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LNCC LNCC UFRJ Métodos de ponto-fixo Prof. Paulo R. G. Bordoni

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Newton nos ensinou que para enxergar mais longe precisamos subir nos ombros de gigantes. Vejamos o que alguns deles já nos apontaram sobre o conceito de ponto-fixo.

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Para , , ∈ : 1. , ≥ 0 – não-negatividade 2. , = 0 ↔ = 3. , = , – simetria 4. , ≤ , + , − desigualdade triangular Um espaço métrico é uma entidade matemática constituída por um conjunto M e uma função : × → ℝ, chamada métrica do espaço, (para medir distâncias) que satisfaz as propriedades:

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Todo espaço vetorial normado é um espaço métrico. Basta definir a métrica por , = − . O exemplo que mais utilizaremos é ℝ com , = − . Em seguida vem os ℝ com a distância definida através das normas que já vimos.

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Seja : → uma função definida num espaço métrico M . Um ponto ∈ é um ponto-fixo de quando, e só quando, () = .

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A função : ℝ → ℝ, é definida por = 3 possui três pontos-fixo. É verdade Mestra. Os pontos = 1, = 0 e = −1 são pontos-fixo. Todos satisfazem = .

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Ah, Loirinha, o gráfico de () só corta a reta = nesses três pontos. Meu programa mostra isso. Mas, atenção para a escala! Fazendo as contas está claro, mas são só esses três?

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O programinha do Surfista, que permite achar pontos-fixo por inspeção visual.

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Uma função : → , um espaço métrico é uma contração quando, e apenas quando, existe uma constante ∈ [0,1) tal que , ≤ , , ∀, ∈ . f () y f () − − () ≤ − com ∈ [0,1) : ℝ → ℝ

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Um dos resultados mais importantes de análise é o Teorema do ponto-fixo de Banach: Num espaço métrico completo toda contração : → admite um único ponto-fixo ∈ , (isto é = ).

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Surfista, eis um exemplo de contração. O ponto-fixo é a origem 0, 0 : ↦ 3/4 1 0 1 0 3 2 1 0 4 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 4

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Se : → é uma contração, podemos determinar seu ponto-fixo p iterativamente, construindo uma sequência 0 , 1 , … , , … tal que lim →∞ = . Sim, basta definir +1 = ( ), com 0 ∈ .

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Uma das propriedade importantes é que (, ) ≤ 1 − (1 , 0 ) Que permite estimar a velocidade de convergência.

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Para localizar as informações sobre ponto- fixo na scipy.optimize.

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As informações sobre ponto-fixo na scipy.optimize.

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O gráfico, mostrado lá atrás pelo Sherlock, foi obtido com este programa, que usa a função fixed_point( ) da scipy.

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Este programa mostra, e desenha, algumas iterações ao ponto-fixo de uma função : [, ] → ℝ

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Observem a convergência das iterações ao ponto-fixo = 0.5 de = ()/2. Claramente, 0.5 = 0.5.

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Neste caso, também temos a convergência das iterações ao ponto-fixo de = 3−.

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Observando o gráfico abaixo, podemos afirmar que − () ≤ 0.85 − , ∀ ∈ [0,1], i. é, que f é uma contração nessa grande vizinhança do ponto-fixo = 0.5478 … − () + ()

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Por quê, Mestre? Simplesmente porque o gráfico de f fica inteiramente contido no cone de convergência. Acompanhe meu raciocínio:

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Considere um ponto ∈ 0,1 , > . Observe na figura que − < < + (), i. é, − − + < < − + . Portanto − − < − < ( − ) ou, − () < ( − ), já que = (). Claro que o mesmo vale para ∈ 0,1 , < . E em p temos a igualdade, assim − () ≤ − , ∀ ∈ [0,1].

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A convergência ao ponto fixo de = 0.6[1 + 2 cos()].

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Claramente, há uma vizinhança do ponto-fixo = 0.562 … para a qual o gráfico de () fica inteiramente dentro do cone de convergência, i. é, − () ≤ − . = 0.9

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A condição de convergência do teorema de Banach é ∈ 0,1 . Mestre escolheu = 0.9 no seu exemplo para ficar visualmente evidente no gráfico. Bastava eu ter escolhido > () = 0.7177 … Por exemplo = 0.72, que já teria sido suficiente.

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Este é o programa do cone de convergência.

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Por inspeção visual, podemos afirmar que = 0, = 1, = 2 e = 3 são pontos fixos de = + 1 2 (), cujo gráfico desenhamos abaixo.

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Entretanto, mesmo escolhendo 0 = 1.95, muito mais próximo do ponto- fixo = 2, a convergência “vai para” o ponto-fixo = 1 Confira!

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Mestre, tentei com 0 = 2.05, e também não convergiu para o ponto-fixo = 2. Mas convergiu para o ponto-fixo = 3.

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O túnel é iluminado do início ao fim pelo teorema do ponto-fixo de Banach. A condição para convergência é que f seja uma contração local entorno de p, i. é: para algum ∈ [0,1), − () ≤ − , para todo nas proximidades do ponto-fixo p. Mestres, há alguma luz no fim do túnel?

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Se: 1. ∈ [, ], 2. , ⊆ [, ], 3. f é derivável em (a, b) 4. ∃ ∈ 0, 1 tal que ′() ≤ , ∀ ∈ (, ) então, definindo uma sequência 0 , 1 , … , , … por +1 = ( ), com 0 ∈ [, ] poderemos afirmar que: a. lim →∞ = e p é o único ponto fixo de f em [, ] b. − ≤ 0 − , − 0 c. − ≤ Τ [ (1 − )] 1 − 0 , ∀ > 1. Às páginas 58,59 do Análise Numérica de Burden & Faires, 8ª ed. encontramos uma demonstração do Teorema:

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Esses dois gráficos esclarecem a situação. Essa função f é uma contração local entorno de = 1, mas para num entorno de = 2 temos − () ≳ ′() − e ′ > 1. As retas tangentes em p evidenciam essas afirmações.

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Mudando de assunto, é imediato que: “p é um ponto-fixo de uma função () se, e somente se, p é raiz de () = − ()” Confira a afirmação da Mestra, Surfista. Confira também que: “r é raiz de uma função se, e somente se, r é ponto-fixo de () = − ()”.

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Com efeito, Mestra: = ⟹ = − = 0 e também = 0 ⟹ 0 = − ⟹ = Deixe a fala do Sherlock por minha conta, Surfista!

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Vejam no programa a seguir. Obteremos o ponto-fixo de uma função = () usando o método oferecido pela SciPy. Automaticamente teremos a raiz da equação − = 0. Portanto, poderemos usar o método do ponto-fixo para achar raízes de equações.

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Este programa mostra, numérica e visualmente, que: se () = − então = ⟺ = 0.

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É mesmo, não vou esquecer jamais!

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Na realidade, para resolver uma equação () = 0, usando o método do ponto-fixo, tudo que precisamos é escrever = () onde é alguma função construída manipulando algebricamente (). Complicou tudo, Filósofo.

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Ficou com medo da liberdade, Surfista? Por exemplo, para a equação 3 + 42 − 10 = 0, poderemos buscar pontos fixos de: a. = 3 + 42 + − 10 b. = Τ 1 2 10 − 3 c. = − Τ ′ - o método de Newton-Raphson

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Tchau, até a próxima aula!