60 + 1 60 , 7 60 + 5 60 Pour 4: 12 60 + 3 60 , 12 60 + 2 60 + 1 60 , 10 60 + 5 60 , 8 60 + 7 60 Pour 3: 12 60 + 8 60 , 12 60 + 7 60 + 1 60 , 10 60 + 5 60 + 3 60 + 2 60

Slide 34

Slide 34 text

Pour n = 5, un raisonnement analogue donne u5 = 11, et un découpage admissible est 10 60 , 10 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 4 60 , 2 60 , 2 60 , 1 60 , 1 60

Slide 35

Slide 35 text

Pour n = 5, un raisonnement analogue donne u5 = 11, et un découpage admissible est 10 60 , 10 60 , 10 60 , 8 60 , 7 60 , 5 60 , 4 60 , 2 60 , 2 60 , 1 60 , 1 60 Dans l’introduction, on avait le découpage 10 60 , 9 60 , 8 60 , 7 60 , 6 60 , 5 60 , 5 60 , 4 60 , 3 60 , 2 60 , 1 60 . Il n’y a en général pas unicité de la solution!

Slide 36

Slide 36 text

Voici quelques jolis résultats obtenus informatiquement avec des parts de tailles toutes différentes. Pour n = 6, un découpage en 13 parts est 30 210 , 27 210 , 25 210 , 22 210 , 20 210 , 18 210 , 17 210 , 13 210 , 12 210 , 10 210 , 8 210 , 5 210 , 3 210 Pour n = 7, un découpage en 16 parts est 88 840 , 82 840 , 80 840 , 73 840 , 68 840 , 67 840 , 58 840 , 53 840 , 52 840 , 47 840 , 38 840 , 37 840 , 32 840 , 25 840 , 23 840 , 17 840 Pour n = 8, un découpage en 19 parts est 259 2520 , 195 2520 , 185 2520 , 179 2520 , 165 2520 , 161 2520 , 160 2520 , 155 2520 , 150 2520 , 130 2520 , 120 2520 , 119 2520 , 115 2520 , 101 2520 , 95 2520 , 85 2520 , 69 2520 , 56 2520 , 21 2520

Slide 37

Slide 37 text

Voici quelques jolis résultats obtenus informatiquement avec des parts de tailles toutes différentes. Pour n = 6, un découpage en 13 parts est 30 210 , 27 210 , 25 210 , 22 210 , 20 210 , 18 210 , 17 210 , 13 210 , 12 210 , 10 210 , 8 210 , 5 210 , 3 210 Pour n = 7, un découpage en 16 parts est 88 840 , 82 840 , 80 840 , 73 840 , 68 840 , 67 840 , 58 840 , 53 840 , 52 840 , 47 840 , 38 840 , 37 840 , 32 840 , 25 840 , 23 840 , 17 840 Non minimal! Pour n = 8, un découpage en 19 parts est 259 2520 , 195 2520 , 185 2520 , 179 2520 , 165 2520 , 161 2520 , 160 2520 , 155 2520 , 150 2520 , 130 2520 , 120 2520 , 119 2520 , 115 2520 , 101 2520 , 95 2520 , 85 2520 , 69 2520 , 56 2520 , 21 2520 Non minimal!

Slide 38

Slide 38 text

Récapitulons n 1 2 3 4 5 6 7 un 2 4 6 9 11 13 15 Sur OEIS: • A085148: Numbers k such that k!!!!! + 1 is prime • A060106: Numbers that are congruent to 1, 4, 6, 9, 11 mod 12. The ebony keys on a piano, starting with A0 = the 0th key • A160019: Lodumo2 applied to each row of Pascal’s triangle • A160813: a(n) = n-th squarefree number plus n-th cubefree number • A329826: Beatty sequence for (5 + √ (17))/4 • A272371: Maximal balanced binary trees in the Tamari lattices

Slide 39

Slide 39 text

Minoration de un Pour chercher un , on commence par montrer que de ”petites” valeurs sont impossibles... On cherche donc à minorer un .

