電気⼯学2第9回 過渡現象 藤⽥⼀寿

過渡現象

コンデンサの充電

コンデンサの充電 最初はスイッチがオ フ． コンデンサに電荷は たまっていない． 𝑡 = 0 スイッチをオンにした瞬 間． コンデンサには，まだ電 荷はたまっていない． コンデンサに徐々に電 荷がたまる． コンデンサに徐々に電 荷がたまる． ⼗分に時間が経つと， コンデンサに𝑄 = 𝐶𝑉の 電荷がたまる． 充電

過渡現象（充電） • 図のような直流回路を考える． • コンデンサに電荷が溜まっていないとする． • スイッチを充電側に移動させると，コンデンサに電流が流れ，電荷が 溜まっていく．これは，コンデンサの両端電位差が電源電圧𝑉になる まで続く． • コンデンサに電荷を貯めることを充電という． ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝐶 𝑅 𝑉" 𝑉"

過渡現象（充電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧をそれぞれ𝑉! ，𝑉 " とすると， • 𝑉 = 𝑉! + 𝑉 " • 𝑉! = 𝑖𝑅，𝑄 = 𝐶𝑉 " ，𝐼 = #$ #% より， • 𝑉 = 𝑖𝑅 + $ & = #$ #% 𝑅 + $ & • これを𝑄について解けば，コンデンサに蓄積される電荷の時間変化が 分かる． 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" オームの法則 電流の定義．電流は電荷の時間変化である． 発展

過渡現象 （充電） • 𝑉 = #$ #% 𝑅 + $ & を両辺𝑅で割り，項を移項すると， • #$ #% + $ &! − ' ! = 0となる． • 𝑍 = $ &! − ' ! とおき，𝑡で微分すると • #( #% = ) &! #$ #% • となる（𝑄は𝑡の関数）． • #$ #% = 𝐶𝑅 #( #% • これを代⼊すると • 𝐶𝑅 #( #% + 𝑍 = 0 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （充電） • 𝑉 = #$ #% 𝑅 + $ & を両辺𝑅で割り，項を移項すると， • #$ #% + $ &! − ' ! = 0となる． • 𝑍 = $ &! − ' ! とおき，両辺を𝑡で微分すると • #( #% = ) &! #$ #% となる（𝑄は𝑡の関数）．両辺に𝐶𝑅をかけると • #$ #% = 𝐶𝑅 #( #% となる． • #$ #% + $ &! − ' ! = 0 に，これらを代⼊すると • 𝐶𝑅 #( #% + 𝑍 = 0 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （充電） • 𝐶𝑅 #( #% + 𝑍 = 0は変数分離形なので • ) ( #( #% = − ) &! • ) ( 𝑑𝑍 = − ) &! 𝑑𝑡 • ∫ ) ( 𝑑𝑍 = − ∫ ) &! 𝑑𝑡 • log 𝑍 = − ) &! 𝑡 + 𝐴* • 𝑍 = 𝑒+ ! "# %,-$ = 𝑒+ ! "# %𝑒-$ • 𝑍 = 𝐴𝑒+ ! "# % • よって， • 𝐴𝑒+ ! "# % = $ &! − ' ! • 𝑄 = 𝐴𝑒+ ! "# % + 𝐶𝑉 • 𝑡 = 0のときQ = 0 なので • 𝐴𝑒+ ! "# ×/ + 𝐶𝑉 = 0 • 𝐴 = −𝐶𝑉 • 𝑄 = −𝐶𝑉𝑒+ ! "# % + 𝐶𝑉 • 𝑄 = 𝐶𝑉 (1 − 𝑒+ ! "# %) 𝑍で割る 𝑑𝑡かける 両辺積分する 𝐴 = 𝑒%' ⼀般解 特殊解 発展

過渡現象 （充電） • 𝑄 = 𝐶𝑉(1 − 𝑒+ ! "# %)かつ𝑄 = 𝐶𝑉& なので𝑉& は • 𝑉 " = 𝑉 (1 − 𝑒+ ! "# %) • 電流iは • 𝑖 = #$ #% = # #% 𝐶𝑉 1 − 𝑒+ ! "# % = &' &! 𝑒+ ! "# % = ' ! 𝑒+ ! "# % ࢿ֨ࢼݧ಺Ͱܭࢉ͸ ෆՄೳ͔ͩΒɼ࣌ఆ ਺͸$3ͱ֮͑Δɽ 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （充電） • 電流𝑖 = ' ! 𝑒+ ! "# %なので抵抗にかかる電圧は • 𝑉! = 𝑉𝑒+ ! "# % • である． • 𝜏 = 𝐶𝑅としたとき，τを時定数と呼ぶ． ࢿ֨ࢼݧ಺Ͱܭࢉ͸ ෆՄೳ͔ͩΒɼ࣌ఆ ਺͸$3ͱ֮͑Δɽ 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （充電） • 図のように，抵抗とコンデンサを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次 のようになる． • コンデンサの電圧𝑉& の時間変化 • 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒# ! "# $) • 抵抗の電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉" = 𝑉𝑒# ! "# $ • 𝝉 = 𝑪𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 重要

