カテゴリカル・データに対する構造化デー タ解析（SDA）と帰納的データ解析（IDA） 2023年「⽂化と不平等」調査の幾何学的データ分析（３） ⽇本社会学会 第96回 全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 2023/10/8 version1.2 津⽥塾⼤学 数学・計算機科学研究所 藤本⼀男 [email protected]

構成 • 多重対応分析（MCA）と幾何学的データ解析（GDA） • GDAとIDA • IDA、並べ替え検定 • 2023年「⽂化と不平等」調査データへの適⽤ • 個体空間と変数空間（暫定⽣成版） • 追加変数の射影 • 典型性検定によるp値 • 履歴 • v1.0 共⽤サーバーに登録版。 • v1.2 解説追加。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 2

多重対応分析（MCA）と 幾何学的データ解析（GDA） 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 3

多重対応分析と推定・検定 • 幾何学的データ解析（GDA）の中での帰納的データ解析 （IDA） 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 4 MCA 多重対応分析 SDA 構造化データ 解析 IDA 帰納的データ解析 データ 個体空間と 変数空間の⽣成 追加変数をもちいた 空間分析 記述統計 推測統計 典型性検定 同質性検定 ⾏：個体 列：変数

幾何学的データ解析（GDA） • もともとは、Benzécreが対応分析を「データ解析」と呼んでい た。 • 1996年に、スタンフォードのPatrikスペスが「Geometric Data Analysis」と呼ぶことを提案。Brigitte LeRoux、Henry Rouanetらが積極的に採⽤。 • GDAの名称はもちいられていないが、内容的には、ルバール、.. 仏語1977、英訳1984、⽇本語訳1994、で扱われている。 • ディスタンクシオン、第5章の注の(2)で参照されている。 • 決して「新奇なもの」ではない、ということ。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 5

多重対応分析（MCA）とGDA • 対応分析/多重対応分析のしくみ • カテゴリカルデータの数量化 • ⾏空間（個体空間）と列空間（変数空間）の⼆つが⽣成される。 • 空間⽣成に⽤いられる変数：Active変数 • ⽣成された空間に投影されて空間の構造を分析する変数：追加変数 • 追加変数を射影（その１） • 変数空間に追加変数を投影する • Active変数との関係が図⽰される。 • 追加変数を射影（その２） • パターンは、変数空間のものと相似形だが、個体空間を追加変数でグ ループ化し分析するところが異なる。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 6 変数の位置：座標 広がり：分散 個体空間での集中楕円 軸との関係：η2

GDAの発展過程 • 追加変数を変数空間に射影し、分析するアプローチ • 変数空間への射影：スポット • 追加変数を個体空間に射影する • 個体空間での群の展開を分析対象にする • 平均点座標 • 分散、集中楕円 • 相関⽐（η2）による分散の評価 • η２＝ 群間分散 全体分散（!群間分散＋"群内分散） • 軸ごとにη２をみることで、その変数の影響の⼤きさを評価できる。 • ベネット他の『⽂化・階級・卓越化』で採⽤（ LeRoux、Rouanet）。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 7

MCAの分析 • Step1 • MCAによって⽣成された変数空間の軸を解釈命名する。これは、軸へ の各カテゴリポイントの寄与率から。 • Step２ • さらに、変数空間を追加変数によって解釈していく。 • Step3 • 個体空間を追加変数で群化し、追加変数カテゴリによる分析を⾏う。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 8

GDA、全体の流れ 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 9 MCA データ アクティ ブ変数 追加変数 変数空間 個体空間 射影 構造化モデリング 個体空間を追加変数で部分空間化 することによって、 ・空間内での差異を確認できる。 ・分散を表⽰できる。→ 集中楕円 ★軸の解釈（寄与率に注⽬） ・追加変数の分散の影響をη2で 評価する。 「並べ替え」 による検定 確認された差異は有意か 全体（原点）との差異 典型性検定 ⼆つの部分集合間の差異 同質性検定 アクティブ変数は、変数空間の中で数量化されており、 また、追加変数も、変数空間/個体空間に射影されるこ とで数量化されている。

