NIID Summer School 2023 (時)空間解析と疫学 国⽴感染症研究所 第12室⻑ ⽶岡 ⼤輔

⽬次 1. 空間データの基本(座標系とCRS) 2. 空間相関と隣接と表現 3. 空間統計量(⼤域空間 vs局所空間 統計量) 4. 地域データのための回帰モデル 5. 点データのためのクリギング 6. 地理的加重回帰 7. 時空間モデリング 2/60

空間データの種類とOpen data ベクタデータについて • ポイント(点)、ライン(線)、ポリゴン(⾯)、属性データの組み合わせ • Shape file .shp: 図形(点、線、⾯)を格納 .dbf: 属性データを格納 .shx: 図形(点、線、⾯)と属性データの対応関係を格納 .prj: 座標系(後述) を格納 サイト⼀例 • 国⼟数値情報ダウンロードサービス(https://nlftp.mlit.go.jp/ksj/) • 地図で⾒る統計(統計GIS)(https://www.e-stat.go.jp/gis) • G空間情報センター(https://front.geospatial.jp/) 3/60

座標参照系: CRS Coordinate reference system (CRS) • 位置を⼆次元座標で表すための規格 (地理座標系 vs 投影座標系) • 地理座標系 世界測地系(WGS84) : ⽶国が作成している代表的系(緯度経度で表現) ⽇本測地系(JGD2011) : ⽇本独⾃の地理座標系 • 投影座標系 平⾯直⾓座標系: ⽇本を19ゾーン分割して投影 UTM座標系: 全球を6度ごとに分割して投影 • EPSGコード: 各座標系にはEPSGコード WGS84: 4326 JGD2011: 6668 平⾯直⾓座標系: (ゾーンによるけど) 東京なら6677 4/60

CRSの設定 “sf”パッケージ • CRSはst_crs()で設定 CRSを設定すると • st_coordinates: 位置座標計算 • st_area: ⾯積 • st_centroid: 重⼼点 • st_distance: 距離 • st_buffffer: 点からの⼀定距離 のバッファ発⽣ 5/60

空間相関と隣接関係 Tobler(1970): 空間相関が地理学第⼀定理に位置づけられる 【空間相関】 近隣と相関関係を持つ • 正の空間相関: 近隣と同じ傾向を持つ。 (ex. ⼟地価格) • 負の空間相関: 近隣と逆傾向を持つ。空間競争。 (ex. 顧客の奪い合いによる売上) 【近さの定義】 rook型、queen型、k-近傍型 【どれ使う?】 陸続きならrook or queen ⽇本みたいな島国ならk-近傍が多い 負 ランダム 正 6/60

近接⾏列 (adjancy/proximity/distance matrix) エリアiとエリアjの近さ!!" を第(", $)要素に持つ⾏列 近さの定義は別に地球上の(Euclid)距離である必要ないよね！ cf. ネットワーク上の距離 (effective distance)、⽊構造 0 or 1の単純な 隣接関係 近さで表現する 隣接関係 7/60 Brockmann, D., & Helbing, D. (2013). The hidden geometry of complex, network- driven contagion phenomena. Science, 342(6164), 1337-1342.

正の相関 I = 0.486 C = 0.632 ランダム I = -0.003 C = 1.032 空間統計量: ⼤域 (Global) vs 局所 (Local) 【GISA】: ⼤域空間統計量(Global indicator of spatial association) (標本)全体に対する空間相関の強さ Moran’s IとGeary’s C統計量が有名 (あと時間あったらC*統計量) 【LISA】: 局所空間統計量(Local indicator of spatial association) ある⼀部分の局所に対する空間相関の強さ Local Moran’s IとLocal Geary’s C統計量が有名(あと時間あったらlocal C*統計量) GISAを⼩地域に分割したものがLISA 8/60 AAACD3icbVDLSsNAFJ3UV62vqEs3g0VxVRLxtSlUXaggpaJ9QBPDZDpph04ezEyEEvIHbvwVNy4UcevWnX/jtM1CWw9cOJxzL/fe40aMCmkY31puZnZufiG/WFhaXlld09c3GiKMOSZ1HLKQt1wkCKMBqUsqGWlFnCDfZaTp9s+HfvOBcEHD4E4OImL7qBtQj2IkleTouxdXt6ewDK2OxxFOzDSpppaIfSehZTO9r8Jr5TvU0YtGyRgBThMzI0WQoeboX1YnxLFPAokZEqJtGpG0E8QlxYykBSsWJEK4j7qkrWiAfCLsZPRPCneU0oFeyFUFEo7U3xMJ8oUY+K7q9JHsiUlvKP7ntWPpndgJDaJYkgCPF3kxgzKEw3Bgh3KCJRsogjCn6laIe0gFI1WEBRWCOfnyNGnsl8yj0uHNQbFylsWRB1tgG+wBExyDCrgENVAHGDyCZ/AK3rQn7UV71z7GrTktm9kEf6B9/gC2Xps5 GISA = 1 N N X i=1 LISAi

⼤域空間統計量 GISA : (global) Moran’s I 「今⾒ている範囲内」での空間相関はどう？ 【Moranʼs I】近隣との相関に基づく I=0: ランダム 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 I = N P i P j wij P i P j wij(yi ¯ y)(yj ¯ y) P i (yi ¯ y)2 AAAB+HicbVDLSsNAFL2pr1ofjbp0M1gENy2J+FoW3biSCvYBbSiTyaQdOpmEmYlQQ77EjQtF3Pop7vwbp4+Fth64cDjnXu69x084U9pxvq3Cyura+kZxs7S1vbNbtvf2WypOJaFNEvNYdnysKGeCNjXTnHYSSXHkc9r2RzcTv/1IpWKxeNDjhHoRHggWMoK1kfp2udoLQolJ5ubZXdXN+3bFqTlToGXizkkF5mj07a9eEJM0okITjpXquk6ivQxLzQineamXKppgMsID2jVU4IgqL5senqNjowQojKUpodFU/T2R4UipceSbzgjroVr0JuJ/XjfV4ZWXMZGkmgoyWxSmHOkYTVJAAZOUaD42BBPJzK2IDLHJQZusSiYEd/HlZdI6rbkXtfP7s0r9eh5HEQ7hCE7AhUuowy00oAkEUniGV3iznqwX6936mLUWrPnMAfyB9fkD7OiSoQ== 1 N 1 AAACJXicbVDLSgMxFM34dnxVXboJVsFVmRFfy6IbV6JgW6EzlEyaaYOZZEjuqMPQH/BH3LrVf3Angiv3foXpA7TqgcDJOfeRnCgV3IDnvTsTk1PTM7Nz8+7C4tLySml1rW5UpimrUSWUvoqIYYJLVgMOgl2lmpEkEqwRXZ/0/cYN04YreQl5ysKEdCSPOSVgpVZpK7jTvNMForW6bZ4F3xcccBlDHhY9r1UqexVvAPyX+CNSRiOct0qfQVvRLGESqCDGNH0vhbAgGjgVrOcGmWEpodekw5qWSpIwExaD3/TwtlXaOFbaHgl4oP7sKEhiTJ5EtjIh0DW/vb74n9fMID4KCy7TDJikw0VxJjAo3I8Gt7lmFERuCaGa27di2iWaULABjm3pzwalhOm5rg3H/x3FX1LfrfgHlf2LvXL1eBTTHNpAm2gH+egQVdEpOkc1RNE9ekRP6Nl5cF6cV+dtWDrhjHrW0Ricjy8ee6af ! N!1 0 9/60 実装: spdepパッケージのmoran.test