Slide 40

Slide 40 text

Comme on doit pouvoir partager le gâteau entre n + 1 personnes, on a immédiatement la minoration un ≥ n + 1

Slide 41

Slide 41 text

Comme on doit pouvoir partager le gâteau entre n + 1 personnes, on a immédiatement la minoration un ≥ n + 1 Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 n + 1 3 4 5 6 7 8

Slide 42

Slide 42 text

Si lorsque l’on partage entre n convives, l’un n’obtient qu’une part, alors cette part mesure 1 n ; cette ”grosse” part empêche de partager équitablement le gâteau entre n + 1 convives.

Slide 43

Slide 43 text

Si lorsque l’on partage entre n convives, l’un n’obtient qu’une part, alors cette part mesure 1 n ; cette ”grosse” part empêche de partager équitablement le gâteau entre n + 1 convives. Ainsi, dans le partage entre n convives, chacun a au moins 2 parts et donc un ≥ 2n

Slide 44

Slide 44 text

Si lorsque l’on partage entre n convives, l’un n’obtient qu’une part, alors cette part mesure 1 n ; cette ”grosse” part empêche de partager équitablement le gâteau entre n + 1 convives. Ainsi, dans le partage entre n convives, chacun a au moins 2 parts et donc un ≥ 2n Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 2n 4 6 8 10 12 14

Slide 45

Slide 45 text

Avec quelques efforts, on peut être un peu plus précis dans le cas n ≥ 3: un découpage en 2n parts ne contient que des parts de taille k n(n+1) avec k entier.

Slide 46

Slide 46 text

Avec quelques efforts, on peut être un peu plus précis dans le cas n ≥ 3: un découpage en 2n parts ne contient que des parts de taille k n(n+1) avec k entier. Mais alors, il n’est pas possible de partager en n − 1 convives.

Slide 47

Slide 47 text

Avec quelques efforts, on peut être un peu plus précis dans le cas n ≥ 3: un découpage en 2n parts ne contient que des parts de taille k n(n+1) avec k entier. Mais alors, il n’est pas possible de partager en n − 1 convives. Ainsi, pour n ≥ 3, un ≥ 2n + 1.

Slide 48

Slide 48 text

Majoration de un Brutalement, on obtient un ≤ (n − 1) × n × (n + 1).

Slide 49

Slide 49 text

Majoration de un Brutalement, on obtient un ≤ (n − 1) × n × (n + 1). On peut facilement faire un petit peu mieux un ≤ (n − 1) ∨ n ∨ (n + 1).

Slide 50

Slide 50 text

Majoration de un Brutalement, on obtient un ≤ (n − 1) × n × (n + 1). On peut facilement faire un petit peu mieux un ≤ (n − 1) ∨ n ∨ (n + 1). Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 (n − 1) ∨ n ∨ (n + 1) 6 12 60 60 210 168

Slide 51

Slide 51 text

Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2

Slide 52

Slide 52 text

Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 11-gone

Slide 53

Slide 53 text

Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 12-gone

Slide 54

Slide 54 text

Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 13-gone

Slide 55

Slide 55 text

Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12 11-gone 12-gone 13-gone

Slide 56

Slide 56 text

Construisons des polygones réguliers à n − 1, n et n + 1 sommets ayant un sommet commun. Les segments reliant ces sommets au centre fournissent un découpage admissible. Comme il y a (n − 1) + n + (n + 1) − 2 = 3n − 2 sommets (en tenant compte du sommet commun), un ≤ 3n − 2 Pour n = 12

Slide 57

Slide 57 text

Lorsque n est impair, un argument analogue donne un découpage avec (n − 1) + n + (n + 1) − 2 − 1 sommets (en remarquant que le point opposé au sommet de départ est commun au (n − 1)-gone et au (n + 1)-gone), donc un ≤ 3n − 3