MCAにまつわる疑問 「幾何学的データ解析でも、統計的推測をおこなえるか？」と いう問いが紹介されている。 それへの回答としては、機能的に可能である、という回答に加 え、統計的推測において重要なことはなにか、どのように推測 を行うべきか、が重要であると、検定の前提にかかわる観点か らの回答が述べられている。 • MCA2010=2021:15 の「よくある質問」 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 10

IDAのアプローチ • 以上の過程で明らかになった差異についての検定を⾏う。 • ⼿法 • 組み合わせ論的フレームワークによる検定：「並べ替え検定」 • MCAの結果得られた座標値を「参照⺟集団」とする。 • 追加変数によって群化された空間の平均点を検定統計量とする • 検定は２種類 • 典型性検定（Typicality test） • 参照⺟集団全体（原点）と⽐較して、注⽬している群が「典型」か否か。平均点のズ レを検定。 • 同質性検定（Homogeneity test） • ⼆つの群に注⽬して、その平均点の差が有意か否かを検定。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 11

伝統的検定との関係 • 典型性検定 • 問題状況 • 参照⺟集団の平均点（ゼロ）と注⽬群の平均点の差の検定 • １群の平均値のt-検定 • 同質性検定 • 問題状況 • ⼆つの注⽬群の平均点の差の検定 • ２群の平均値のt-検定 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 12 伝統的検定（t-検定）でもとめられる • 正規性の仮定 • 等分散性 は必要とされない。

⼿法 • 並べ替え検定を⾏う。 • 並べ替え総数。参照⺟集団の総数Nから、注⽬群のnを置き換えなしでサンプ リングする組み合わせ数。 • ! C " これは、⼤きな数になるので、計算時間から困難。 • ⼆つの近似 • 乱数シミュレーション（モンテカルロ法）近似。 • 正規近似 • 並べ替えで⽣成される「標本分布」は、中⼼極限定理から、正規分布を強く仮定できる。 • MCA2010=2021とGDAtoolsのdimtypicality、homog.testは、この正規近似で計算。 • 正規近似 • 軸ごとの⽐較：正規近似 • 平⾯での⽐較：距離なので正規近似要素の２乗和となるので「⾃由度２」の 「χ2分布」で近似される。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 13

全体雲 1215 18−24歳 93 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 93個体の 部分雲 平均点（18−24歳）を求める 平 均 点 を 求 め る 93個体 9999個の分布 を確認する 9999個の平均値の 分布と18−24歳の 平均値をplotする。 pointの数は、10000 になる。 ※標本平均なので、 中⼼極限定理の展開その もの 準拠⺟集団 注⽬している年齢群 典型性検定での並べ替え抽出 2023/06/10 対応分析研究会第19回 14 「並べ替え」での抽出 ⾮復元抽出でサンプリング 例は、LeRoux&Rouanet 2010=2021での数値

全体雲 N⼈ X歳 n1⼈ 準拠⺟集団 注⽬している 年齢群１ 2023/06/10 対応分析研究会第19回 15 同質性検定の並べ替え抽出 n1個の 部分雲 全体雲 N-n1⼈ Y歳 n2⼈ 注⽬している 年齢群2 ⾮復元 抽出*1 n2個の 部分雲 n1個の平均値からn2個 の平均値の差を求める ⾮復元 抽出*2 ⾮復元抽出*1の数# 𝐶 $% = #! $% ! #'$% ! ⾮復元抽出*2の数#'$% 𝐶 $( = (#'$%)! $( ! #'$%'$( ! 総数は、これの積になる #! $% ! #'$% ! (#'$%)! $( ! #'$%'$( ! = #! $% ! $( !(#' $%+$( ! p119

2023年「⽂化と不平等」調査 データへの適⽤ 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 16

基本的なMCAのresult • Active変数になにを選択するか、によって、⽣成される空間は 異なったものになる。 • GDAにおける構造設計 • Active変数の選択 • 追加変数の選択 • ⽤いるのは、確定版ではなく分析途中の暫定版。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 17

構造設計：Active変数と追加変数 • Active変数 • "学歴" "⽗学歴" "⺟学歴" "世帯年収" "⾦融資産" • "相続_⾦融資産" "相続_住宅" "相続_⼟地" "相続_⽥畑" • "相続_美術品" "相続_その他" "相続_なし" • 追加変数 • "性別" "働き⽅" "仕事内容" "役職" • 合成変数として、”性別・働き⽅” “性別・仕事内容” 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 18

