関数データ解析への招待 滋賀大学データサイエンス学部 松井 秀俊 E-mail: hmatsui@biwako.shiga-u.ac.jp 第１３回ザッピングセミナー 2023.04.24

自己紹介 • 松井秀俊（まついひでとし） • 経歴： – 2009.03 九州大学大学院数理学府博士後期課程修了 博士(機能数理学) – 2009.04 株式会社ニコンシステム 数理解析研究室 – 2012.03 九州大学大学院数理学研究院 助教 – 2016.04 滋賀大学データサイエンス教育研究センター 准教授 – 2016.10 科学技術振興機構 さきがけ研究員 (兼任, ~2020.03) 「情報協働栽培」領域 – 2017.04 滋賀大学データサイエンス学部 准教授 • 専門分野： 統計的モデリング・関数データ解析・スパース推定 2 スパース推定法 による 統計モデリング （共立出版） 多変量解析 （学術図書出版） 2023.03出版 統計モデルと推測 （講談社 サイエンティフィク） 執筆に携わった書籍（一部）

目次 • 関数データ解析の概要 – どういう形式のデータに対してどういうことができるか・文献紹介 • 関数データ解析の事例紹介 – さまざまな分野のデータに対する分析事例紹介 • 関数回帰モデルの推定 – 具体的な実装方法を，関数回帰モデルを例に紹介（数式多め） • 関数データ解析手法ザッピング – マニアックな発展的な手法とその応用例を紹介 3

4 • 観測個体（左の例では都市）それぞれが 時間等の経過に伴い繰り返し計測された 形式のデータを，経時測定データという • 気温のようなデータは，本来は観測時点 だけではなく，連続的に存在しているはず • そこで，各個体を時間の関数として表し 観測データ（ベクトルデータ）の代わりに 関数をデータとして扱おう Observed data 例：3都市の1年間における 月別平均気温 関数データ解析 (Functional Data Analysis; FDA) ※ Food and Drug Administration ではない Functional data 那覇 東京 札幌

5 • 各個体を関数化処理することで得られる 関数を関数データといい，関数データ集合 を対象とした分析手法・理論を総称して 関数データ解析という • 分かりやすさのために 「時間の」関数データという想定で説明 することが多いが，前後関係を持つもので あれば何の関数でも適用可能 ✓ 深さ・位置・波長 etc. ✓ 位置（緯度経度）の場合は曲面データ になる Observed data 例：3都市の1年間における 月別平均気温 Functional data 那覇 東京 札幌 関数データ解析 (Functional Data Analysis; FDA) ※ Food and Drug Administration ではない

Ramsay & Silverman (1997, 2005) 提唱者らによる書籍 実践的な方法論を 多く掲載 参考書など • 和書では次の書籍の一部に記載 – 辻谷將明，竹澤邦夫 (2015). マシンラーニング 第2版 (Rで学ぶデータサイエンス)，共立出版. – 福水健次 (2010). カーネル法入門ー正定値カーネルによるデータ解析，朝倉書店. – 鈴木譲 (2021). 機械学習のためのカーネル100問，共立出版. • 関数データ解析の和文サーベイ論文 – 松井(2019) ．関数データに基づく統計的モデリング，統計数理 67 (1) 73-96. 6 Kokoszka & Reimherr (2017) 関数データ解析の 基本的な方法を掲載 Rのコードあり Hsing & Eubank (2015) 関数データ解析に 関する理論的性質を 詳しく紹介 Ramsay, Hooker & Graves (2009) RやMatlabコード掲載 手を動かしながら 勉強できる Horvath & Kokoszka (2013) 関数データの検定や 時系列・空間データ 等の分析法を掲載

ライブラリ • fda：データの関数化や関数回帰分析，関数主成分分析を実装 • refund：多様な種類の関数回帰モデルを実装（解説ページ） • fdANOVA：関数データに対する仮説検定を実装（解説ページ） ・・・ほか多数 • CRAN Task View：関数データ解析関連のRパッケージ一覧 • scikit-fda：関数データ解析に関する手法を網羅的に実装 • FDApy：python内で処理する関数データのクラスを実装 7