Slide 58

Slide 58 text

Lorsque n est impair, un argument analogue donne un découpage avec (n − 1) + n + (n + 1) − 2 − 1 sommets (en remarquant que le point opposé au sommet de départ est commun au (n − 1)-gone et au (n + 1)-gone), donc un ≤ 3n − 3 Comparons avec les valeurs connues de un : n 2 3 4 5 6 7 un 4 6 9 11 13 15 3n − {2 ou 3} 4 6 10 12 16 19

Slide 59

Slide 59 text

Équivalent de un Montrons le théorème suivant. Théorème. un = 2n + O( √ n).

Slide 60

Slide 60 text

Équivalent de un Montrons le théorème suivant. Théorème. un = 2n + O( √ n). Étant donnée la minoration en 2n déjà obtenue, il suffit de travailler pour obtenir une majoration du même ordre de grandeur.

Slide 61

Slide 61 text

L’idée générale va consister à partager intelligemment une majorité du gâteau puis de gérer de manière plus frustre le relicat. Plus précisément, notons m = ⌊ √ n⌋ et séparons le gâteau en deux parties: l’une de proportion m2 n , l’autre de proportion 1 − m2 n . proportion: m2 n proportion: 1 − m2 n

Slide 62

Slide 62 text

Commençons par couper la ”grande” partie en 2m2 parts dont les tailles (proportions) sont, pour tous i, j ∈ 1, m , ai,j = 1 2n + i (n−1)n + j n(n+1) , et bi,j = 1 n − ai,j .

Slide 63

Slide 63 text

Commençons par couper la ”grande” partie en 2m2 parts dont les tailles (proportions) sont, pour tous i, j ∈ 1, m , ai,j = 1 2n + i (n−1)n + j n(n+1) , et bi,j = 1 n − ai,j . Remarquons que • ces proportions sont bien toutes positives, • leur somme est égale à m2 n .

Slide 64

Slide 64 text

Soit (i, j) ∈ 1, m 2. Alors, ai,j + bi,j = 1 n .

Slide 65

Slide 65 text

Soit (i, j) ∈ 1, m 2. Alors, ai,j + bi,j = 1 n . On a ainsi une façon de faire m2 portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n . Il en faut n pour partager le gâteau entre n convives.

Slide 66

Slide 66 text

Soit (i, j) ∈ 1, m 2. Alors, ai,j + bi,j = 1 n . On a ainsi une façon de faire m2 portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n . Il en faut n pour partager le gâteau entre n convives. Il suffit de couper le reste du gâteau en n − m2 parts égales.

Slide 67

Slide 67 text

Soit (i, j) ∈ 1, m − 1 × 1, m . Alors, ai+1,j + bi,j = 1 (n−1)n + ai,j + bi,j = 1 (n−1)n + 1 n = 1 n−1 .

Slide 68

Slide 68 text

Soit (i, j) ∈ 1, m − 1 × 1, m . Alors, ai+1,j + bi,j = 1 (n−1)n + ai,j + bi,j = 1 (n−1)n + 1 n = 1 n−1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n−1 . Il en faut n − 1 pour partager le gâteau entre n − 1 convives.

Slide 69

Slide 69 text

Soit (i, j) ∈ 1, m − 1 × 1, m . Alors, ai+1,j + bi,j = 1 (n−1)n + ai,j + bi,j = 1 (n−1)n + 1 n = 1 n−1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n−1 . Il en faut n − 1 pour partager le gâteau entre n − 1 convives. Il suffit de (re-)couper le reste du gâteau en (n − 1) − (m − 1)m parts égales.

Slide 70

Slide 70 text

Soit (i, j) ∈ 1, m × 1, m − 1 . Alors, ai,j + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + ai,j+1 + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + 1 n = 1 n+1 .

