ゼロからつくる 2D物理シミュレーション ～物理現象をコードに落とし込む方法～ 2024/05/31 タガヤス 株式会社インフィニットループ 及川 陽平

自己紹介 ● 名前: 及川 陽平 ● バックエンドエンジニア (IL入社以前は組込み、Web、スマホゲームなど) ● 言語: PHP, Python, C/C++ 2

メイントピック ● 簡単な2Dの物理エンジンを自前で作ってみた 3

モチベーション ● 学生時代に、電磁気のシミュレーションの研究に取り組んでいた ● 社会人になってからはシミュレーションとは縁遠くなった → ゲームのサーバーサイド開発がメイン ● ゲーム開発で一般的な力学系のシミュレーションの知識はなかったの で興味を持った 4

Index ● 運動方程式について ● 方程式の近似手法について ● 剛体の運動を表す方程式とシミュレーションアルゴリズム ● 成果物 & 所感 5

Index ● 運動方程式について ● 方程式の近似手法について ● 剛体の運動を表す方程式とシミュレーションアルゴリズム ● 成果物 & 所感 6

質量mの物体に力fを加えると、その物体の加速度はaになる 物体の運動を表現する数式 7 力 加速度 質量m 運動方程式

位置・速度・加速度の関係 8 位置 速度 加速度 時間で 微分 時間で 微分 時間で 積分 時間で 積分

運動方程式の微分形 9 これらをもとに、物体の速度、位置を求める 諸条件 ● 初期位置 ● 初期速度 ● 作用する力 + 支配方程式

10 どうやって解けばよいか？　

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差分法: 微分を差分で近似 少し先の未来の値を、過去の既知の値を使って表す 12 速度 速度 時間 未知の値 既知の加速度 差分近似 時間 既知の値

更新式 更新式を繰り返し解いて未来の値を順次求めていく 13 未来の位置 過去の位置 過去の速度 未来の速度 過去の速度 過去の力 差分近似 差分近似

Index ● 運動方程式について ● 方程式の近似手法について ● 剛体の運動を表す方程式とシミュレーションアルゴリズム ● 成果物 & 所感 14

剛体 (rigid body) とは ● 力が加わっても変形しない理想的な物体 ● 現実には存在しないが、力学的に扱いが簡単 ● 今回は2次元の多角形についてシミュレーション 15

剛体の運動 ● 並進運動と回転運動を考える必要がある 16 角加速度 角速度 角度 加速度 速度 位置

回転の運動方程式 ● 並進運動と回転運動を考える必要がある 17 運動方程式 回転運動の運動方程式 質量 加速度 力 トルク 角加速度 慣性モーメント

剛体に作用する力、トルク 18 重力 壁・床と衝突した際の 力、トルク 剛体同士が衝突した際の 力、トルク 摩擦なし、あり

壁・床との衝突 ー 摩擦なし ● 力積、角力積から、作用する力、トルクを求める 19 力積 (=力と時間の積) e: 反発係数、I: 慣性モーメント m: 質量 ※ 2次元では z方向成分のみ 角力積 (=トルクと時間の積) 単位法線ベクトル 重心-衝突点ベクトル トルク 衝突前の速度

壁・床との衝突 ー 摩擦あり ● 接線方向の力と、その力に応じたトルクも発生する 20 すべる場合 :動摩擦係数 単位接線 ベクトル 転がる場合

剛体同士の衝突 ー 摩擦なし ● 剛体同士の衝突時の力、トルクも、壁の場合と同様に力積から計算 21 力積 角力積 質量 質量 : 剛体1の衝突前の速度、 :剛体1の慣性モーメント : 剛体2の衝突前の速度、 :剛体2の慣性モーメント 単位法線ベクトル

剛体同士の衝突 ー 摩擦あり ● 接線方向の力と、その力に応じたトルクも発生する 22 転がる場合 すべる場合 :動摩擦係数 単位接線 ベクトル 単位接線 ベクトル

アルゴリズム ある時刻tにおいて、以下のフローで位置、角度を計算する 1. 衝突判定 → 衝突している可能性がある剛体のペアを検出 : SAP(sweep and prune)法 → 衝突している剛体の検出: GJK(Gilbert-Johnson-Keerthi)法 → 衝突時のめりこみの距離や方向を計算しめりこみ解消 : EPA(Expanding Polytope Algorithm)法 2. 重力、衝突による力の総和、トルクの総和を求める 3. 力の総和→加速度→速度→位置、と順番に計算する 4. トルクの総和→角加速度→角速度→角度、と順番に計算する 時刻を Δtだけ進めて、1.～4.の手順を繰り返す 23

Index ● 運動方程式について ● 方程式の近似手法について ● 剛体の運動を表す方程式とシミュレーションアルゴリズム ● 成果物 & 所感 24

剛体同士の衝突 (重力下、床あり) 25 ※ TypeScript, Three.js で実装

剛体同士の衝突 (無重力下) 26

転がり & 滑り運動 (多角形をランダム生成して落とす) 27

所感 ● 物理エンジンを自前で実装するのは大変 →単純な２Dのシミュレーションでも、考慮しなければいけないことは多い → 運動方程式の立式、差分化、衝突検知、etc… ● シミュレーションのための基本原理や手法の理解が深まった →既存のエンジンを使う場合でも、ボトルネックの把握や 　パフォーマンス・チューニングで応用が効く →既存エンジンが対応していない物理現象でも拡張してシミュレーションできる 28

29 ご清聴ありがとうございました