経時測定データの例1 子供の身長の推移 • 数人の子供の身長を 1歳から18歳まで毎年計測したデータ • 2～8歳までは年1回， それ以外は年2回計測 ⇒計測時間が不均一 • 計測時間の情報を 取り入れた解析をするには？ 8 年齢 子 供 “growth” by R package “fda”

経時測定データの例1 子供の身長の推移 • 数人の子供の身長を 1歳から18歳まで毎年計測したデータ • 2～8歳までは年1回， それ以外は年2回計測 ⇒計測時間が不均一 • 計測時間の情報を 取り入れた解析をするには？ 9 年齢 子 供 “growth” by R package “fda”

経時測定データの例2 病状の経時変化 • ある細胞が破壊される病気の患者数名に対して 数回に渡り通院してもらい 細胞の血中濃度を測定 • 患者ごとに通院時点や通院回数が異なるため 古典的な多変量解析を直接適用することは困難 • 喫煙や性別などの情報と 細胞濃度との関係をどうモデル化する？ 10 患者 時点 喫煙 性別 濃度 1 0 無 0 45 1 1 無 0 37 : : : : : 1 10 無 0 20 2 0 有 1 38 : : : : : 2 9 有 1 12 : : : : : n 13 無 0 12 “cd4” by R package “timereg”

経時測定データの例2 病状の経時変化 • ある細胞が破壊される病気の患者数名に対して 数回に渡り通院してもらい 細胞の血中濃度を測定 • 患者ごとに通院時点や通院回数が異なるため 古典的な多変量解析を直接適用することは困難 • 喫煙や性別などの情報と 細胞濃度との関係をどうモデル化する？ 11 患者 時点 喫煙 性別 濃度 1 0 無 0 45 1 1 無 0 37 : : : : : 1 10 無 0 20 2 0 有 1 38 : : : : : 2 9 有 1 12 : : : : : n 13 無 0 12 “cd4” by R package “timereg”

経時測定データの例３ 骨密度の推移データ • 48名の女性に対して脊柱の骨密度を 経時的に測定したデータ • 1人1人の計測時点数が2～4時点と 非常に少ないため，個々のデータを 独立して関数化することは困難 • このような「まばら」なデータは スパース経時測定データとよばれる • 全員分のデータを時系列的に並べれば 全観測時点内でのトレンドは見える • 平均曲線をどのように推定する？ 12 James et al. (2000, Biometrika)

Observed data 13 Observed data • データを関数として扱うことで 次のような特徴がある ✓ 経時データの観測誤差を 除去して解析できる ✓ 観測時点数が多い場合 データの次元を削減できる ✓ 観測時点，観測時点数が 個体ごとに異なっていても 容易に分析できる ✓ データの微分の情報を 用いる事ができる Functional data 関数データ解析の特徴

関数データ解析でできることとできないこと • 関数データ解析は，サンプルサイズ 𝑛 の「関数」標本に対する分析 新しい (𝑛 + 1番目の)「関数」に対する予測などを行うことができる – １個体それぞれの「先の時点の予測」が目的ではない （一般的には，1本の曲線の中での時系列解析のような予測が目的ではない） • 「経時測定データ → 関数データ解析が有効」とは限らない – 個体間で計測時点や計測時点数が密で均一であれば，通常の 多変量データ解析手法で（高次元の問題はあるが）十分 – 均一でない状況やスパース経時測定データに対して 関数データ解析は特に有効 14

