みんなでたのしむ math/big / i love math big

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みんなでたのしむ math/big 2024/05/10(金) Asakusa.go

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自己紹介 @convto レイヤ低めの技術などに興味があります読みはこんぶとですつくばエクスプレス沿線ユーザー、論理浅草勢として参戦しました

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突然ですが Go Conference 2024 参加しますか？

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すきなパッケージなにを選びましたか？

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ぼくは math/big ! - math/big はいいぞ - あったら嬉しい処理を標準で準備してくれてるのは助かる - 実装も TAOCP で言及されてるやつばっかり - どういう課題があるのか、どういう面白いことしてるのか、ざっと触りを伝えたい

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発表の目的 - 課題: math/big は面白いが, おもしろいと言ってる人をあまり見かけない - 目的: どういう課題があるのか, どういう面白いことしてるのか, ざっと触りを伝えたい - いきごみ: 前提知識が必要なところもあるので, そのへんは深入りせずみんなでたのしみましょう〜

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今日話すこと

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contents - math/big ってなに？ - どういうところで使われてるの？ - 多倍長演算って大変なの？ - math/big はどういうアルゴリズムを実装してるの？ - まとめ: math/big はいいぞ

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math/big ってなに？

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ようは限界を超えて舞えるやつ

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word size を超えた多倍長演算をサポートする - 値を word size の値の slice として扱って、でかい整数や任意精度の浮動小数とかの演算をする - な、なにがうれしいんだってばよ...？ big.Int の型はこれだけ (nat は word の slice)

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どういうところで使われてるの？

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使われかたいろいろ - math/big.Int だけみても, 暗号周りでよく使う - 巨大な整数の冪乗とかたくさんするため, RSA 以外にもいろいろ - math/big.Float は ethereum/go-ethereum とかで使われてるのを見た std crypto で使われてる図

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多倍長演算って大変なの？

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len x_1 x_2 x_3 x_4 y_1 y_2 y_3 y_4 +

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len x_1 x_2 x_3 x_4 y_1 y_2 y_3 y_4 + r_4 carry_4

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len x_1 x_2 x_3 x_4 y_1 y_2 y_3 y_4 + r_4 r_3 carry_3

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len x_1 x_2 x_3 x_4 y_1 y_2 y_3 y_4 + z_4 z_3 carry_3 以下繰り返す...

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len x_1 x_2 x_3 x_4 y_1 y_2 y_3 y_4 + z_4 z_3 z_2 z_1 carry_1

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len x_1 x_2 x_3 x_4 y_1 y_2 y_3 y_4 - z_4 z_3 z_2 z_1 borrow_4 … 減算も大体おなじ！足りなかったら借りてきたりするとかちょっと違いはあるが、減算も大体おなじ！

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる x_1 x_2 x_3 y_1 y_2 y_3 x

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる x_1 x_2 x_3 y_1 y_2 y_3 x z_3:3 z_2:3 z_1:3 c_3:3 c_2:3 c_1:3

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる x_1 x_2 x_3 y_1 y_2 y_3 x z_3:3 z_2:3 z_1:3 c_3:3 c_2:3 c_1:3 z_3:2 z_2:2 z_1:2 c_2:2 c_3:2 c_1:2

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる x_1 x_2 x_3 y_1 y_2 y_3 ÷

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる x_1 x_2 x_3 y_1 y_2 y_3 ÷ z_1 z_2 z_3 上の桁から for 1..9 mul(y, i) して、xに収まる最大の値を入れていく...

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる - ぼくらは (bigint^bigint) mod bigint とかをやりたがるが, そんなことをすると号泣してしまう

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計算コストとか (多倍長整数) - 加算, 減算は雑にやっても O(N) とか. N は word slice の len - 乗算, 除算は結構きつい. ざつにやると O(N^2) になる - ぼくらは (bigint^bigint) mod bigint とかをやりたがるが, そんなことをすると号泣してしまう - O(N^2) の掛け合わせだってばよ...