⼤域空間統計量 GISA: (global) Geary’s C 【Geary’s C】近隣との差に基づく C=1: ランダム 01: 負の相関 Z検定による仮説検定も可能 H0: 観測値がランダムな空間分布を持つ のもとで標準正規分布に従う Special Note • Moranʼs IとGearyʼs Cはほぼ同じ傾向を持つ (ので、Moranʼs Iを使っておけばOKか？) • 空間相関が強いほど、 Morayʼs Iは⼤、Gearyʼs Cは⼩ 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 C = N 1 P i P j wij P i P j wij(yi yj)2 P i (yi ¯ y)2 10/60 実装: spdepパッケージのgeary.test

⼤域空間統計量 GISA : (global) G* 【G*】⾮負の観測値のみを対象 G*>0 but small: ランダムに分布 Large G*: 特定の地域に集中 空間相関をみるというより寧ろ、空間集積性を(globalに)検定 「今⾒ている範囲の中に集積点はあるのか？」 Z検定による仮説検定も可能 H0: 空間集積が存在しない、のもとで標準正規分布に従う 11/60 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 G⇤ = P i P j w⇤ ij yiyj P i P j yiyj , where w⇤ ij takes 1 if i = j and wij otherwise. 実装: spdepパッケージのglobalG.test

局所空間統計量 LISA : (local) Moran’s I 「⾃分i の周り」の空間相関はどう？ 【local Moranʼs I】 =0: ⾃分と周辺の関係はランダム 0< ≤1: 正の相関 (⾃分と周りは似ている) <0: 負の相関 (⾃分と周りは逆) Z検定による仮説検定も可能 H0: ⾃分i の周辺には空間相関がないという 帰無仮説のもとで標準正規分布に従う 12/60 実装: spdepパッケージのlocalmoran.test 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 Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} 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 Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} 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 Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} 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 Ii = (N 1){ P j wij(yj ¯ y)} (yi ¯ y){ P i=1,i6=j (yi ¯ y) ¯ y2} -4 -2 0 2 4 lmoran ⼈⼝のlocal moran’s I 0.2 0.4 0.6 0.8 pvalue local moran’s Iのp値

Moran scatterplot 空間相関パターンを⾃分iとその周辺にわけて散布図 13/60 2.0e+06 4.0e+06 6.0e+06 8.0e+06 1.0e+07 1.2e+07 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 5e+06 6e+06 pref$population spatially lagged pref$population Ibaraki Tokyo Kanagawa Yamanashi Shizuoka Osaka ⾃分がどうか？ AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBovgxpKIr2XRjcsK9gFpKJPppB06mQkzEyGEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89YcKZNq777ZRWVtfWN8qbla3tnd296v5BW8tUEdoikkvVDbGmnAnaMsxw2k0UxXHIaScc3039zhNVmknxaLKEBjEeChYxgo2V/KzPznohVnk26Vdrbt2dAS0TryA1KNDsV796A0nSmApDONba99zEBDlWhhFOJ5VeqmmCyRgPqW+pwDHVQT47eYJOrDJAkVS2hEEz9fdEjmOtszi0nTE2I73oTcX/PD810U2QM5GkhgoyXxSlHBmJpv+jAVOUGJ5Zgoli9lZERlhhYmxKFRuCt/jyMmmf172r+uXDRa1xW8RRhiM4hlPw4BoacA9NaAEBCc/wCm+OcV6cd+dj3lpyiplD+APn8wd0ApFi yi ¯ y AAACA3icbVDLSsNAFJ3UV62vqDvdDBahLiyJ+FoW3bisYB/QhDCZTttpZ5IwM1FCCLjxV9y4UMStP+HOv3HaZqGtBy4czrmXe+/xI0alsqxvo7CwuLS8Ulwtra1vbG6Z2ztNGcYCkwYOWSjaPpKE0YA0FFWMtCNBEPcZafmj67HfuidC0jC4U0lEXI76Ae1RjJSWPHPPkTH3hvDBS+kwqyTe8NjxkUiT7Mgzy1bVmgDOEzsnZZCj7plfTjfEMSeBwgxJ2bGtSLkpEopiRrKSE0sSITxCfdLRNECcSDed/JDBQ610YS8UugIFJ+rviRRxKRPu606O1EDOemPxP68Tq96lm9IgihUJ8HRRL2ZQhXAcCOxSQbBiiSYIC6pvhXiABMJKx1bSIdizL8+T5knVPq+e3Z6Wa1d5HEWwDw5ABdjgAtTADaiDBsDgETyDV/BmPBkvxrvxMW0tGPnMLvgD4/MH69mXtg== X j wij(yj ¯ y) 周辺がどうか？ Hot spot (⾃分も⾼いし、周りも⾼い) Cool spot (⾃分も低いし、 周りも低い) ⼀⼈勝ち (⾃分は⾼いが、周りは低い) ⼀⼈負け (⾃分は低いが、 周りは⾼い)