過渡現象 （充電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は図のように変化する． • コンデンサに電荷が蓄積されるに伴いコンデンサの電圧𝑉& も増加する． • ⼀⽅抵抗の電圧𝑉! は減衰する． 時間 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" = 𝑉𝑒# % &" $ 𝑉" 𝑉 0 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒# ! "# $) 重要

過渡現象 （充電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は時定数を変えることで，図のように変 化する． 時間 𝑉" = 𝑉𝑒# % &" $ 𝑉 0 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒# ! "# $) 0 時間 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 重要

コンデンサの放電

コンデンサの放電 𝑡 = 0 スイッチをオフにした瞬 間． コンデンサに電荷がたま っている． コンデンサの電荷が徐 々に減る コンデンサの電荷が徐 々に減る ⼗分に時間が経つと， コンデンサにたまって いた電荷はなくなる．

過渡現象（放電） • スイッチを充電側にし，⼗分に時間がたつとコンデンサに𝑄 = 𝐶𝑉ほど 電荷が蓄積される． • そこで，スイッチを放電の⽅に⼊れると，コンデンサにたまった電荷 が消費され，減少していく． • コンデンサが電源の代わりになる． 𝑉 ! ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉"

過渡現象（放電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧をそれぞれ𝑉! ，𝑉 " とすると，電源がな いので • 𝑉! + 𝑉 " = 0 • 𝑉! = 𝑖𝑅および𝑄 = 𝐶𝑉 " より， • 𝑖𝑅 + $ & = #$ #% 𝑅 + $ & = 0 • #$ #% 𝑅 + $ & = 0 • 𝑄 = 𝐴𝑒+ ! "# % • 初期条件は𝑄/ = 𝑄 = 𝐶𝑉なので • 𝑄 = 𝐶𝑉𝑒+ ! "# % 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑖 変数分離形の微分⽅程式 充電のときやったので計算は省略 𝑉" 発展

過渡現象 （放電） • 𝑄 = 𝐶𝑉𝑒+ ! "# %から，Vcは • 𝑉 " = 𝑉 𝑒+ ! "# % • 抵抗にかかる電圧は • 𝑉! = −𝑉 " = −𝑉 𝑒+ ! "# % • 電流iは • 𝑖 = #$ #% = # #% 𝐶𝑉𝑒+ ! "# % = − &' &! 𝑒+ ! "# % = − ' ! 𝑒+ ! "# % • 𝜏 = 𝐶𝑅としたとき，τを時定数と呼ぶ． ࢿ֨ࢼݧ಺Ͱܭࢉ͸ෆՄ ೳ͔ͩΒɼ࣌ఆ਺͸$3 ͱ֮͑Δɽ ిѹͷ࣌ؒมԽ΋Α͘ग़ ͍ͯΔͷͰɼ༨༟͕͋Δ ਓ͸7Dͷࣜ΋֮͑Δɽ ֮͑ΒΕͳ͍ਓ͸ࢦ਺ؔ ਺తʹมԽ͢Δ͜ͱΛ֮ ͓͑ͯ͘ɽ 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 ! 発展

過渡現象 （放電） • 図のように，抵抗とコンデンサを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次 のようになる． • コンデンサの電圧𝑉& の時間変化 • 𝑉 ! = 𝑉𝑒# ! "# $ • 抵抗の電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉" = −𝑉𝑒# ! "# $ • 𝝉 = 𝑪𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 重要 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 !

過渡現象 （放電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は図のように変化する． • コンデンサの電荷が放電されるとともに，コンデンサの電圧Vcは指数 関数的に減衰していく． • 抵抗の電圧は，コンデンサによりもたらされるので，𝑉& とともに0に近 づく． 𝐶 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 ! 𝑉" = −𝑒# % &" $ 𝑉 ! = 𝑉𝑒# % &" $ 時間 𝑉 −𝑉 重要 0

過渡現象 （放電） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧は時定数を変えることで，図のように変 化する． 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 時定数𝜏⼤ 時定数𝜏⼩ 重要 𝑉 −𝑉 0 𝑉" = −𝑒# % &" $ 𝑉 ! = 𝑉𝑒# % &" $

微分回路と積分回路

微分回路 • 抵抗の電圧 𝑉! の時間変化を⾒てみると，充 電および放電が始まった瞬間に⼤きな値を取 り，時間とともに0に近づく． • つまり，時間変化が急激な場所（オン・オフ の場所）で⼤きな値をとっている． • 時間変化が急激な場所は微分が⼤きいので， 𝑉! は微分を表していると⾒ることもできる． • そのため，𝑉! を測定する回路は微分回路とも 呼ばれる． 充電 放電 𝑉" 𝑉" ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑉" 0 V 0 V 変化がある＝傾きがある 負の変化を 捉えている 正の変化を 捉えている ⼊⼒ ⼊⼒ 変化がある＝傾きがある

積分回路 • ⼀⽅，コンデンサの電圧𝑉& の時間変化を⾒て みると，充電および放電が始まると時間とと もに増加および減少する． • つまり， 𝑉& は⼊⼒を⾜し続けていると⾒るこ ともできる．これは，積分に相当する計算と みなせるだろう． • よって， 𝑉& を出⼒とする回路は積分回路とも 呼ばれる． 充電 放電 𝑉 ! 𝑉 ! ॆి ์ి 𝑉 𝑖 𝑉 ! 𝐶 𝑅 𝑉" 0 V V ⼊⼒ ⼊⼒