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それ以外に求められる機能とか - 算術演算だけじゃなくて、ほかにも求められるものがある - bit shift 的な操作もほしーよーとか - 任意サイズのでけー素数を生成して〜とか - 泣いちゃいますね

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大変です - 演算するだけでも計算量低いアルゴリズムを使わんとあかん, 素朴にやってはいけません - それだけじゃなくて, いくつかの要求もあるためそれにも答えないとあかん

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math/big はどういうアルゴリズムを実装してるの？

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てきとうにpickして説明

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karatsuba 法による多倍長整数乗算 - [x_1, x_2] * [y_1, y_2] の乗算は, 4回計算必要 - x1*y1, x1*y2, x2*y1, x2*y2 - (厳密にはこれらを足し合わせる必要があるが省略)

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x_1 x_2 y_1 y_2 x_2*y_2 x karatsuba 法による多倍長整数乗算 - [x_1, x_2] * [y_1, y_2] の乗算は, 4回計算必要 - x1*y1, x1*y2, x2*y1, x2*y2 - (厳密にはこれらを足し合わせる必要があるが省略) x_2*y_1 x_1*y_2 x_1*y_1 * word * word * (word ^ 2)

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x_1 x_2 y_1 y_2 x_2*y_2 x karatsuba 法による多倍長整数乗算 - [x_1, x_2] * [y_1, y_2] の乗算は, 4回計算必要 - x1*y1, x1*y2, x2*y1, x2*y2 - (厳密にはこれらを足し合わせる必要があるが省略) - これを3回にできるテクがある x_2*y_1 x_1*y_2 x_1*y_1 * word * word * (word ^ 2)

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ふつうにやるとこう x_2*y_1 x_1*y_2 ( + ) + << word x_2*y_2 x_1*y_1 << (word * 2) + + 乗算4回

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こいつをグッとにらむ x_2*y_1 x_1*y_2 ( + )

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こいつをグッとにらむ x_2*y_1 x_1*y_2 ( + ) = x_2 + x_1 y_1 + y_2 ( * ) - ( + ) x_1*y_1 x_2*y_2

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こいつをグッとにらむ x_2*y_1 x_1*y_2 ( + ) = x_2 + x_1 y_1 + y_2 ( * ) - ( + ) x_1*y_1 x_2*y_2 すでに求めてるのでコストなし

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こいつをグッとにらむ x_2*y_1 x_1*y_2 ( + ) = x_2 + x_1 y_1 + y_2 ( * ) - ( + ) x_1*y_1 x_2*y_2 すでに求めてるのでコストなしコストの高い乗算が 2回 -> 1回に！

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さっきのに入れるとこうなる x_2 + x_1 y_1 + y_2 ( * ) - ( + ) x_1*y_1 x_2*y_2 ( ) << word x_2*y_2 x_1*y_1 << (word * 2) + +

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さっきのに入れるとこうなる x_2 + x_1 y_1 + y_2 ( * ) - ( + ) x_1*y_1 x_2*y_2 ( ) << word x_2*y_2 x_1*y_1 << (word * 2) + + 3回しか乗算してない！

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ほかにもいろいろ！ - GCD(最大公約数)だすやつ - 冪乗のmodとるやつ - 剰余環の逆元とるやつ - and more!

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うれしい！ - これほしいな〜と思うものは大体ある - かつ妥当なアルゴリズムを使ってる - 前提知識を求めるものも標準で作られてる！ - 実質 TAOCP 本であり、本読みながら実装みるとたのしい

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まとめ: math/big はいいぞ

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math/big はいいぞ - こいつがなかったら crypto package はギャンこまり - 実質 TAOCP 詰め合わせセット. コードにも TAOCP section x.y を参考にしたでみたいなコメントいっぱいある. 本片手に読むといい勉強になる - みんなもでかい値を扱おう！

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今週のスローガン - 夢は大きく値もでかく, みんなでやろう math/big