lmoran 地域データのモデリング ~回帰モデルを添えて~ 14/60 空間上の１点ではなく、「東京都の⼈⼝」といった （⼀定の⾯積を持った）地域に対する分析

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 yi = ⇢ N X j=1 wijyj + 0 + "i, "i ⇠ N(0, 2) 同時⾃⼰回帰モデル: Simultaneous autoregression (SAR) エリア間の相互作⽤を直接モデリング 地域間の相互作⽤を考慮したい場合に有⽤ 【派⽣型】 1. 空間ラグモデル(SLM) 2. 空間エラーモデル(SEM) 3. 空間ダービンモデル(SDM) 4. Manskiモデル 15/60 AAACAXicbVC7SgNBFJ31GeNr1UawGQyCVdwVX0WKoI1lBPOA7LLMTibJkHksM7NCWGLjr9hYKGLrX9j5N06SLTTxwIXDOfdy7z1xwqg2nvftLCwuLa+sFtaK6xubW9vuzm5Dy1RhUseSSdWKkSaMClI31DDSShRBPGakGQ9uxn7zgShNpbg3w4SEHPUE7VKMjJUid98/CSQnPRRlnIpRBQaqL2EF+pFb8sreBHCe+DkpgRy1yP0KOhKnnAiDGdK67XuJCTOkDMWMjIpBqkmC8AD1SNtSgTjRYTb5YASPrNKBXalsCQMn6u+JDHGthzy2nRyZvp71xuJ/Xjs13aswoyJJDRF4uqibMmgkHMcBO1QRbNjQEoQVtbdC3EcKYWNDK9oQ/NmX50njtOxflM/vzkrV6zyOAjgAh+AY+OASVMEtqIE6wOARPINX8OY8OS/Ou/MxbV1w8pk98AfO5w+XKJWz 1/!min < ⇢ < 1 ρが正なら正の空間相関で 負なら負の空間相関 ⾏基準化されている場合 ただし、 は、空間重み⾏列 (wij を並べたもの)の最⼩固有値 AAACAXicbVC7SgNBFJ31GeNr1UawGQyCVdwVX0WKoI1lBPOA7LLMTibJkHksM7NCWGLjr9hYKGLrX9j5N06SLTTxwIXDOfdy7z1xwqg2nvftLCwuLa+sFtaK6xubW9vuzm5Dy1RhUseSSdWKkSaMClI31DDSShRBPGakGQ9uxn7zgShNpbg3w4SEHPUE7VKMjJUid98/CSQnPRRlnIpRBQaqL2EF+pFb8sreBHCe+DkpgRy1yP0KOhKnnAiDGdK67XuJCTOkDMWMjIpBqkmC8AD1SNtSgTjRYTb5YASPrNKBXalsCQMn6u+JDHGthzy2nRyZvp71xuJ/Xjs13aswoyJJDRF4uqibMmgkHMcBO1QRbNjQEoQVtbdC3EcKYWNDK9oQ/NmX50njtOxflM/vzkrV6zyOAjgAh+AY+OASVMEtqIE6wOARPINX8OY8OS/Ou/MxbV1w8pk98AfO5w+XKJWz 1/!min < ⇢ < 1 直感的特性 えーい、全部⼊れちゃえのモデル。⼀番Generalだがとても推定が難しい 例えばCOVID-19だと ρが正→周りの感染者が多いと⾃分の場所も多くなる ρが負→周りの感染者が多いと⾃分の場所は低くなる

空間ラグモデルと空間ダービンモデル Spatial lag model (SLM): 単にその地域の共変量が⼊ったver Spatial durbin model (SDM): 更に共変量も周りに影響を及ぼすver 16/60 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 yi = ⇢ N X j=1 wijyj + xi + "i, "i ⇠ N(0, 2) 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 yi = ⇢ N X j=1 wijyj + xi + N X j=1 wij xj + "i, "i ⇠ N(0, 2) ⾮説明変数の周 辺への波及効果 共変量の周辺へ の波及効果

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 yi = xi + zi + "i, zi |zj6=i ⇠ N P j wijzj P j wij , ⌧2 P j wij ! , "i ⇠ N(0, 2) 条件付き⾃⼰回帰モデル: Conditional auroregressive (CAR) こっちのほうが空間疫学では有名（なんでか知らんけど） 地域特性を表現する空間相関変数と個別特性を表現する誤差項 ICARの問題点 弱い空間相関を捉えられない！→いくつかの拡張モデル 17/60 地域 固定 効果 ノイズ 空間相関をモデル化 Intrinsic CAR (ICAR) 簡単に⾔うと、その地域の平均が 周りの地域の加重平均から決まっ ているよってこと。 地域 変量 効果 地域特性

CARモデルの亜種: R package「CARBayes」より 【BYM(Besag-York-Mollie)】: 新しいノイズ を加える。 疫学でとても良く⾒るモデル。 【Proper(Sterm and Cressie)】: 空間相関を表すρを追加し、分散共分散⾏列 を正則に (Brookʼs lemma)。 【Leroux】: 実は理論的には⼀番いい(Lee, 2011)(でもあまり流⾏ってない in 疫学) 18/60 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 zi |zj6=i ⇠ N P j wij(zj + ✓j) P j wij , ⌧2 P j wij ! 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 zi |zj6=i ⇠ N ⇢ P j wijzj ⇢ P j wij + 1 ⇢ , ⌧2 ⇢ P j wij + 1 ⇢ ! 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 zi |zj6=i ⇠ N ⇢ P j wijzj P j wij , ⌧2 P j wij ! 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 ✓j

地域特性を考慮したモデリング (川上良⼀⽒スライドより http://www.olis.or.jp/hfea/pdf/20200201forum_jirei2.pdf) 19/60 ⼼疾患の伴う死亡者数y i を予測する 2012年度〜2016年度の5年分 2017年度を評価に⽤いる ⽐較として、以下の疫学でよくやりそうなモデリング結果も⼊れておく AAACOXicbVDLSgMxFM34dnxVXboJFkUplBnxtRFEF7ocwWqhU4ZM5rYNzSRDkhFq6W+58S/cCW5cKOLWHzCtRdR6IHByzj0k98QZZ9p43qMzNj4xOTU9M+vOzS8sLhWWV660zBWFCpVcqmpMNHAmoGKY4VDNFJA05nAdt0/7/vUNKM2kuDSdDOopaQrWYJQYK0WFYLMTMRxqluJAMq2l2Aq5jSckYtth6G6GXDbxt4SP8EAIZGYvJRzGYAg+A5GAiljpNmJRoeiVvQHwKPGHpIiGCKLCQ5hImqcgDOVE65rvZabeJcowyqHnhrmGjNA2aULNUkFS0PXuYPMe3rBKghtS2SMMHqg/E12Sat1JYzuZEtPSf72++J9Xy03jsN5lIssNCPr1UCPn2EjcrxEnTAE1vGMJoYrZv2LaIopQY8t2bQn+35VHydVO2d8v713sFo9PhnXMoDW0jraQjw7QMTpHAaogiu7QE3pBr8698+y8Oe9fo2POMLOKfsH5+AQRTKtM yi ⇠ Poisson( i) log i = log Popi + Genderi + zi Leroux 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 log i = log Popi + Genderi log i = log Popi + 1Genderi + 2Regioni

地域特性を考慮したモデリング (川上良⼀⽒スライドより http://www.olis.or.jp/hfea/pdf/20200201forum_jirei2.pdf) 20/60 CARモデルは、地域相関を持つデータに 対して通常のGLMよりも（少 し）⾼い予測精度を⽰した

地域特性を考慮したモデリング (川上良⼀⽒スライドより http://www.olis.or.jp/hfea/pdf/20200201forum_jirei2.pdf) 21/60 exp(zi ) exp(zi ) exp(zi ) exp(zi )

点データのモデリング 空間点過程 (Spatial point process) 22/60 空間上のN個の点から得られたデータ に関するモデリング

例えば 100箇所のセンサーで得られた酸性⾬データ 5000地点で得られた⼟壌汚染データ 【クリギング】 ≈ センサーが無い場所の値も予測したい(空間予測(補完)) 23

クリギング (kriging) N個の観測点のデータから、観測されていない地点のデータを予測する 【⼿順】 1. バリオグラムをFitさせ、空間過程をモデリングする (より正確には、ナゲット、パーシャルシル、レンジのパラメータを推定する) 2. 推定されたパラメータにより予測を⾏う 24/60 例えば、この辺の値を スムーズに予測する。