積分回路の解析 コンデンサの電圧は • 𝑉 ! = 𝑉 (1 − 𝑒" ! ") • これをマクローリン展開してみる． • 𝑉# = 𝑉 1 − 1 + $ % + & ' $ % ' + & (! $ % ( + ⋯ • 𝑉# = 𝑉 $ % + & ' $ % ' + & (! $ % ( + ⋯ • 𝑡はなんだろうか．直流が⼊⼒される場合は，その継続時間と⾒なせるだろう．直流において積分とは，⼊⼒電圧𝑉が時間に対し線形，つまり𝑉𝑡の 計算をすることと⾒なして良いだろう． • 𝑉𝑡 の計算が積分回路でなされるには， $ % ' が無視できるほど⼩さい必要がある． • つまり，$ % が⼗分⼩さければ 𝑉# ∼ *$ % となり積分しているとみなせる（1次近似という）．𝑡は直流の継続時間なので．矩形波では周期𝑇の1/2と⾒なせ る．つまり，周期𝑇が時定数𝜏に対し，⼗分⼩さければ矩形波⼊⼒のとき積分回路は積分していると⾒なせる． • では，$ % が更に⼩さいとどうなるだろうか．１次の項も無視できてしまい 𝑉# ∼ 0となり，積分みなせなくなる （0次近似という）． • つまり， $ % が無視できないほど⼤きく， $ % ' が無視できるほど⼩さいのならば積分回路は積分していると⾒なせるということである． • よって，⼊⼒が矩形波で時定数𝜏に対し周期𝑇が⼩さすぎず⼤きすぎないときだけ（１次近似で良いときだけ）積分していると⾒なせるのである． • $ % が無視できるほど⼩さいときは周期が極めて⼩さいときである．このとき周波数は極めて⾼いのでインピーダンス & +,# が0と⾒なせコンデンサに電 圧がかからないときでもある．なかなかうまくできている． 超発展 𝜏 = 𝐶𝑅が極めて⼤きいときも１次の項を無視できる．Cが極めて⼤きいときはコンデンサーのインピーダンスは0と⾒なせるし，Rが極めて⼤きいときはほとんど電流が流れなず𝑉! は変化しない．

まとめ（CR回路の場合） • 電圧は指数関数的に変化する． • 微分回路は抵抗の電圧を⾒ている． • ⼊⼒の変化を捉える． • 矩形波なら，オン・オフの瞬間が最も電圧の絶対 値は⼤きく，時間が⽴つに連れ0に近づく． • 積分回路はコンデンサの電圧を⾒ている． • ⼊⼒を蓄積していくように⾒える． • 矩形波なら，オンの瞬間は0だが，徐々に増えてい く．オフにすると溜まった電荷による電圧が徐々 に減少していき0に近づく． 重要 充電 放電 充電 放電 𝑉3 𝑉4 𝑉4

抑えるポイント • コンデンサの電圧は積分，抵抗の電圧は微分 • コンデンサは，電荷を徐々に貯める．つまり電圧も徐々に⼤きくなる（⾜ されている感じ＝積分）． • 充電時の電圧変化は𝑉& = 𝑉0(1 − 𝑒+* +), 𝑉! = 𝑉0𝑒+* +，放電時は 𝑉& = 𝑉0𝑒+* +, 𝑉! = −𝑉0𝑒+* + • 時定数 • 𝜏 = 𝐶𝑅 • 矩形波を⼊⼒として与えたときの𝑉! と𝑉& の時間変化が重要 • 時定数により⾒た⽬が変化する． • 時定数⼤→電圧の緩やかな時間変化 • 時定数⼩→電圧の急激な時間変化 Vc ⼊⼒Vi R C VR

問題 • 図の直流定電流電源は1mAである．𝑡 = 0でスイッチSを閉じて10μs 経過した後の1μFのキャパシタの両端の電圧はいくらか．ただし，ス イッチSを閉じる前にキャパシタの両端の電圧はゼロとする． （29ME）

問題 • 図の直流定電流電源は1mAである．𝑡 = 0でスイッチSを閉じて10μs 経過した後の1μFのキャパシタの両端の電圧はいくらか．ただし，ス イッチSを閉じる前にキャパシタの両端の電圧はゼロとする． （29ME） 電荷と電流の関係は 𝐼 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝐶 𝑑𝑉 𝑑𝑡 よって 1×10,-× 𝑉 10×10,- = 1×10,. 𝑉 = 0.01𝑉