Slide 71

Slide 71 text

Soit (i, j) ∈ 1, m × 1, m − 1 . Alors, ai,j + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + ai,j+1 + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + 1 n = 1 n+1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n+1 . Il en faut n + 1 pour partager le gâteau entre n + 1 convives.

Slide 72

Slide 72 text

Soit (i, j) ∈ 1, m × 1, m − 1 . Alors, ai,j + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + ai,j+1 + bi,j+1 = − 1 n(n+1) + 1 n = 1 n+1 . On a ainsi une façon de faire (m − 1)m portions (avec deux parts chacune) de taille 1 n+1 . Il en faut n + 1 pour partager le gâteau entre n + 1 convives. Il suffit de (re-)couper le reste du gâteau en (n + 1) − (m − 1)m parts égales.

Slide 73

Slide 73 text

Avec cette stratégie, on obtient au plus 2m2 + ( n − m2 ) + ( (n − 1) − (m − 1)m ) + ( (n + 1) − (m − 1)m ) parts.

Slide 74

Slide 74 text

Avec cette stratégie, on obtient au plus 2m2 + ( n − m2 ) + ( (n − 1) − (m − 1)m ) + ( (n + 1) − (m − 1)m ) parts. Rappelons que l’encadrement √ n − 1 < m ≤ √ n entraîne les estimations asymptotiques suivantes: Lemme. m = O( √ n) et m2 = n + O( √ n).

Slide 75

Slide 75 text

Avec cette stratégie, on obtient au plus 2m2 + ( n − m2 ) + ( (n − 1) − (m − 1)m ) + ( (n + 1) − (m − 1)m ) parts. Rappelons que l’encadrement √ n − 1 < m ≤ √ n entraîne les estimations asymptotiques suivantes: Lemme. m = O( √ n) et m2 = n + O( √ n). Le découpage proposé a donc un nombre de parts de la forme 2n + O( √ n), ce qui achève la démonstration du théorème.

Slide 76

Slide 76 text

Une variante Pour tous entiers m, n ≥ 2, notons vm,n le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit m ou n convives.

Slide 77

Slide 77 text

Une variante Pour tous entiers m, n ≥ 2, notons vm,n le nombre minimal de parts d’une découpe d’un gâteau telle que l’on puisse se partager équitablement le gâteau que l’on soit m ou n convives. Que dire de vm,n ?

Slide 78

Slide 78 text

On dispose d’une formule explicite pour cette quantité. Théorème. vm,n = m + n − m ∧ n.

Slide 79

Slide 79 text

On dispose d’une formule explicite pour cette quantité. Théorème. vm,n = m + n − m ∧ n. En revenant au problème initial, on obtient que un ≥ vn,n+1 = 2n.

Slide 80

Slide 80 text

Montrons tout d’abord la majoration vm,n ≤ m + n − m ∧ n.

Slide 81

Slide 81 text

Montrons tout d’abord la majoration vm,n ≤ m + n − m ∧ n. Considérons un m-gone régulier et un n-gone régulier partageant un sommet; comme ils admettent m ∧ n sommets communs, la figure obtenue comporte m + n − m ∧ n sommets Pour m = 8 et n = 12 (et donc m ∧ n = 4) 8-gone 12-gone

Slide 82

Slide 82 text

Montrons tout d’abord la majoration vm,n ≤ m + n − m ∧ n. Considérons un m-gone régulier et un n-gone régulier partageant un sommet; comme ils admettent m ∧ n sommets communs, la figure obtenue comporte m + n − m ∧ n sommets donc fournit un découpage admissible à m + n − m ∧ n parts. Pour m = 8 et n = 12 (et donc m ∧ n = 4) 8-gone 12-gone

Slide 83

Slide 83 text

Pour la minoration vm,n ≥ m + n − m ∧ n, on associe un graphe à chaque découpage admissible: • m sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour m convives, • n sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour n convives, • une arête joint deux sommets si une part appartient aux deux portions associées aux sommets.