まずは少し数学的な話を: 弱定常性と共分散関数 空間点過程(spatial point process)をモデル化する 重要な仮定: 定常性 (Stationarity) 場所 の観測値を とする 弱定常性 (Weak stationarity) or ⼆次定常性 期待値と分散共分散が場所によらず同⼀の関数に従う 25/60 “空間過程の性質は場所によらず⼀定” AAAB6nicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKeyKr2PQi8eI5gHJEmYns8mQ2dllplcISz7BiwdFvPpF3vwbJ8keNLGgoajqprsrSKQw6LrfTmFldW19o7hZ2tre2d0r7x80TZxqxhsslrFuB9RwKRRvoEDJ24nmNAokbwWj26nfeuLaiFg94jjhfkQHSoSCUbTSg+mJXrniVt0ZyDLxclKBHPVe+avbj1kacYVMUmM6npugn1GNgkk+KXVTwxPKRnTAO5YqGnHjZ7NTJ+TEKn0SxtqWQjJTf09kNDJmHAW2M6I4NIveVPzP66QYXvuZUEmKXLH5ojCVBGMy/Zv0heYM5dgSyrSwtxI2pJoytOmUbAje4svLpHlW9S6rF/fnldpNHkcRjuAYTsGDK6jBHdShAQwG8Ayv8OZI58V5dz7mrQUnnzmEP3A+fwBcMo3d si AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHBC9k1+DgSvXjERB4JbMjsMAsjszObmVkT3PAPXjxojFf/x5t/4wB7ULCSTipV3enuCmLOtHHdbye3srq2vpHfLGxt7+zuFfcPmlomitAGkVyqdoA15UzQhmGG03asKI4CTlvB6Gbqtx6p0kyKezOOqR/hgWAhI9hYqflU1j122iuW3Io7A1omXkZKkKHeK351+5IkERWGcKx1x3Nj46dYGUY4nRS6iaYxJiM8oB1LBY6o9tPZtRN0YpU+CqWyJQyaqb8nUhxpPY4C2xlhM9SL3lT8z+skJrzyUybixFBB5ovChCMj0fR11GeKEsPHlmCimL0VkSFWmBgbUMGG4C2+vEyaZxXvonJ+Vy3VrrM48nAEx1AGDy6hBrdQhwYQeIBneIU3RzovzrvzMW/NOdnMIfyB8/kDAveOxg== z(si) AAACGHicbVDLSgMxFM3UV62vUZdugkVoodQZ8bUpFIvgsoJ9wHQYMmla02YeJJlCHfoZbvwVNy4Ucdudf2OmnYW2nhDu4Zx7Se5xQ0aFNIxvLbOyura+kd3MbW3v7O7p+wdNEUQckwYOWMDbLhKEUZ80JJWMtENOkOcy0nKHtcRvjQgXNPAf5Dgktof6Pu1RjKSSHP301noqCIcW7YpRgh11asEolUpJGRRtWIG40HViOpgUHT1vlI0Z4DIxU5IHKeqOPu10Axx5xJeYISEs0wilHSMuKWZkkutEgoQID1GfWIr6yCPCjmeLTeCJUrqwF3B1fQln6u+JGHlCjD1XdXpIPopFLxH/86xI9q7tmPphJImP5w/1IgZlAJOUYJdygiUbK4Iwp+qvED8ijrBUWeZUCObiysukeVY2L8sX9+f56k0aRxYcgWNQACa4AlVwB+qgATB4Bq/gHXxoL9qb9ql9zVszWjpzCP5Am/4ArgKdFw== E[z(si)] = 0, Cov[z(si), z(sj)] = c(dij) 共分散関数 or コバリオグラム 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 c(dij) = ( ⌧2 + 2 if dij = 0 ⌧2c0(dij) if dij > 0 距離dij が0なので、結局、分散 距離dij が増えていくと、共分散が どう変わるかをモデル化 パーシャルシル ナゲット カーネル

ナゲット 、パーシャルシル 、カーネル 、レンジ ３つのパラメータで距離に応じてどう共分散が変わるかをモデル化 様々なカーネル例 26/60 AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q== 2 AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72 ⌧2 AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww== c0(dij) AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww== c0(dij) AAAB8HicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoMQL2FXfB2DXjxGMA9JljA7O5uMmZldZmaFsOQrvHhQxKuf482/cZLsQaMFDUVVN91dQcKZNq775RSWlldW14rrpY3Nre2d8u5eS8epIrRJYh6rToA15UzSpmGG006iKBYBp+1gdD31249UaRbLOzNOqC/wQLKIEWysdE+qYT9jD5Pjfrni1twZ0F/i5aQCORr98mcvjEkqqDSEY627npsYP8PKMMLppNRLNU0wGeEB7VoqsaDaz2YHT9CRVUIUxcqWNGim/pzIsNB6LALbKbAZ6kVvKv7ndVMTXfoZk0lqqCTzRVHKkYnR9HsUMkWJ4WNLMFHM3orIECtMjM2oZEPwFl/+S1onNe+8dnZ7Wqlf5XEU4QAOoQoeXEAdbqABTSAg4Ale4NVRzrPz5rzPWwtOPrMPv+B8fANYLpAg c(dij) 距離0の点=分散 AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww== c0(dij) このカーブの形がカーネル 間瀬 (2010) AAACG3icbVDJSgNBEO1xjXGLevTSGIR4MMyI20UQvXiMYFTIhKGnpyZp07PQXSOGYf7Di7/ixYMingQP/o2d5eD2oODxXhVV9fxUCo22/WlNTE5Nz8yW5srzC4tLy5WV1UudZIpDkycyUdc+0yBFDE0UKOE6VcAiX8KV3zsd+Fe3oLRI4gvsp9COWCcWoeAMjeRVdrhn1wIvFzfFFj2iLtylroQQa9tuECrG85FX5Kpwleh0cavsVap23R6C/iXOmFTJGA2v8u4GCc8iiJFLpnXLsVNs50yh4BKKsptpSBnvsQ60DI1ZBLqdD38r6KZRAhomylSMdKh+n8hZpHU/8k1nxLCrf3sD8T+vlWF42M5FnGYIMR8tCjNJMaGDoGggFHCUfUMYV8LcSnmXmUjQxDkIwfn98l9yuVN39ut757vV45NxHCWyTjZIjTjkgByTM9IgTcLJPXkkz+TFerCerFfrbdQ6YY1n1sgPWB9fNvGg9Q== c0(dij) = exp ✓ dij r ◆ AAACKnicbVDJTsMwFHTYKVuBIxeLCqkcqJKK7YLEcuEIEgWkpkSO89IanEX2C6KK8j1c+BUuHECIKx+C2+bANpLl0cw82W/8VAqNtv1ujY1PTE5Nz8xW5uYXFpeqyyuXOskUhxZPZKKufaZBihhaKFDCdaqARb6EK//uZOBf3YPSIokvsJ9CJ2LdWISCMzSSVz3inl0PvFzcFpv0gLrwkLoSQqxvjS43CBXj+ShR5Kpwlej2cPOmWZKKV63ZDXsI+pc4JamREmde9cUNEp5FECOXTOu2Y6fYyZlCwSUUFTfTkDJ+x7rQNjRmEehOPly1oBtGCWiYKHNipEP1+0TOIq37kW+SEcOe/u0NxP+8dobhficXcZohxHz0UJhJigkd9EYDoYCj7BvCuBLmr5T3mOkGTbuDEpzfK/8ll82Gs9vYOd+uHR6XdcyQNbJO6sQhe+SQnJIz0iKcPJJn8krerCfrxXq3PkbRMaucWSU/YH1+AchIpu0= c0(dij) = exp ✓ dij r ◆2 ! 空間相関の及ぶ範囲をコント ロールするパラメータ AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q== 2 AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72 ⌧2 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 c0(dij) = ( 1 r (0  dij  r) 0 (dij r) AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA== r AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA== r 共分散関数のイメージ