問題 • 図aの周期信号（周期1ms）を図bの フィルタに⼊⼒した．出⼒𝑣(𝑡)に最も 近い波形はどれか．（28ME）

問題 • 図aの周期信号（周期1ms）を図bの フィルタに⼊⼒した．出⼒𝑣(𝑡)に最も 近い波形はどれか．（28ME） 抵抗の電圧𝑣(𝑡)が出⼒になっている．⼊⼒を𝑣とすると 𝑣(𝑡)は充電時𝑣 𝑡 = 𝑣𝑒5 ! "# 6である． また放電時は𝑣 𝑡 = −𝑣𝑒5 ! "# 6である． 以上から1が正解のように思える．しかし，時定数は 𝜏 = 1×1057×1×107 = 1𝑠 である．つまり，𝑣 𝑡 = 𝑣𝑒56となる．例えば1sのときの𝑣(𝑡) は 𝑣 1 = 𝑣𝑒58 ≈ 𝑣× 1 3 ≈ 0.3𝑣 であり，１のように0.5msで0に近い値になることはない． 逆に，0.5ms後でも𝑣(𝑡)はほぼ⼊⼒𝑣のままである． よって4が答えである． ⼊⼒ 𝑉4 𝑉4 𝑉4 𝜏⼩ 𝜏中 𝜏⼤

問題 • 図の回路において，スイッチSを閉じてから20ms後の抵抗両端電圧[V] に最も近いのはどれか．ただし，スイッチを閉じる前のコンデンサは 充電されていないものとし，⾃然対数の底eは2.7とする．(第42回ME2 種)

問題 • 図の回路において，スイッチSを閉じてから20ms後の抵抗両端電圧[V] に最も近いのはどれか．ただし，スイッチを閉じる前のコンデンサは 充電されていないものとし，⾃然対数の底eは2.7とする．(第42回ME2 種) 抵抗の電圧は指数関数的に減衰するの で 𝑉" = 2𝑒#$/( 時定数は 𝜏 = 𝐶𝑅 = 1×10#)×20×10* = 2×10#+𝑠 = 0.02𝑠 よって20ms後の抵抗の電圧は 𝑉" 0.02 = 2×𝑒# ,.,+ ,.,+ = 2×𝑒#% ≅ 0.74

問題 • 図の回路でコンデンサが 1000V で充電された状態でスイッチを 閉じ る。スイッチを閉じてから１秒後の電流値[mA]に最も近いのはどれか。 (臨床⼯学技⼠国家試験30回) 1. 10 2. 6.3 3. 5.0 4. 3.7 5. 1.0

問題 • 図の回路でコンデンサが 1000V で充電された状態でスイッチを 閉じ る。スイッチを閉じてから１秒後の電流値[mA]に最も近いのはどれか。 (臨床⼯学技⼠国家試験30回) 1. 10 2. 6.3 3. 5.0 4. 3.7 5. 1.0 コンデンサの放電なので，コンデンサの電圧 は指数関数的に減る．よって1秒後のコンデ ンサの電圧𝑉& は 𝑉 ! = 𝑉 𝑒# % &"$ = 1000×𝑒# % %,×%,$%×%,,×%,&×% = 1000𝑒#% 抵抗にはコンデンサと同じ⼤きさの電圧がかかる ．ここで，𝑒を3と⼤雑把に近似すると，電流𝐼はオ ームの法則から 𝐼 = 333 100×10. = 3.33×10,. これに最も近い選択肢は4

問題 • コンデンサを10Vに充電した後，100Ωの抵抗で放電した場合のコンデ ンサにかかる電圧の経時変化を図の⽚対数グラフを⽰す．コンデンサ の静電容量[F]はどれか． (臨床⼯学技⼠国家試験34) 1. 0.02 2. 0.04 3. 0.1 4. 0.2 5. 0.4 ໰୊ɹûĀɹίϯσϯαΛ ø÷ 7 ʹॆిͨ͠ޙɺø÷÷ X ͷ఍߅Ͱ์ిͨ͠৔߹ͷίϯσ ϯαʹ͔͔Δిѹͷܦ࣌มԽΛਤͷยର਺άϥϑʹࣔ͢ɻ ίϯσϯαͷ੩ి༰ྔ ʦ'ʧ ͸ͲΕ͔ɻ ÷ ø ù ú û ü ࣌ؒ ʦTʧ ిѹ ʦ7ʧ ý þ ÿ Ā ø÷ ø÷ ÿ þ ý ü û ú ù ø Ā øɽ÷ɽ ÷ù