目次 • 関数データ解析の概要 • 関数データ解析の事例紹介 • 関数回帰モデルの推定 • 関数データ解析手法ザッピング 15

関数データ解析手法 • 関数データ解析では，古典的な統計手法を関数データの枠組みへ拡張した ものが多く研究されている • 関数の特性を利用した，関数データならではの分析手法もある 16 ✓ 主成分分析 ✓ 回帰分析 ✓ 仮説検定 ✓ クラスター分析 ✓ 判別分析 ✓ 空間データ解析 ✓ 時系列解析 ✓ 曲線アライメント ✓ 主微分分析 ✓ 微分方程式モデル 補足： 主微分分析（Principal Differential Analysis; PDA）(Ramsay, 1996, JRSS-B) 主成分分析でいう主成分の代わりに微分を用いて，データの特徴を表現する方法

day 応用事例 1/7：関数回帰分析 イネの収量データ • さまざまな地域の水田における単位面積あたり イネの収穫量 (𝑌)と，イネの生育期間中における 気温 (𝑋(𝑡)) との関係をモデル化 • 気温を関数データとして扱い回帰モデル構築 • 関数回帰モデルの係数関数から， 田植えから収穫までの気温の収量への寄与を 定量化 17 説明変数：気温の関数データ 目的変数：イネの収穫量 気温の係数関数推定値 （破線は95%各点信頼区間） （田植え） （収穫） day

応用事例 2/7：関数判別分析 多発性硬化症患者(MS)の遺伝子発現データ • 治療を行った患者に対して 術後に経時的に遺伝子発現量を測定 • 治療の結果予後が良好だったグループは 予後不良だったグループと比べて 遺伝子の働きに違いがあるのでは？ • 遺伝子発現量の経時変化を特徴量として 予後良好/不良の2群を判別するモデルを利用 18 0 5 10 15 20 3.2 3.6 4.0 4.4 time IRF8 0 5 10 15 20 3.2 3.6 4.0 4.4 time IRF8 p= 0.0059 経時遺伝子発現データ （データ出典：Baranzini et al., 2004） 予後良好 グループ 予後不良 グループ Kayano, Matsui et al. (2016, Biostatistics) 関数ロジスティック回帰モデルによる 回帰係数の推定値

応用事例 3/7：関数主成分分析 子どもの身長データ • 子どもの身長の推移の特徴を 捉えるために，関数データ版の 主成分分析を適用 • 主成分重みが関数として与えられ 各主成分の特徴を表す – 第１：全期間での身長の高さ – 第２：成長期の身長の伸び方 • 主成分得点を計算することで 曲線の特徴を低次元のベクトルに 変換できる 19 ――：第１関数主成分 - - - -：第２関数主成分 子どもの身長のデータと 関数主成分分析による重み関数 主成分得点plot （横：第１，縦：第２） Ramsay & Silverman (2005)

応用事例 4/7：関数クラスター分析 小麦粉の混錬データ • 115種類の小麦粉を480秒間捏ね上げ，2秒間 に1回生地の抵抗を測定 • これらの小麦粉からそれぞれ作られる クッキーの品質は，抵抗の経時変化に依存 • 抵抗の経時変化のデータを関数データ化し 関数データに対してクラスタリングを行う ことで，クッキーの品質を分類 • 端的に言うと「曲線の仲間分け」 20 Jacques & Preda (2014, Adv. Data Anal. Classifi.)

応用事例 5/7：関数時系列解析 年齢別死亡率のデータ • 右図のデータは、1950年から2010年の1年ごとの 年齢別死亡率（の対数）の推移を示したもの (R package “demography”) • 年代が進むにつれて、全年齢層で 死亡率は減少傾向にある • これらのデータを用いて、 未来の年における「死亡率の 年齢別推移」を予測したい （「100歳より先」の予測ではない） 21 Hyndman & Ullah (2007, Comput.Statist. Data Anal.)