本質的定常性とバリオグラム 本質的定常性 (instrinsic stationary): 弱定常性とは別の定常性で、差分に注⽬ 差 が場所によらず同じ関数になる コバリオグラムとバリオグラムには関連あり 【⽬標】以下を推定したい ナゲット 、パーシャルシル 、レンジ 27/60 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 E[z(si) z(sj)] = 0 E[(z(si) z(sj))2] = 2 (dij) バリオグラム AAACHHicbVDLSgMxFM34tr5GXboJFqEilpn63AhFNy4rWBU60+FOJm2jycyQZIQy9EPc+CtuXCjixoXg35g+BF8HQg7nnEtyT5hyprTjfFhj4xOTU9Mzs4W5+YXFJXt55UIlmSS0ThKeyKsQFOUspnXNNKdXqaQgQk4vw5uTvn95S6ViSXyuuyn1BbRj1mIEtJECe8drgxBQioKcXfc28RH2FGsLaFa2PA1Zs7I9vDAJnK9QYBedsjMA/kvcESmiEWqB/eZFCckEjTXhoFTDdVLt5yA1I5z2Cl6maArkBtq0YWgMgio/HyzXwxtGiXArkebEGg/U7xM5CKW6IjRJAbqjfnt98T+vkenWoZ+zOM00jcnwoVbGsU5wvykcMUmJ5l1DgEhm/opJByQQbfosmBLc3yv/JReVsrtf3jvbLVaPR3XMoDW0jkrIRQeoik5RDdURQXfoAT2hZ+veerRerNdhdMwazayiH7DePwETc6Ag (dij) = 2 + ⌧2 ⌧2c0(dij) 結果、バリオグラムはコバリオグラム(共分 散関数)をひっくり返したみたいな形に！ ちなみに、弱定常であれば本質的定常だが、逆は⼀般には成り⽴たない(線形などは除く) AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q== 2 AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72 ⌧2 AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA== r

バリオグラムの推定: variogram cloud Step 1: Variogram cloudと呼ばれる、全てのペアでの（残差）値をplot Step 2: ある区間に区切ってその間での平均値を計算 Step 3: カーネルの元で最⼩⼆乗法により を推定 28/60 AAAB/HicbVDLSgMxFM3UV62v0S7dBItQQcpM8bUsunFZwT6gM5ZMmmlDk8yQZIRhqL/ixoUibv0Qd/6NaTsLbT1wuYdz7iU3J4gZVdpxvq3Cyura+kZxs7S1vbO7Z+8ftFWUSExaOGKR7AZIEUYFaWmqGenGkiAeMNIJxjdTv/NIpKKRuNdpTHyOhoKGFCNtpL5drnqKDjl6qJ96GiWmyZO+XXFqzgxwmbg5qYAczb795Q0inHAiNGZIqZ7rxNrPkNQUMzIpeYkiMcJjNCQ9QwXiRPnZ7PgJPDbKAIaRNCU0nKm/NzLElUp5YCY50iO16E3F/7xeosMrP6MiTjQReP5QmDCoIzhNAg6oJFiz1BCEJTW3QjxCEmFt8iqZENzFLy+Tdr3mXtTO784qjes8jiI4BEegClxwCRrgFjRBC2CQgmfwCt6sJ+vFerc+5qMFK98pgz+wPn8ADvaTwQ== ( 2, ⌧2, r)

実際の解析 29/60 村上 (2022) 最初はナゲット(ノイズ) が優勢だが近年はパーシ ャルシルが優勢 (=空間相 関パターンが強まった)

再掲: クリギング (kriging) N個の観測点のデータから、観測されていない地点のデータを予測する 【⼿順】 1. バリオグラムをFitさせ、空間過程をモデリングする (より正確には、ナゲット、パーシャルシル、レンジのパラメータを推定する) 2. 推定されたパラメータにより予測を⾏う 30/60 例えば、この辺の値を スムーズに予測する。