問題 • コンデンサを10Vに充電した後，100Ωの抵抗で放電した場合のコンデンサにかかる電圧の経時変化 を図の⽚対数グラフを⽰す．コンデンサの静電容量[F]はどれか．(臨床⼯学技⼠国家試験34) 1. 0.02 2. 0.04 3. 0.1 4. 0.2 5. 0.4 ໰୊ɹûĀɹίϯσϯαΛ ø÷ 7 ʹॆిͨ͠ޙɺø÷÷ X ͷ఍߅Ͱ์ిͨ͠৔߹ͷίϯσ ϯαʹ͔͔Δిѹͷܦ࣌มԽΛਤͷยର਺άϥϑʹࣔ͢ɻ ίϯσϯαͷ੩ి༰ྔ ʦ'ʧ ͸ͲΕ͔ɻ ÷ ø ù ú û ü ࣌ؒ ʦTʧ ిѹ ʦ7ʧ ý þ ÿ Ā ø÷ ø÷ ÿ þ ý ü û ú ù ø Ā øɽ÷ɽ ÷ù ùɽ÷ɽ ÷û úɽ÷ɽ ø ûɽ÷ɽ ù üɽ÷ɽ û ໰୊ɹü÷ɹෳૉ਺ͷภ͕֯ - r rad ͱͳΔͷ͸ͲΕ͔ɻ ͜Ε͸ɼయܕతͳ$3ճ࿏ͷ์ిͰ͋Δɽίϯσϯαʹ͔͔Δిѹ7D͸ࢦ਺ؔ਺తʹݮਰ͢ΔɽΑͬͯ 𝑉 9 = 10𝑒5 $ "#Ͱ͋Δɽ 3ͳͷͰ 𝑉 9 = 10𝑒5 $ !%%"ͱͳΔɽ͜͜Ͱ − 6 8::4 = −1ͷ࣌Λߟ͑Δɽ͜ͷͱ͖ɼ𝑉 9 ͸𝑉 9 = 10𝑒58 = 8: ; ͱͳΔɽFͱେ·͔ʹۙࣅ͢Δͱ𝑉 9 ͸໿7Ͱ͋Δɽ ͦͷ࣌ͷ࣌ؒ͸άϥϑ͔Βɼ͓͓ΑͦTͰ༗Δ͜ͱ͕෼͔ΔɽΑͬͯ$ͳͷͰɼ $ͱͳΔɽ この⼿の問題のコツ：− 𝒕 𝝉 = −𝟏とおく．

問題 • 図の回路において、スイッチをａ側にして⼗分時間が経過した後、ｂ 側に切換えた。正しいのはどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29回) a. 抵抗の最⼤電流値は 100mA である。 b. 回路の時定数は 0.1s である。 c. コンデンサの両端電圧の最⼤値は 5V である。 d. コンデンサの両端電圧は指数関数的に増加する。 e. 抵抗に流れる電流は指数関数的に減少する

問題 • 図の回路において、スイッチをａ側にして⼗分時間が経過した後、ｂ 側に切換えた。正しいのはどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29回) a. 抵抗の最⼤電流値は 100mA である。 ⼗分充電しているのでコンデンサの電圧の最⼤値は10Vである．このとき流 れる電流は %,/ %,,0 = 0.1𝐴となる．よって正しい． b. 回路の時定数は 0.1s である。 時定数は𝜏 = 𝐶𝑅 = 100𝜇×100𝑠 = 10000𝜇𝑠 = 0.01𝑠である．よって間違い．

問題 • 図の回路において、スイッチをａ側にして⼗分時間が経過した後、ｂ側 に切換えた。正しいのはどれか。(臨床⼯学技⼠国家試験29回) c. コンデンサの両端電圧の最⼤値は 5V である。 コンデンサの電圧の最⼤値は10Vである．よって間違い． d. コンデンサの両端電圧は指数関数的に増加する。 放電するのでコンデンサの電圧は指数関数的に減少する．よって間違い． e. 抵抗に流れる電流は指数関数的に減少する． 放電するのでコンデンサの電圧は指数関数的に減少する．オームの法則から， 電圧が指数関数的に減少すれば電流も指数関数的に減少するので，正しい．

問題 • 図の回路で，スイッチが①の状態で⼗分な時間が経過した後に，SWを②に⼊れた． 正しいのはどれか．(臨⼯学技⼠国家試験36) a. 回路の時定数は5𝜇sである． b. SWを②に⼊れた瞬間の𝑉/ の値は10Vである． c. SWを②に⼊れた瞬間の回路に流れる電流は100mAである． d. SWを②に⼊れた5ms後の𝑉0 の値は約3.7Vである． e. SWを②に⼊れてから⼗分時間が経過した後の回路に流れる電流は0mAである． ໰୊ɹûÿɹਤͷճ࿏ͰɺεΠον͕ᶃͷঢ়ଶͰे෼ͳ͕࣌ؒܦաͨ͠ޙʹɺ48 Λᶄ ʹೖΕͨɻ ਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ᶃ 48 V 3 V $ ø÷ 7 ø÷÷ X ü÷ n' ᶄ ̰ɽճ࿏ͷ࣌ఆ਺͸ ü nT Ͱ͋Δɻ