応用事例 6/7：関数空間データ分析 様々な地点の年間平均気温データ • 左の図は、カナダの複数都市（右の点）で観測された、 日別平均気温の推移を表したもの • このデータから、観測されていない都市・地点における 気温の推移を予測する 22 Kokoszka & Reimherr (2017) ？ “CanadianWeather” by R package “fda”

応用事例 7/7：曲線アライメント Pinch force データ • 複数の被験者に対して物を「つまむ」実験により 得られた，つまむ力の経時変化を表したもの • つまむ力のピーク位置は人それぞれ • つまむ力のピーク位置（基準点）を横軸で揃える ために，各関数データを平均関数に近くなるよう ずらす • 曲線アライメントを適用することで，各被験者が 他と比べてどのような力の入れ方をしているかが 分かりやすくなる • 揃える基準点が複数ある場合に対処した方法も • 前述の手法に比べると「前処理」的位置づけ 23 “pinch” by R package “fda” アライメント前 アライメント後 Ramsay & Silverman (2005)

応用事例 (追記)：関数回帰分析 肉標本の近赤外スペクトルデータ • 近赤外線吸収率の波長毎の変動は 肉標本の成分含有量に依存 • 波長毎の吸収率を波長の関数データ とみなし成分含有量との関連を見る • 非破壊検査により肉標本の成分含有量を 予測できる 24 水分 脂質 蛋白質 肉標本が吸収する近赤外線の 100チャンネル毎の吸収率 成分含有量 データ出典：Borggaard & Thodberg, 1992 R package “caret”から取得可能 https://www.tomra.com/en/sorting/food/food-technology Matsui et al. (2008, J. Data Sci.)

目次 • 関数データ解析の概要 • 関数データ解析の事例紹介 • 関数回帰モデルの推定 • 関数データ解析手法ザッピング 25

スカラー-関数型線形モデル • 説明変数が関数データ、目的変数がスカラーで与えられたモデル • 𝑖番目の観測における説明変数のデータを𝑥𝑖 𝑡 ，目的変数のデータを𝑦𝑖 とおくと 関数線形モデルは次で与えられる 𝑦𝑖 = 𝛽0 + න 𝑇 𝑥𝑖 𝑡 𝛽1 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜀𝑖 𝛽0 ：切片, 𝛽1 𝑡 ：回帰係数関数, 𝜀𝑖 ~𝑁 0, 𝜎2 ：誤差 • 説明変数𝑥𝑖 𝑡 が𝑡の関数として与えられているため その係数𝛽1 𝑡 も関数で与えられる • 回帰係数関数𝛽1 𝑡 は，任意の点𝑡における 𝑥𝑖 𝑡 の𝑦𝑖 への「影響度」の変動を 表している 26 Ramsay & Silverman (2005)

基底関数展開（１） • 説明変数のデータ𝑥𝑖 𝑡 は，基底関数展開によって表されると仮定 𝑥𝑖 𝑡 = 𝒘𝑖 𝑇𝝓 𝑡 𝒘𝑖 = 𝑤𝑖1 , … , 𝑤𝑖𝑚 𝑇, 𝝓 𝑡 = 𝜙1 𝑡 , … , 𝜙𝑚 𝑡 𝑇 • この展開は，データの関数化によって得られるもの したがって，ここでは係数𝒘𝑖 は既知とする • 基底関数𝝓 𝑡 は各𝑖で共通である必要がある • 関数主成分分析によって得られる 主成分得点と固有関数によって構成することもできる （Karhunen-Loéve展開） 27

基底関数展開（２） • 係数関数𝛽 𝑡 も𝑥𝑖 𝑡 と同様，基底関数展開によって表されると仮定 𝛽 𝑡 = 𝜸𝑇𝝓 𝑡 𝜸 = 𝛾1 , … , 𝛾𝑚 𝑇, 𝝓 𝑡 = 𝜙1 𝑡 , … , 𝜙𝑚 𝑡 𝑇 • 係数関数𝛽 𝑡 を基底関数展開した係数𝜸は未知とする • 基底関数𝜙𝑘 𝑡 の種類や数は𝑥𝑖 𝑡 のものと異なっていてもよい 28