いざクリギング (=⾮観測点の予測) 被説明変数が以下の回帰モデルに従うと仮定 誤差項 には弱定常性を仮定 31/60 AAACEnicbZDLSsNAFIYnXmu9RV26GSxCS6Ek4m0jFN24rGAv0IYwmU7aoZNJmJmIMfQZ3Pgqblwo4taVO9/GaZqFth4Y+Pj/czhzfi9iVCrL+jYWFpeWV1YLa8X1jc2tbXNntyXDWGDSxCELRcdDkjDKSVNRxUgnEgQFHiNtb3Q18dt3REga8luVRMQJ0IBTn2KktOSalaQsXVqBF7DnEYVcq5qDDe+nThU+ZOCaJatmZQXnwc6hBPJquOZXrx/iOCBcYYak7NpWpJwUCUUxI+NiL5YkQniEBqSrkaOASCfNThrDQ630oR8K/biCmfp7IkWBlEng6c4AqaGc9Sbif143Vv65k1IexYpwPF3kxwyqEE7ygX0qCFYs0YCwoPqvEA+RQFjpFIs6BHv25HloHdXs09rJzXGpfpnHUQD74ACUgQ3OQB1cgwZoAgwewTN4BW/Gk/FivBsf09YFI5/ZA3/K+PwBUgeawA== y(si) = 0 + 1x(si) + z(si) 1x(si) + z(si) 共変量も⼊れれるよ！ 誤差項 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 c(dij) = ( ⌧2 + 2 if dij = 0 ⌧2c0(dij) if dij > 0 AAACGHicbVDLSgMxFM3UV62vUZdugkVoodQZ8bUpFIvgsoJ9wHQYMmla02YeJJlCHfoZbvwVNy4Ucdudf2OmnYW2nhDu4Zx7Se5xQ0aFNIxvLbOyura+kd3MbW3v7O7p+wdNEUQckwYOWMDbLhKEUZ80JJWMtENOkOcy0nKHtcRvjQgXNPAf5Dgktof6Pu1RjKSSHP301noqCIcW7YpRgh11asEolUpJGRRtWIG40HViOpgUHT1vlI0Z4DIxU5IHKeqOPu10Axx5xJeYISEs0wilHSMuKWZkkutEgoQID1GfWIr6yCPCjmeLTeCJUrqwF3B1fQln6u+JGHlCjD1XdXpIPopFLxH/86xI9q7tmPphJImP5w/1IgZlAJOUYJdygiUbK4Iwp+qvED8ijrBUWeZUCObiysukeVY2L8sX9+f56k0aRxYcgWNQACa4AlVwB+qgATB4Bq/gHXxoL9qb9ql9zVszWjpzCP5Am/4ArgKdFw== E[z(si)] = 0, Cov[z(si), z(sj)] = c(dij) AAACKnicbVDJTsMwFHTYKVuBIxeLCqkcqJKK7YLEcuEIEgWkpkSO89IanEX2C6KK8j1c+BUuHECIKx+C2+bANpLl0cw82W/8VAqNtv1ujY1PTE5Nz8xW5uYXFpeqyyuXOskUhxZPZKKufaZBihhaKFDCdaqARb6EK//uZOBf3YPSIokvsJ9CJ2LdWISCMzSSVz3inl0PvFzcFpv0gLrwkLoSQqxvjS43CBXj+ShR5Kpwlej2cPOmWZKKV63ZDXsI+pc4JamREmde9cUNEp5FECOXTOu2Y6fYyZlCwSUUFTfTkDJ+x7rQNjRmEehOPly1oBtGCWiYKHNipEP1+0TOIq37kW+SEcOe/u0NxP+8dobhficXcZohxHz0UJhJigkd9EYDoYCj7BvCuBLmr5T3mOkGTbuDEpzfK/8ll82Gs9vYOd+uHR6XdcyQNbJO6sQhe+SQnJIz0iKcPJJn8krerCfrxXq3PkbRMaucWSU/YH1+AchIpu0= c0(dij) = exp ✓ dij r ◆2 ! AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww== c0(dij) AAAB8HicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoMQL2FXfB2DXjxGMA9JljA7O5uMmZldZmaFsOQrvHhQxKuf482/cZLsQaMFDUVVN91dQcKZNq775RSWlldW14rrpY3Nre2d8u5eS8epIrRJYh6rToA15UzSpmGG006iKBYBp+1gdD31249UaRbLOzNOqC/wQLKIEWysdE+qYT9jD5Pjfrni1twZ0F/i5aQCORr98mcvjEkqqDSEY627npsYP8PKMMLppNRLNU0wGeEB7VoqsaDaz2YHT9CRVUIUxcqWNGim/pzIsNB6LALbKbAZ6kVvKv7ndVMTXfoZk0lqqCTzRVHKkYnR9HsUMkWJ4WNLMFHM3orIECtMjM2oZEPwFl/+S1onNe+8dnZ7Wqlf5XEU4QAOoQoeXEAdbqABTSAg4Ale4NVRzrPz5rzPWwtOPrMPv+B8fANYLpAg c(dij) 距離0の点=分散 AAAB8nicbVDLSsNAFL2pr1pfVZduBotQNyURX8uiG5cV7APSECaTSTt2MgkzE6GEfoYbF4q49Wvc+TdO2yy09cCFwzn3cu89QcqZ0rb9bZVWVtfWN8qbla3tnd296v5BRyWZJLRNEp7IXoAV5UzQtmaa014qKY4DTrvB6Hbqd5+oVCwRD3qcUi/GA8EiRrA2kkt8ux76OXucnPrVmt2wZ0DLxClIDQq0/OpXP0xIFlOhCcdKuY6dai/HUjPC6aTSzxRNMRnhAXUNFTimystnJ0/QiVFCFCXSlNBopv6eyHGs1DgOTGeM9VAtelPxP8/NdHTt5UykmaaCzBdFGUc6QdP/UcgkJZqPDcFEMnMrIkMsMdEmpYoJwVl8eZl0zhrOZePi/rzWvCniKMMRHEMdHLiCJtxBC9pAIIFneIU3S1sv1rv1MW8tWcXMIfyB9fkDgICQww== c0(dij) このカーブの形がカーネル AAAB73icbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKewGX8egF48RzAOSNcxOZpMhM7PrzKwQlvyEFw+KePV3vPk3TjZ70MSChqKqm+6uIOZMG9f9dgorq2vrG8XN0tb2zu5eef+gpaNEEdokEY9UJ8CaciZp0zDDaSdWFIuA03Ywvpn57SeqNIvkvZnE1Bd4KFnICDZW6vQ0Gwr8UOuXK27VzYCWiZeTCuRo9MtfvUFEEkGlIRxr3fXc2PgpVoYRTqelXqJpjMkYD2nXUokF1X6a3TtFJ1YZoDBStqRBmfp7IsVC64kIbKfAZqQXvZn4n9dNTHjlp0zGiaGSzBeFCUcmQrPn0YApSgyfWIKJYvZWREZYYWJsRCUbgrf48jJp1areRfX87qxSv87jKMIRHMMpeHAJdbiFBjSBAIdneIU359F5cd6dj3lrwclnDuEPnM8fyQSP0Q== 2 AAAB7XicbVDLTgJBEOzFF+IL9ehlIjHxRHaJryPRi0dM5JHASmaHAUZmdzYzvSZkwz948aAxXv0fb/6NA+xBwUo6qVR1p7sriKUw6LrfTm5ldW19I79Z2Nre2d0r7h80jEo043WmpNKtgBouRcTrKFDyVqw5DQPJm8HoZuo3n7g2QkX3OI65H9JBJPqCUbRSo4M0eah0iyW37M5AlomXkRJkqHWLX52eYknII2SSGtP23Bj9lGoUTPJJoZMYHlM2ogPetjSiITd+Ort2Qk6s0iN9pW1FSGbq74mUhsaMw8B2hhSHZtGbiv957QT7V34qojhBHrH5on4iCSoyfZ30hOYM5dgSyrSwtxI2pJoytAEVbAje4svLpFEpexfl87uzUvU6iyMPR3AMp+DBJVThFmpQBwaP8Ayv8OYo58V5dz7mrTknmzmEP3A+fwBMPI72 ⌧2 AAAB6HicbVDLSgNBEOz1GeMr6tHLYBA8hV3xdQx68ZiAeUCyhNlJbzJmdnaZmRXCki/w4kERr36SN//GSbIHTSxoKKq66e4KEsG1cd1vZ2V1bX1js7BV3N7Z3dsvHRw2dZwqhg0Wi1i1A6pRcIkNw43AdqKQRoHAVjC6m/qtJ1Sax/LBjBP0IzqQPOSMGivVVa9UdivuDGSZeDkpQ45ar/TV7ccsjVAaJqjWHc9NjJ9RZTgTOCl2U40JZSM6wI6lkkao/Wx26IScWqVPwljZkobM1N8TGY20HkeB7YyoGepFbyr+53VSE974GZdJalCy+aIwFcTEZPo16XOFzIixJZQpbm8lbEgVZcZmU7QheIsvL5PmecW7qlzWL8rV2zyOAhzDCZyBB9dQhXuoQQMYIDzDK7w5j86L8+58zFtXnHzmCP7A+fwB4GGNAA== r 式の意味：期待値と空間相関(共分散)は場所によらないよ！ 式の意味：空間相関(共分散)はナゲット、シル、カーネルで決まるよ！ 式の意味：カーネル(相関の距離に関する落ち具合)はガウス(正規分布) っぽいよ！