問題 • 図の回路で，スイッチが①の状態で⼗分な時間が経過した後に，SWを ②に⼊れた．正しいのはどれか．(臨⼯学技⼠国家試験36) a. 回路の時定数は5𝜇sである． 𝜏 = 𝑅𝐶 = 100×50×10#) = 5𝑚𝑠となり間違い． b. SWを②に⼊れた瞬間の𝑉& の値は10Vである． スイッチを⼊れた瞬間はCのインピーダンスは0なので，𝑉& = 0である． よって間違い． c. SWを②に⼊れた瞬間の回路に流れる電流は100mAである． スイッチを⼊れた瞬間の回路の合成インピーダンスは100Ωである．よって 𝐼 = 10/100 = 100𝑚𝑉である．よって正しい． ໰୊ɹûÿɹਤͷճ࿏ͰɺεΠον͕ᶃͷঢ়ଶͰे෼ͳ͕࣌ؒܦաͨ͠ޙʹ ʹೖΕͨɻ ਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ᶃ 48 V 3 V $ ø÷ 7 ø÷÷ X ü÷ n' ᶄ ̰ɽճ࿏ͷ࣌ఆ਺͸ ü nT Ͱ͋Δɻ ̱ɽ48 ΛᶄʹೖΕͨॠؒͷ V $ ͷ஋͸ ø÷ 7 Ͱ͋Δɻ ̲ɽ48 ΛᶄʹೖΕͨॠؒͷճ࿏ʹྲྀΕΔిྲྀ͸ ø÷÷ N" Ͱ͋Δɻ ̳ɽ48 ΛᶄʹೖΕ͔ͯΒ ü NT ޙͷ V 3 ͷ஋͸໿ úɽ þ 7 Ͱ͋Δɻ ̴ɽ48 ΛᶄʹೖΕ͔ͯΒे෼͕࣌ؒܦաͨ͠ޙͷճ࿏ʹྲྀΕΔిྲྀ͸ Δɻ øɽ̰ɺ̱ɺ̲ ùɽ̰ɺ̱ɺ̴ úɽ̰ɺ̳ɺ̴ ûɽ̱ɺ̲ɺ̳ üɽ̲ɺ̳ɺ̴

問題 • 図の回路で，スイッチが①の状態で⼗分な時間が経過した後に，SWを ②に⼊れた．正しいのはどれか．(臨⼯学技⼠国家試験36) d. SWを②に⼊れた5ms後の𝑽𝑹 の値は約3.7Vである． 𝑉& = 𝑉1 𝑒#' (= 10×2.7#2/2 = 3.7𝑉よって正しい． e. SWを②に⼊れてから⼗分時間が経過した後の回路に流れる電流は 0mAである． スイッチを⼊れて⼗分時間が⽴つと，コンデンサのインピーダンスは無限⼤ に発散するので開放と⾒なせる．よって，回路には電流は流れないので正し い． ໰୊ɹûÿɹਤͷճ࿏ͰɺεΠον͕ᶃͷঢ়ଶͰे෼ͳ͕࣌ؒܦաͨ͠ޙʹɺ ʹೖΕͨɻ ਖ਼͍͠ͷ͸ͲΕ͔ɻ ᶃ 48 V 3 V $ ø÷ 7 ø÷÷ X ü÷ n' ᶄ ̰ɽճ࿏ͷ࣌ఆ਺͸ ü nT Ͱ͋Δɻ ̱ɽ48 ΛᶄʹೖΕͨॠؒͷ V $ ͷ஋͸ ø÷ 7 Ͱ͋Δɻ ̲ɽ48 ΛᶄʹೖΕͨॠؒͷճ࿏ʹྲྀΕΔిྲྀ͸ ø÷÷ N" Ͱ͋Δɻ ̳ɽ48 ΛᶄʹೖΕ͔ͯΒ ü NT ޙͷ V 3 ͷ஋͸໿ úɽ þ 7 Ͱ͋Δɻ ̴ɽ48 ΛᶄʹೖΕ͔ͯΒे෼͕࣌ؒܦաͨ͠ޙͷճ࿏ʹྲྀΕΔిྲྀ͸ Δɻ øɽ̰ɺ̱ɺ̲ ùɽ̰ɺ̱ɺ̴ úɽ̰ɺ̳ɺ̴ ûɽ̱ɺ̲ɺ̳ üɽ̲ɺ̳ɺ̴

コイルの過渡現象

コイルに電流を流した瞬間

過渡現象（オン） • 図のような直流回路を考える． • スイッチをオン側に移動させると，コイルに電流が流れ，誘導起電⼒ は発⽣する． 𝑉 𝑖 𝑉3 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝐿 𝑅 𝑉" 𝑉" オン オフ

過渡現象 （オン） • 抵抗とコンデンサに加わる電圧をそれぞれ𝑉! ，𝑉 " とすると， • 𝑉 = 𝑉! + 𝑉2 • 𝑉! = 𝑖𝑅，𝑉2 = −𝐿 #0 #% より， • 𝑉 = 𝑖𝑅 − 𝐿 #0 #% • これを𝑖について解けば，コイル全体を流れる電流の時間変化が分かる． 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （オン） • 𝑉 = 𝑖𝑅 − 𝐿 #0 #% を両辺𝐿でわり，0 equalの形にすると • #3 #% + 0! 2 − ' 2 = 0となる． • 𝑍 = 0! 2 − ' 2 とおくと • #( #% = ! 2 #0 #% • #0 #% = 2 ! #( #% • これを代⼊すると • 2 ! #( #% + 𝑍 = 0 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象（オン） • 2 ! #( #% + 𝑍 = 0は変数分離形なので • ) ( #( #% = − ! 2 • ) ( 𝑑𝑍 = − ! 2 𝑑𝑡 • log 𝑍 = − ! 2 𝑡 • 𝑍 = 𝐴𝑒+# 1 % • よって， • 𝐴𝑒+# 1 % = 0! 2 − ' 2 • 𝑖 = 𝐴𝑒+ ! "# % + ' ! • 𝑡 = 0のとき𝑖 = 0 なので • 𝑖 = 𝐴𝑒+/×% + ' ! • 𝐴 = − ' ! • 𝑖 = − ' ! 𝑒+# 1 % + ' ! = ' ! (1 − 𝑒+# 1 %) 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （オン） • 回路を流れる電流は • 𝑖 = ' ! (1 − 𝑒+# 1 %) • 𝜏 = 2 ! としたとき，τを時定数と呼ぶ． • 抵抗にかかる電圧は • 𝑉! = 𝑉(1 − 𝑒+# 1 %) • コンデンサにかかる電圧は • 𝑉2 = 𝑉 − 𝑉 1 − 𝑒+# 1 % = 𝑉𝑒+# 1 % ࢿ֨ࢼݧ಺Ͱܭࢉ͸ ෆՄೳ͔ͩΒɼ࣌ఆ ਺͸-3ͱ֮͑Δɽ 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 発展