Slide 84

Slide 84 text

Pour la minoration vm,n ≥ m + n − m ∧ n, on associe un graphe à chaque découpage admissible: • m sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour m convives, • n sommets représentent les portions lors du découpage équitable pour n convives, • une arête joint deux sommets si une part appartient aux deux portions associées aux sommets. Il s’agit d’un graphe biparti dont le nombre d’arêtes est le nombre de parts du découpage.

Slide 85

Slide 85 text

Exemple avec m = 5, n = 6.

Slide 86

Slide 86 text

Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Slide 87

Slide 87 text

Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {1, 10} {2, 9} {3, 8} {4, 7} {5, 6, 11}

Slide 88

Slide 88 text

Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {1, 10} {2, 9} {3, 8} {4, 7} {5, 6, 11} {1} {2, 11} {3, 10} {4, 9} {5, 8} {6, 7}

Slide 89

Slide 89 text

Exemple avec m = 5, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 {1, 10} {2, 9} {3, 8} {4, 7} {5, 6, 11} {1} {2, 11} {3, 10} {4, 9} {5, 8} {6, 7}

Slide 90

Slide 90 text

Exemple avec m = 4, n = 6.

Slide 91

Slide 91 text

Exemple avec m = 4, n = 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 {1, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} {1} {2, 3} {4} {5} {6, 7} {8}

Slide 92

Slide 92 text

Lemme. Un graphe connexe à s sommets admet au moins s − 1 arêtes.

Slide 93

Slide 93 text

Lemme. Un graphe connexe à s sommets admet au moins s − 1 arêtes. Lemme. Un graphe à p composantes connexes et s sommets admet au moins s − p arêtes.

Slide 94

Slide 94 text

Lemme. Un graphe connexe à s sommets admet au moins s − 1 arêtes. Lemme. Un graphe à p composantes connexes et s sommets admet au moins s − p arêtes. Il reste alors à ”déterminer” le nombre de composantes connexes du graphe associé à un découpage.

Slide 95

Slide 95 text

Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm.

Slide 96

Slide 96 text

Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm. En notant d = m ∧ n, m = dm′ et n = dn′, on a an′ = bm′.

Slide 97

Slide 97 text

Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm. En notant d = m ∧ n, m = dm′ et n = dn′, on a an′ = bm′. Ainsi, d’après le lemme de Gauss, n′ divise b, puis b ≥ n′ = n m∧n .

Slide 98

Slide 98 text

Remarquons qu’une composante connexe du graphe associé au découpage qui comporte a sommets de la partition en m parts et b sommets de la partition en n parts vérifie a × 1 m = b × 1 n , soit an = bm. En notant d = m ∧ n, m = dm′ et n = dn′, on a an′ = bm′. Ainsi, d’après le lemme de Gauss, n′ divise b, puis b ≥ n′ = n m∧n . Comme il y a au moins n m∧n sommets (de la deuxième catégorie) dans chaque composante connexe et n sommets (de la deuxième catégorie) au total, il y a au plus m ∧ n composantes connexes.

Slide 99

Slide 99 text

Ainsi, il y a au plus m ∧ n composantes connexes dans notre graphe. Rappelons le lemme: Lemme. Un graphe à p composantes connexes et s sommets admet au moins s − p arêtes. Le graphe associé au découpage admet au moins m + n − m ∧ n arêtes d’où vm,n ≥ m + n − m ∧ n.

Slide 100

Slide 100 text

Conclusion Finalement, j’ai choisi de faire des fondants chocolat-speculoos qui se dégèlent/cuisent à la dernière minute: pas de découpage!

Slide 101

Slide 101 text

Conclusion Finalement, j’ai choisi de faire des fondants chocolat-speculoos qui se dégèlent/cuisent à la dernière minute: pas de découpage! Source mathématique sur Math Overflow