こまけぇこたぁいいんだよ!! 実装を！ 32/60 500 1000 zinc オランダ、ムーズ側流域の亜鉛 濃度の分布データ= meuse ナゲットが0.05、シルが0.15、 レンジが700mくらいかなぁ= 初期値 結果は、 ナゲット: 0.026 シルが0.171 レンジが286m (ここちょっと微妙ね 。。。) ここらへんに ムーズ川 distance semivariance 0.05 0.10 0.15 0.20 500 1000 1500 distance semivariance 0.05 0.10 0.15 0.20 500 1000 1500 共変量(soil: ⼟壌タイプ, ffreq: 洪⽔の 頻度、dist: 川からの距離)

クリギングが⾒たいんだよ！ 33/60 4.5 5.5 6.5 var1.pred 5.0 6.0 7.0 var1.pred 共変量(soil:⼟壌タイプ, ffreq: 洪⽔の頻度、dist: 川からの距離)ありver 共変量なしver 注: 実際には予測精度検証が必要 (ex LOOCVなど)

いつ、時空間の話しすん？ ずっと空間の話ばっかじゃん。。。 34/60

そのまえにこれだけ。。。 地理的加重回帰 Geographically weighted regression (GWR) 回帰係数が場所ごとに変わるモデル コロナ感染者数がその地域i の死亡者数に与え る影響をみたいという研究 35 AAACH3icbVDLSgMxFM34rPU16tJNsAhCocyIVjdCsV3oxlawD2jLkEnvtKGZB0mmUEr/xI2/4saFIuKuf2PazkJbDwQO59zDzT1uxJlUljUxVlbX1jc2U1vp7Z3dvX3z4LAmw1hQqNKQh6LhEgmcBVBVTHFoRAKI73Kou/3i1K8PQEgWBk9qGEHbJ92AeYwSpSXHzJeAqJ7D8A1uuaCIY+Fswmz8EPtlr1iu3Zcclm0NiIBIMq5jzDEzVs6aAS8TOyEZlKDimN+tTkhjHwJFOZGyaVuRao+IUIxyGKdbsYSI0D7pQlPTgPgg26PZfWN8qpUO9kKhX6DwTP2dGBFfyqHv6klfXyMXvan4n9eMlXfdHrEgihUEdL7IizlWIZ6WhTtMAFV8qAmhgum/YtojglClK03rEuzFk5dJ7Txn53OXjxeZwm1SRwodoxN0hmx0hQroDlVQFVH0jF7RO/owXow349P4mo+uGEnmCP2BMfkBMsyhSg== Deathi = 0 + 1NumOfCOV IDi + "i 普通の線形回帰 GWR 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 Deathi = 0 + 1iNumOfCOV IDi + "i 係数が場所i ごとに変わってもOK Middya & Roy (2021) COVID-19 mortalityに与える様々な要因の⼤きさが空間的に変化する様⼦

GWRの推定⽅法 モデル式 最⼩化 36/60 AAACFXicbVDLSsNAFJ34rPUVdelmsAhCpSTiayMU3bisYB/QhDCZ3rRDJw9mJsUS+hNu/BU3LhRxK7jzb5y2WWjrgYHDOedy5x4/4Uwqy/o2FhaXlldWC2vF9Y3NrW1zZ7ch41RQqNOYx6LlEwmcRVBXTHFoJQJI6HNo+v2bsd8cgJAsju7VMAE3JN2IBYwSpSXPPB56DF9hxwdFPAuXc5bZbIQfPFZ2BkRAIhnXYeaZJatiTYDniZ2TEspR88wvpxPTNIRIUU6kbNtWotyMCMUoh1HRSSUkhPZJF9qaRiQE6WaTq0b4UCsdHMRCv0jhifp7IiOhlMPQ18mQqJ6c9cbif147VcGlm7EoSRVEdLooSDlWMR5XhDtMAFV8qAmhgum/YtojglCliyzqEuzZk+dJ46Rin1fO7k5L1eu8jgLaRwfoCNnoAlXRLaqhOqLoET2jV/RmPBkvxrvxMY0uGPnMHvoD4/MHskmd+A== yi = 0 + 1ixi + "i 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 ˆ i = arg min X j wij(yi 0 1ixi)2 AAAChHicfVBdb9MwFHUDjFE+1sHjXiwqpIFGlRQGPLBpAh54QQyJbpOarrpxblIzx47sG7Yqyt/g1/AK/4F/g9MViW2IK1k6OufY1+ckpZKOwvBXJ7h2/cbKzdVb3dt37t5b663fP3CmsgJHwihjjxJwqKTGEUlSeFRahCJReJicvG31w69onTT6M81LnBSQa5lJAeSpaS88ndbyS8N3eIxnZawwo82ncZpZEHV6PFyITZ0cD5vYynxGj6e9fjgIF8OvgmgJ+mw5+9P1zus4NaIqUJNQ4Nw4Ckua1GBJCoVNN64cliBOIMexhxoKdJN6Ea3hjzyT8sxYfzTxBfv3jRoK5+ZF4p0F0Mxd1lryX9q4ouzVpJa6rAi1OF+UVYqT4W1PPJUWBam5ByCs9H/lYga+FvJtXtjSvk3GKOejvEMf0eIHT30s0QIZ+6SOweaF1I2PnMdbLfqfEc7+GD3qdn3f0eV2r4KD4SB6Mdj+9Ly/92bZ/CrbYA/ZJovYS7bH3rN9NmKCfWPf2Q/2M1gJtoJnwfa5Negs7zxgFybY/Q1g6MZr wij = exp d2 ij b2 ! 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 wij = exp ✓ dij b ◆ 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 wij = 8 > < > : ( 1 ✓ dij b ◆2 )2 if dij < b 0 Otherwise カーネル カーネルの種類 指数型 ガウス型 Bisquare型 Adaptive kernel (適当的カ ーネル)とは、観測点の 周辺の密度に応じて場所 ごとに変えるカーネルの こと。 推定が安定するが、解釈 が難しくなる。

時空間データのモデリング “位置”×”時刻” 気象、GPS移動など⾊々増えてきている 37/60 From https://geospatial.ncsu.edu/geoforall/foss4g-2014-spatio-temporal-visualization.html From https://www.claire.co.uk/projects-and-initiatives/gwsdat?start=2

時空間のデータ形式 【パネル形式】 • 固定されたN地点での観測がT回繰り返される • 例えば、毎年の全国市区町村⼈⼝や1hごとの降⽔量など 【その他】 • GPSデータなど任意の地点・時点で観測される 38/60