過渡現象 （オン） • 図のように，抵抗とコイルを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次のよ うになる． • コイルの電圧𝑉& の時間変化 • 𝑉3 = 𝑉𝑒## ) $ • 抵抗の電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉" = 𝑉(1 − 𝑒## ) $) • 𝝉 = 𝑳/𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 重要 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉"

過渡現象 （オン） • 抵抗とコイルに加わる電圧は図のように変化する． • コイルの誘導起電⼒により最初は電圧𝑉がコイルにかかるが，時間とと もに減衰する． • ⼀⽅抵抗の電圧𝑉! は時間とともに増加し，最終的にほぼ𝑉になる． 時間 𝑉" = 𝑉(1 − 𝑒# " 3 $) 𝑉3 = 𝑉𝑒# " 3$ 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉" 𝑉 重要

コイルの電源をオフにした瞬 間

過渡現象（オフ） • スイッチをオン側にし，⼗分時間が⽴つとコイル内の磁場は⼀定にな り誘導起電⼒はなくなる． • その状態で，スイッチをオフ側に⼊れると，コイルに電流が流れなく なりコイル内の磁場が変化する． • この磁場の変化が誘導起電⼒を発⽣させる． • コイルが電源の代わりになる． 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 𝑖 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑉" オン オフ

過渡現象 （オフ） • 抵抗とコイルに加わる電圧をそれぞれ𝑉! ，𝑉2 とすると，電源がないの で • 𝑉! + 𝑉2 = 0 • 𝑉! = 𝑖𝑅および𝑉2 = 𝐿 #0 #% より， • 𝑖𝑅 + 𝐿 #4 #% = 0 • 0! 2 + #0 #% = 0 • 𝑖 = 𝐴𝑒+# 1 % • 初期条件は𝑖/ = 𝑉/𝑅なので • 𝑖 = ' ! 𝑒+# 1 % 電源が切れると順⽅向に電圧が⽣じるため，𝑉> は正となりマイナスがとれる． 変数分離形の微分⽅程式 充電のときやったので計算は省略 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉" 発展

過渡現象 （オフ） • 𝑖 = ' ! 𝑒+# 1 %から𝑉! は • 𝑉! = 𝑉 𝑒+# 1 % • 𝑉2 は • 𝑉2 = −𝑉! = −𝑉 𝑒+# 1 % • 𝜏 = 𝐿/𝑅としたとき，τを時定数と呼ぶ． ࢿ֨ࢼݧ಺Ͱܭࢉ͸ ෆՄೳ͔ͩΒɼ࣌ఆ ਺͸-3ͱ֮͑Δɽ ిѹͷ࣌ؒมԽ΋Α ͘ग़͍ͯΔͷͰɼ༨ ༟͕͋Δਓ͸𝑉= ͷࣜ ΋֮͑Δɽ֮͑ΒΕ ͳ͍ਓ͸ࢦ਺ؔ਺త ʹมԽ͢Δ͜ͱΛ֮ ͓͑ͯ͘ɽ 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉" 発展

過渡現象 （オフ） • 図のように，抵抗とコイルを直流電源に繋いだ時の電圧変化は次のよ うになる． • コイルの電圧𝑉& の時間変化 • 𝑉3 = −𝑉 𝑒## ) $ • 抵抗の電圧𝑉! の時間変化 • 𝑉" = 𝑉 𝑒## ) $ • 𝝉 = 𝑳/𝑹としたとき，τを時定数と呼ぶ． 重要 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉 𝑉"

過渡現象 （オフ） • 抵抗とコイルに加わる電圧は図のように変化する． • コイルはスイッチがオフになった途端，磁場を維持するため誘導起電⼒ を⽣じるが，時間とともに指数関数的に減衰していく． • 抵抗の電圧は，コイルによりもたらされるので，𝑉2 とともに0に近づく． 𝑉" = 𝑉 𝑒# " 3$ 𝑉3 = −𝑉 𝑒# " 3$ 時間 𝑉3 𝐿 𝑅 𝑖 𝑉" 𝑉 −𝑉

まとめ（LR回路の場合） • 電圧は指数関数的に変化する． • 抵抗の電圧を⾒た時，⼊⼒を蓄積しているよう に⾒える． • 抵抗の電圧を⾒たとき，LR回路は積分回路であ る． • コイルの電圧を⾒た時，⼊⼒が変化した時を捉 えているように⾒える． • コイルの電圧を⾒たとき，LR回路は微分回路で ある． 重要 𝑉3 𝑉 𝑉3 𝑉> 積分 微分

