グラフアルゴリズムその2: 単一始点最短路問題 /graphShortestPaths

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グラフアルゴリズムその2 単一始点最短路問題 2018-01-30 宮川拓

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参考  『アルゴリズムイントロダクション』, 第3版, 24章「単一始点最短路問題」 2/42

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def 最短路問題  グラフの頂点間をつなぐ最短の道と、その重みを求める 3/42

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最短路問題の分類  単一始点最短路問題:  始点sから各頂点への最短路を求める  単一目的地最短路問題:  各頂点から目的地tへの最短路を求める  本質的には単一始点最短路問題と同じ  単一点対最短路問題:  ある頂点対(u, v)間の最短路を求める  uを始点とする単一始点最短路問題の部分問題  全点対最短路問題:  すべての頂点対(u, v)間の最短路を求める 4/42

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最短路問題の分類  重み付きグラフ  重みなしグラフ  → 幅優先探索で解ける 5/42

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最短路問題の分類  負の重みを持つ辺が含まれない場合  負の重みを持つ辺が含まれる場合  負の重みを持つ閉路がある場合、最短路が定義できない頂点対が出現する t v s u -5 -3 2 4 (u, t, v)より(u, t, v, s, t, v), (u, t, v, s, t, v, s, t, v),,, の方が短い 6/42

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取り上げるアルゴリズム  Bellman-Fordアルゴリズム  負の重みを持つ辺が扱える  負閉路が検出できる  遅い  Dijkstraのアルゴリズム  負の重みを持つ辺が扱えない  速い 7/42

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Bellman-Fordアルゴリズム 8/42

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データ構造頂点 = { Pred: （暫定）最短路で1つ手前の頂点 Dist: （暫定）最短路で始点からの距離 } // 探索が終わった時点で、暫定でなくなる辺 = { From: 矢羽側の頂点 To: 矢尻側の頂点 Weight: 辺重み } 9/42

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Bellman-Fordアルゴリズム始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定 loop (頂点の数 - 1) 回: // ← なんで？ for すべての辺(From To Weight): D = From.Dist + Weight if D が To.Distよりも短ければ: Toを更新: .Pred=From .Dist=D endif endfor endloop この時点でFrom.Dist+Weight < To.Dist となる辺があれば、グラフは負閉路を含んでいる 10/42

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例題 c d e b a S 1 2 1 4 6 1 2 3 11/42

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探索開始 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 2 1 4 6 1 2 3 12/42

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ループ1: d→a ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし ※From側のDistが∞だから 13/42

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ループ1: c→b ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 14/42

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ループ1: c→d ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 15/42

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ループ1: b→d ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 16/42

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ループ1: a→c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 17/42

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ループ1: S→a ∞ ∞ ∞ ∞ 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更: ∞→1 18/42

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ループ1: S→b ∞ ∞ ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更: ∞→1 19/42

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ループ1: S→c 6 ∞ ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更: ∞→6 20/42

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ループ2: d→a 6 ∞ ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 21/42

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ループ2: c→b 6 ∞ ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 22/42

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ループ2: c→d 6 7 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更: ∞→7 23/42

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ループ2: b→d 6 5 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更: 7→5 24/42

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ループ2: a→c 3 5 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更: 6→3 25/42

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ループ2: S→a 3 5 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 26/42

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ループ2: S→b 3 5 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 27/42

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ループ2: S→c 3 5 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 変更なし 28/42

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ループ5終了時点 3 4 ∞ 1 1 0 1 2 1 4 6 1 2 3 観察:  各頂点に、0/1個のpredが設定されている  最短路の部分経路もまた最短路である 29/42

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繰り返し回数の直感的理解  頂点の数だけが与えられている場合、最短路の辺の数は高々(頂点数-1) 例: 6頂点(S, a, b, c, d, e)→5辺  (頂点数-1)回だけ繰り返せば、すべての最短路のすべての辺がたどられるはず 31/42

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Bellman-Fordアルゴリズム始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定 loop (頂点の数 - 1) 回: for すべての辺(From To Weight): D = From.Dist + Weight if D が To.Distよりも短ければ: Toを更新: .Pred=From .Dist=D endif endfor endloop この時点でFrom.Dist+Weight < To.Dist となる辺があれば、グラフは負閉路を含んでいる計算量: O(頂点数*辺数) 32/42

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Dijkstraのアルゴリズム 33/42

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データ構造頂点 = { Pred: （暫定）最短路で1つ手前の頂点 Dist: （暫定）最短路で始点からの距離 Neibors: (矢印の先の頂点, 重み)の集合 } 頂点の優先度付きキュー = { extractMin(): 距離が最も小さい頂点を抜き出す decreaseKey(V, Dist): 頂点Vの距離を更新する } // 距離を優先度とする 34/42

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Dijkstraのアルゴリズム始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定 Q = すべての頂点を含む優先度付きキュー while Qが空でない間: Min = Q.extractMin() for すべてのMin.neibors → (V, Weight) : D = Min.dist + Weight if DがV.distよりも短ければ: Vを更新: .Pred=Min .Dist=D Q.decreaseKey(V, D) endif endfor endwhile 35/42

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直感的な理解最短路と距離が確定した頂点の集合S 最短路と距離が未確定の頂点の集合Q Sの中の頂点は最短路が確定している最短路は Sに含まれる頂点だけで構成される 36/42

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直感的な理解最短路と距離が確定した頂点の集合S 最短路と距離が未確定の頂点の集合Q Qの中の頂点は最短路が未確定 Sの中の頂点から来る道があれば、そのいずれかが暫定最短路として設定されている 37/42

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直感的な理解最短路と距離が確定した頂点の集合S 最短路と距離が未確定の頂点の集合Q Min Qから、暫定距離が最も短い頂点Minを選ぶ 38/42

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直感的な理解最短路と距離が確定した頂点の集合S 最短路と距離が未確定の頂点の集合Q Min Minの最短路は確定できる！ Qの中の他の頂点をたどる道が最短路であることはないから ※ 負辺はない前提 39/42

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直感的な理解最短路と距離が確定した頂点の集合S 最短路と距離が未確定の頂点の集合Q Min MinからQへの暫定最短路があれば更新する 40/42

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Dijkstraのアルゴリズムの計算量始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定 Q = すべての頂点を含む優先度付きキュー while Qが空でない間: Min = Q.extractMin() for すべてのMin.neibors → (V, Weight) : D = Min.dist + Weight if DがV.distよりも短ければ: Vを更新: .Pred=Min .Dist=D Q.decreaseKey(V, D) endif endfor endwhile 頂点数回実行されるだいたい辺数回実行される 41/42

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Dijkstraのアルゴリズムの計算量優先度付きキューの操作の計算量に依存優先度付きキューの実装 extractMin decrease Key Dijkstraの計算量 2 分ヒープ Θ(log N) Θ(log N ) Θ(辺数* log頂点数 +頂点数* log頂点数) フィボナッチヒープ Θ(log N) Θ(1) ※ならし Θ(辺数 +頂点数* log頂点数) ※ならし計算量は漸近的にフィボナッチヒープが有利フィボナッチヒープの実装は複雑、 2分ヒープは単純なので、グラフが小さい場合は 2分ヒープを使う方が有利 42/42 ※N = 優先度付きキューの要素数