時系列の弱定常性 思い出してください 【空間相関】 近隣と相関関係を持つ ↔【時系列相関】 時点が近いほど相関関係を持つ 典型的なモデリング⾃⼰回帰モデル AR(1): 時間⽅向にも重要な仮定: 定常性 (Stationarity) 空間版弱定常性 (Weak stationarity) or ⼆次定常性 期待値と分散共分散が場所によらず同⼀の関数に従う 時系列版弱定常性 (Weak stationarity) or ⼆次定常性 期待値と分散共分散が時刻t によらず同⼀の関数に従う 39/60 AAACGHicbVDLSgMxFM3UV62vUZdugkVoodQZ8bUpFIvgsoJ9wHQYMmla02YeJJlCHfoZbvwVNy4Ucdudf2OmnYW2nhDu4Zx7Se5xQ0aFNIxvLbOyura+kd3MbW3v7O7p+wdNEUQckwYOWMDbLhKEUZ80JJWMtENOkOcy0nKHtcRvjQgXNPAf5Dgktof6Pu1RjKSSHP301noqCIcW7YpRgh11asEolUpJGRRtWIG40HViOpgUHT1vlI0Z4DIxU5IHKeqOPu10Axx5xJeYISEs0wilHSMuKWZkkutEgoQID1GfWIr6yCPCjmeLTeCJUrqwF3B1fQln6u+JGHlCjD1XdXpIPopFLxH/86xI9q7tmPphJImP5w/1IgZlAJOUYJdygiUbK4Iwp+qvED8ijrBUWeZUCObiysukeVY2L8sX9+f56k0aRxYcgWNQACa4AlVwB+qgATB4Bq/gHXxoL9qb9ql9zVszWjpzCP5Am/4ArgKdFw== E[z(si)] = 0, Cov[z(si), z(sj)] = c(dij) 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 E[yt] = 0, Cov[yt, yt h] = c(h) 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 yt = µ + ⇢yt 1 + "t

時空間CARモデル Spatiotemporal CAR model (RのCARBayesSTパッケージで簡単！) 40/60 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 yi,t = xi,t + zi,t + "i,t, zi,t = ⇢T zi,t 1 + ei,t, zi,t |zj6=i,t ⇠ N ⇢ P j wijzj,t ⇢ P j wij + 1 ⇢ , ⌧2 ⇢ P j wij + 1 ⇢ ! , "i,t ⇠ N(0, 2) 共変量も⼊れれるよ! 時空間(過程)を表現した項 → ⼀期前から時系列相関してるよ。相関はρT だよ 空間相関はLeroux型で⼊ってるよ = 周辺地域から⾃地 域の値が決まってるよ。その空間相関の強さはρだよ 誤差項は正規分布だよ

時空間CARでの解析 41/60 呼吸器疾患の患者数と予測患者数 【いい点】近隣と前後年の観測値も考慮 1. 普通のモデルより予測精度UP 2. ノイズを排除後の疾病リスクを推 定できている (と思える) 【(個⼈的に)微妙な点】 (疫学では)やっぱり係数が⼀番興味ある。 その点、本モデルは係数が時間でも場所 でも⼀定。 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 yi,t = xi,t + zi,t + "i,t, zi,t = ⇢T zi,t 1 + ei,t, 本当はここが時間と空間 で変わってほしい

時空間加重回帰 GWR → Geographically and temporary weighted regression (GTWR) 【アイディア】 カーネルを掛け算の形で作ればいいのでは？ 42/60 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 wij = exp d2 ij b2 ! 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 wij,t = exp d2 ij b2 t ! exp d2 tt0 l2 ! 距離によるカーネル 距離による カーネル 距離が近い とどれくら い似ている ？ 時間による カーネル 時間が近い とどれくら い似ている ？ AAACIXicbVBNS0JBFJ1nX2ZfVss2QxIEhrwXfbgJpDYtDVIDlce88aqD8z6YuU+Sh3+lTX+lTYsi3EV/plHforIDA4dzzuXOPV4khUbb/rQyS8srq2vZ9dzG5tb2Tn53r67DWHGo8VCG6sFjGqQIoIYCJTxECpjvSWh4g5up3xiC0iIM7nEUQdtnvUB0BWdoJDdfHrmJOMExvaItD5C5Ni2mLHFmxqMJ4LjYGjIFkRbSTE0FN1+wS/YMdJE4KSmQFFU3P2l1Qh77ECCXTOumY0fYTphCwSWMc61YQ8T4gPWgaWjAfNDtZHbhmB4ZpUO7oTIvQDpTf04kzNd65Hsm6TPs67/eVPzPa8bYLbcTEUQxQsDni7qxpBjSaV20IxRwlCNDGFfC/JXyPlOMoyk1Z0pw/p68SOqnJeeidH53Vqhcp3VkyQE5JMfEIZekQm5JldQIJ0/khbyRd+vZerU+rMk8mrHSmX3yC9bXN/zuo4A= yi,t = 0 + 1i,txit + "it 係数が、場所と時間で変わる 統計的には、半正定値性を持つカーネル関数の 和や積も半正定値性をもつからこれでOK

実解析例: Fotheringham et al. (2015) ロンドンにおける住宅価格と床⾯積の関係 (1980-1998) 43/60

Hotspot検知: scan統計 特定のイベントが集中的に発⽣している場所を特定したい 統計的には（周りから計算された） 期待値より有意にイベントが多い地域を⾒つける問題 (Neil (2005)) 44/60 経験ベイズによる低出⽣体重児の疾病地図 Obaidur and Yoneoka et al. (2023) MLC SLC TLC ⼀番⾼い確率の クラスター1 2番⽬に⾼い確率 のクラスター2 3番⽬に⾼い確率 のクラスター3

空間scan統計量 Kulldorf et al. (1996)の尤度⽐検定統計量 (H0: !# = !#!, H1: !# > !#!) $(&)が最⼤となるZを探索するのが今回の問題設定 • 簡単に⾔うけど、とっても難しいよ！ • 全探索は現実的に不可能 (47都道府県で10^14以上の探索回数) 45/60 $はイベント発⽣確率 %は興味のある領域 %!は補領域 cはイベント数 nは⼈⼝ Zという領域がその他の領域より有意にイ ベント発⽣が多いのか？

様々な⽅法 領域の⼤きさや形を限定することで探索範囲を狭めることで対応 • Circular scan (Kulldorfの⽅法): 同⼼円だけを考える • Flexible scan (Tangoの⽅法): 最⼤ブロックサイズの範囲で網羅的にスキャン • Echelon scan : 階層構造をEchelon解析によって⽣成 • Bayesian scan (Neilの⽅法) • Upper level set scan, Simulated annealing scan • ZDD (Zero-suppressed binary Decision Diagram) scan: 局所単調性を利⽤した枝刈り Bayesian scanは漸近的にKulldorfの⽅法と⼀致 (Prop1. in Tanoue and Yoneoka (2023)) 46/60

PTNS (Public Transportation Network Scan) Tanoue, Yoneoka and et al. (2020) ▸最初は簡単な問題から考えてみる ▸公共交通網スキャン統計(PTNS): 領域の作り⽅をネットワーク構造に依存させる ▸アイディアはとても簡単 ▸領域の候補をネットワーク上の距離が近い順に作っていく ▸ネットワーク上の距離は任意に設定可能: ex. 平均的な乗客数や乗⾞時間時間 47/60 発展させれば、様々な 交通⼿段の上で広がる 感染症のHotspotを検知 できる！

まとめ 本サマーセミナーでは(時)空間解析のための基礎的な内容を話しました • 座標系、CRS、空間相関、隣接⾏列、⼤域/局所空間統計量 • 地域データのための回帰モデル(SAR、CAR) • 点データのためのクリギング (バリオグラム) • 地理的加重回帰 • 時空間のための時空間CARと時空間加重回帰 • Hotspot検知のためのscan統計 ありがとうございました。 （また来年もやります多分） 48/60