コンデンサの逆 • コイルの過渡現象はコンデンサの逆だと覚えておく． • しかし時定数が違う • コンデンサ：CR • コイル：L/R 充電 放電 充電 放電 CR回路 𝑉 𝑉3 𝑉> 積分 微分 LR回路 積分 微分

問題 • 図に⽰す回路の時定数[s]を求めよ．(国家試験26)

問題 • 図に⽰す回路の時定数[s]を求めよ．(国家試験26) 𝜏 = 𝐿 𝑅 = 5 2 = 2.5𝑠

問題 • 図の回路において𝑡 = 0でスイッチを⼊れた．正しいのはどれか．(国 家試験27) 1. 時定数は𝐿𝑅である． 2. 直後に抵抗にかかる電圧は𝐸となる． 3. 直後に流れる電流は5 ! となる． 4. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧は5 6 となる． 5. 時間が⼗分に経過すると抵抗で消費される電⼒は52 ! となる．

問題 • 図の回路において𝑡 = 0でスイッチを⼊れた．正しいのはどれか．(国家試験27) 1. 時定数は𝐿𝑅である． 2. 直後に抵抗にかかる電圧は𝐸となる． 3. 直後に流れる電流は? 3 となる． 4. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧は? @ となる． 5. 時間が⼗分に経過すると抵抗で消費される電⼒は?& 3 となる． 1. 時定数はL/Rである．これは間違い． 2. 直後に抵抗にかかる電圧は0である． これは間違い． 3. 直後に流れる電流は0である． これは間違い． 4. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧はEである． これは間違い． 5. 時間が⼗分に経過すると抵抗にかかる電圧はEなので，抵抗で消費される電⼒は 𝑊 = 𝐼𝑉 = 𝐸3/𝑅 なので，これが正解．

問題 • 図の回路でスイッチを閉じてから1ms後にインダクタの両端にかかる 電圧[V]に最も近いのはどれか．ただし，⾃然対数の底eは2.7とする． (国家試験31) 1. 1.5 2. 1.2 3. 0.9 4. 0.6 5. 0.3 ໰୊ɹüøɹਤͷճ࿏ͰεΠονΛด͔ͯ͡Β ø NT ޙʹΠϯμΫλͷ྆୺ʹ͔͔Δి ѹ ʦ7ʧ ʹ࠷΋͍ۙͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺࣗવର਺ͷఈ e ͸ ùɽ þ ͱ͢Δɻ øɽøɽ ü ùɽøɽ ù úɽ÷ɽ Ā ûɽ÷ɽ ý üɽ÷ɽ ú øɽ ü 7 ø ) ø LX

問題 • 図の回路でスイッチを閉じてから1ms後にインダクタの両端にかかる電圧[V]に最も近いのはどれか．ただし，⾃然対 数の底eは2.7とする．(国家試験31) 1. 1.5 2. 1.2 3. 0.9 4. 0.6 5. 0.3 ѹ ʦ7ʧ ʹ࠷΋͍ۙͷ͸ͲΕ͔ɻ ͨͩ͠ɺࣗવର਺ͷఈ e ͸ ùɽ þ ͱ͢Δɻ øɽøɽ ü ùɽøɽ ù úɽ÷ɽ Ā ûɽ÷ɽ ý üɽ÷ɽ ú øɽ ü 7 ø ) ø LX ΠϯμΫλ͸ίϯσϯαͱಛੑ͕ٯͳͷͰɼεΠο νΛΦϯʹ͢ΔͱΠϯμΫλʹ͔͔Δిѹ͸ࢦ਺ؔ ਺తʹݮਰ͍ͯ͘͠ɽͭ·Γɼ𝑉4 = 𝑉5 𝑒,6/8ɽ࣌ఆ਺ ͸-3Ͱ͋Δɽ Αͬͯ 𝑉4 = 1.5×2.7, 9.99;<×;999> ;? = 1.5×2.7,; ≈ 0.56

抑えるポイント • コンデンサ，コイルの特性 • RC回路 • コンデンサの電圧は積分，抵抗の電圧は微分 • コンデンサは，電荷を徐々に貯める．つまり電圧も徐々に⼤きくなる（⾜されている感じ＝積 分）． • グラフでイメージを掴む • 充電時の電圧変化は𝑉* = 𝑉+ (1 − 𝑒,# $), 𝑉- = 𝑉+ 𝑒,# $，放電時は 𝑉* = 𝑉+ 𝑒,# $, 𝑉- = −𝑉+ 𝑒,# $ • RLフィルタはRC回路と素⼦の特性が逆と覚える． • 時定数 • CRフィルタ：𝜏 = 𝐶𝑅 • LRフィルタ：𝜏 = 𝐿/𝑅 • 矩形波を⼊⼒として与えたときの𝑉0 と𝑉/ の時間変化が重要 • 時定数により⾒た⽬が変化する． • 時定数⼤→電圧の緩やかな時間変化 • 時定数⼩→電圧の急激な時間変化 Vc ⼊⼒Vi R C VR