関数線形モデルの変形 • 基底関数展開の仮定より，関数線形モデルは次のように変形できる 𝑦𝑖 = 𝛽0 + න 𝑇 𝑥𝑖 𝑡 𝛽1 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜀𝑖 = 𝛽0 + 𝒘𝑖 𝑇 න 𝑇 𝝓 𝑡 𝝓 𝑡 𝑇 𝑑𝑡 ⋅ 𝜸 + 𝜀𝑖 = 𝛽0 + 𝒘𝑖 𝑇Φ𝜸 + 𝜀𝑖 = 𝛽0 + 𝒛𝑖 𝑇𝜸 + 𝜀𝑖 Φ = න 𝑇 𝝓 𝑡 𝝓 𝑡 𝑇 𝑑𝑡, 𝒛𝑖 = Φ𝒘𝑖 • これにより，一般的な回帰モデルに対する推定手法を適用できる 29

補足 • 基底関数 𝝓 𝑡 は各𝑖で異なってもよい？ – 答え：OK．ただしΦ𝑖 = ׬ 𝑇 𝝓𝑖 𝑡 𝝍 𝑡 𝑇 𝑑𝑡の計算が面倒になる – 𝝓 𝑡 = 𝝓𝑖 𝑡 = 𝝍 𝑡 かつ𝝓 𝑡 が正規直交基底ならΦは単位行列になり 計算が容易になる • 𝑥𝑖 𝑡 = 𝒘𝑖 𝑇𝝓𝑖 𝑡 , 𝛽 𝑡 = 𝜸𝑇𝝍 𝑡 とすると 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝒘𝑖 𝑇 න 𝑇 𝝓𝑖 𝑡 𝝍 𝑡 𝑇 𝑑𝑡 ⋅ 𝜸 + 𝜀𝑖 = 𝛽0 + 𝒘𝑖 𝑇Φ𝑖 𝜸 + 𝜀𝑖 = 𝛽0 + 𝒛𝑖 𝑇𝜸 + 𝜀𝑖 30

関数回帰モデルの展開 • 関数回帰モデルには説明変数・目的変数のいずれか，または両方が 関数データとして与えられたものが提案されている • 回帰係数も関数として与えられ，影響度の経時的な変化を定量化できる • 目的変数がスカラーの場合は，スカラーデータに対する回帰モデルを そのまま拡張したものが多く提案 31 目的変数 説明変数 スカラー 関数 スカラー 𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝜀 𝑌 = ׬ 𝑋 𝑡 𝛽 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜀 関数 𝑌 𝑡 = 𝑋𝛽 𝑡 + 𝜀 t 𝑌 𝑡 = 𝑋 𝑡 𝛽 𝑡 + 𝜀 𝑡 𝑌 𝑡 = ׬ 𝑋 𝑠 𝛽 𝑠, 𝑡 𝑑𝑠 + 𝜀 𝑡

目次 • 関数データ解析の概要 • 関数データ解析の事例紹介 • 関数回帰モデルの推定 • 関数データ解析手法ザッピング 32

（1/4）関数線形モデルにおけるドメイン選択 • 関数線形モデル 𝑦𝑖 = න 𝑥𝑖 𝑠 𝛽1 𝑠 𝑑𝑠 + 𝜀𝑖 において，係数関数𝛽1 𝑠 が定義域の一部区間で 0と推定されれば，その時点においては説明変数は 目的変数と関連していないと解釈できる（右図上:黒実線） このような推定はドメイン選択とよばれている （James et al., 2009, AoS; Zhou et al., 2013, Stat. Sinica; Lin et al., 2017, JCGS） • 「特定の時点以降は目的変数と関連していない」 ように回帰係数を推定したモデル（右図下:黒実線）は 切断関数線形モデルとよばれる （Hall & Hooker, 2016, JRSS-B; Guan et al., 2020, JCGS） (James et al., 2009) (Guan et al., 2020) 33

（1/4）実データの例 ディーゼル車の粒子状物質排出データ (Clark et al., 2007) • ディーゼル車に対してエンジンの加速度と 粒子状物質の排出量を経時的に（毎秒）計測 • 一定期間の加速度とその後に排出される粒子状物質 排出量との関係を知りたい （各時点での加速度がどう排出量に関連しているか） ⇒ 加速度：𝑋 𝑡 ，排出量：𝑌として 関数回帰モデルの係数関数𝛽 𝑡 を推定 • 「粒子状物質排出量は，何秒前までの加速度が関連しているか？」 ⇒ 係数関数𝛽 𝑡 の推定値が，𝑡 > ∃𝛿 に対して መ 𝛽 𝑡 = 0となるよう 制約を課す 34 （現在） （60秒前） （ 現 在 の 加 速 度 ） （←現在の排出量）

（2/4）変化係数関数回帰モデル • 関数データの説明変数 𝑥𝑖 𝑠 とスカラー目的変数 𝑦𝑖 との関係が 外生変数 𝑡𝑖 に依存して変化 • 外生変数 𝑡𝑖 による影響を加味する方法の1つとして 変化係数関数線形モデルを用いる (Cardot & Sarda, 2008, Comm. Statist. Theory Methods; Wu et al., 2010, Bernoulli) 𝑦𝑖 = න 𝑥𝑖 𝑠 𝛽 𝑠, 𝑡𝑖 𝑑𝑠 + 𝜀𝑖 • 回帰係数 𝛽 𝑠, 𝑡 を推定することで，外生変数の値に応じた 説明変数の目的変数への関連を任意の時点で定量化できる 35

（2/4）実データの例 トマトの収穫量データ • 長期栽培され日ごとに収穫される トマトの収穫量と，栽培環境での 気温との関係をモデル化したい • ある日の収穫量は，60～80日前の 環境要因に影響を受けており，加えて その影響は季節によって異なると考えられている • ある日の収穫量を目的変数， その日から遡った80日間の気温を説明変数， 季節（収穫日）を外生変数として 変化係数関数線形モデルを適用 • 任意の季節において，何日前の気温が どのように収穫量に関連しているか定量化 36 𝛽 𝑠, 𝑡 の推定値 𝑋：Environmental factors for 80 days 𝑌：Weekly total crop yield Day Matsui (2020, arXiv) （ 栽 培 期 間 ） （収穫日） （80日前）

（3/4）曲線アライメント＋クラスタリング • 位相ずれが起こっているデータに対して 曲線アライメントとクラスタリングを 同時に行う • クラスター数分の関数の「型」(template)を用意 し，型に合うようにアライメントと型の更新を 繰り返す • 各曲線がどれだけアライメントされたかを表す関数 （warping関数）の推定値が得られる • R package “fdacluster”に実装 37 (Sangalli et al., 2010, Comput. Statist. Data Anal.)

（4/4）Wasserstein regression • 観測個体1つ1つが「確率分布」を想定 （例：各国の年齢別死亡率の分布） • 説明変数と目的変数に対応するデータが共に 確率分布として与えられたとき これらの関係を回帰モデルで表現 （例：X：1983年の各国の年齢別死亡率の分布 Y：2013年の各国の年齢別死亡率の分布） • XとYの共分散にWasserstein covariance (Peterson & Muller, 2019, Biometrika)を 利用することで，関数回帰モデルの枠組みで扱える・・・らしい 38 Chen et al. (2021, JASA) 西暦ごとの年齢別死亡率の分布 (Chen & Muller, 2018, Economics) （サーベイ不足(´・ω・`)） Wasserstein regression による予測

まとめ • 関数データ解析は，1つの観測が時間等の経過とともに繰り返して 計測されたデータを関数化し，関数化データ集合を対象とした 分析手法と理論の総称 • 関数データ解析には，古典的な多変量解析手法を関数データの枠組みへ 拡張したものが多く含まれる • 最も基本的なアプローチの一つは，関数データが基底関数展開で表される と仮定し，その回帰係数をベクトルデータのように扱う • 現在もさまざまな発展的な理論・方法論が開発中 39 アカデミア・企業の方問わず， 「このデータに適用できるかも？」「こういう研究できるんじゃない？」 に繋がれば幸いです（一緒にやってくれる方も募集中！）

参考文献：書籍 • Horváth, L. and Kokoszka, P. (2012). Inference for functional data with applications. Springer, New York. • Hsing. T. and Eubank, R. (2015). Theoretical Foundations of Functional Data Analysis, with an Introduction to Linear Operators. Wiley. • Kokoszka, P. and Reimherr, M. (2017). Introduction to Functional Data Analysis. Chapman & Hall, New York. • Ramsay, J. and Silverman, B. (2005). Functional data analysis (2nd ed.). Springer, New York. • Ramsay, J., Hooker, G., and Graves, S. (2009). Functional Data Analysis with R and MATLAB. Springer, New York. 追記（スライドで紹介していなかったもの）： • Bosq, D. (2000). Linear Processes in Function Spaces. Springer, New York. （関数空間上での確率過程について解説） • Ramsay, J. and Hooker, G. (2017). Dynamic Data Analysis: Modeling Data with Differential Equations. Springer, New York. （微分方程式を用いたデータ分析） • Ramsay, J. and Silverman, B. (2002). Applied functional data analysis: methods and case studies. Springer, New York. （関数データ解析の応用例を紹介） • Shi, J. Q. and Choi, T. (2011). Gaussian Process Regression Analysis for Functional Data. Chapman & Hall. （関数データ解析にガウス過程回帰を適用） 40

参考文献：論文（1/2） 41 • Cardot, H. and Sarda, P. (2008). Varying-coefficient functional linear regression models. Communications in Statistics. Theory and Methods, 37(20), 3186–3203. • Chen, Y., Lin, Z., and Müller, H.-G. (2021). Wasserstein Regression, Journal of the American Statistical Association, In press. • Guan, T., Lin, Z., Cao, J., Guan, T., Lin, Z., and Cao, J. (2020). Estimating Truncated Functional Linear Models With a Nested Group Bridge Approach. Journal of Computational and Graphical Statistics, 29(3), 620–628. • Hall, P. and Hooker, G. (2016). Truncated linear models for functional data. Journal of the Royal Statistical Society Series B 78(3), 637–653. • Hyndman, R. J. and Ullah, M. S. (2007). Robust forecasting of mortality and fertility rates: A functional data approach. Computational Statistics and Data Analysis, 51(10), 4942–4956. • Jacques, J. and Preda, C. (2014). Functional data clustering: a survey. Advances in Data Analysis and Classification, 8, 231–255. • James, G., Hastie, T., and Sugar, C. (2000). Principal component models for sparse functional data. Biometrika, 87(3), 587–602. • James, G., Wang, J., and Zhu, J. (2009). Functional linear regression that’s interpretable. The Annals of Statistics, 37(5), 2083–2108.

参考文献：論文（2/2） • Kayano, M., Matsui, H., Yamaguchi, R., Imoto, S., and Miyano, S. (2016). Gene set differential analysis of time course expression profiles via sparse estimation in functional logistic model with application to time dependent biomarker detection. Biostatistics, 17, 235–248. • Lin, Z., Cao, J., Wang, L., and Wang, H. (2017). Locally Sparse Estimator for Functional Linear Regression Models. Journal of Computational and Graphical Statistics, 26(2):306–318. • Matsui, H., Araki, Y., and Konishi, S. (2008). Multivariate regression modeling for functional data. Journal of Data Science, 6(3), 313–331. • Petersen, A., Müller, H.-G. (2019). Wasserstein covariance for multiple random densities, Biometrika, 106, 339–351. • Ramsay, J. (1996). Principal differential analysis. Journal of the Royal Statistical Society Series B, 58, 495–508. • Ramsay, J. and Dalzell, C. (1991). Some tools for functional data analysis. Journal of the Royal Statistical Society Series B, 53, 539–572. • Sangalli, L.M., Secchi, P., Vantini, S. and Vitelli, V. (2010). K-mean alignment for curve clustering, Computational Statistics and Data Analysis, 54, 1219-1233 • Wu, Y., Fan, J., and Müller, H. (2010b). Varying-coefficient functional linear regression. Bernoulli, 16(3):730–758. • Zhou, J., Wang, N.-y., and Wang, N. (2013). Functional linear model with zero-value coefficient function at sub-regions. Statistica Sinica, 23, 25–50. 42