固有値（軸の慣性） 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 19

変数空間 1−2軸 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 20

個体空間 1−2軸 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 21

変数空間への寄与率からdim1、dim2を評 価すると • dim1 • 右側 • 資産あり • 左側 • 資産なし 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 22

変数空間への寄与率からdim1,dim2を評価 する • dim2 • 上側 • 学歴なし • 下側 • 学歴あり • 原点 • 全体の平均位 置 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 23

追加変数 • 性別 • 働き⽅ • 仕事の内容 • 性別・働き⽅ • 性別・仕事の内容 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 24 Active変数 MCAによって、変数空間と個体空間を⽣成する 追加変数（転じて「構造化因⼦」） MCAによって⽣成された⼆つの空間に、射影され、 その空間の構造を分析するのに⽤いられる。 「幾何学的データ解析では、「個体x変数」のデータ表に おいて、なんらかの「構造」を⽰す変数は、幾何学的な 空間を求める際には、意図的に使わない。たとえば、⽣ 活様式における性別の役割を調べるのに、 性別を使わないほうがよいことは明らかであろう。 個体間の距離の定義には⽤いない⽅の変数の組みを、 構造化因⼦*と呼ぶ。 そして、変数のうちいくつかが構造化因⼦*であるデータ 表を構造化データと呼ぶ。」 LeRoux&Rounat2010=2021:95 *Structuring factor：構造化しているのは、Active変数なので これは「構造因⼦」の⽅がいいのではないかと思ってます。

データ：個体空間座標と追加変数 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 25 : 個体 番号 個体空間での個体の座標 個体番号と結びつけ られた追加変数 ： 以下略

仕事内容と 性別のdim1 分布 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 26

第１軸での典型性検定によるp値 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 27 全体の平均（原点）から の差異は「有意」である

性別_仕事内容 のdim1分布 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 28

働き⽅：性別_仕事内容 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 29

働き⽅：性別_雇⽤形態 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 30

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検定⼿法の分類 • 厳密計算 • 可能となる組み合わせ数すべてをリサンプリングして、帰無分布を⽣成しそ の分布に対して検定統計量をあてがい、p値を計算する。 そこでは、確率分布は使わずに、個数と割合で計算。 • 近似計算１ • 原理的には、厳密計算と同じことをするが、すべての組み合わせ数を実施す るのではなくランダムに9999個のサンプルを⽣成して、近似帰無分布を⽣成 し、検定統計量の位置からｐ値を計算する • 近似計算２ • 並べ替え分布は、１軸単位であれば、正規近似が、平⾯で距離を⽐較するの であれば、カイ⼆乗近似が（強く）成り⽴つので、それを前提にリサンプリ ングはせずに、p値を算出する。LeRoux&Rouanet2010=2021では、これを ⽤いて、計算している。また、GDAtoolsのdimtypicality（典型性検定）、 homog.test（同質性検定）は、この近似計算2で計算している。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 33

組み合わせ論枠組みでの検定 • 問題状況と⼿法 • 典型性検定 • 注⽬している部分集合（例：男性部分集合）が全体からみて、有意にずれて いるかいなかを検定。 • 軸ごとの検定 • 平⾯での検定 • 伝統的⼿法での「１群の平均値のt-検定」 • 同質性検定 • ⼆つの部分集合に注⽬し（例：男性アルバイトと⼥性アルバイト）の平均点 の差異が有意かどうかを検定。 • 軸ごとの検定 • 平⾯での検定 • 伝統的⼿法での「２群の平均値の差のt-検定」 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 34

分析の実際過程 • Nicoras Robette⽒によるGDAtoolsは、その名の通り、多重対 応分析でもGDA分析に特化したツールとして提供されているの で、典型性検定、同質性検定ふくめて、LeRoux&Rouanet2010 にそったtoolが提供されている。 • しかし、実際の分析過程では、より詳細な部分集合への分割と そこでの分散の分解に注⽬する必要があるので、そこでは、 CSA(ClassSpecificAnalysis：特定個体を選択するサブセット MCA)も駆使して分析、検定を⾏なっていくことなる。 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 35

参考⽂献 • Greenacre, Michael J. 2017. Correspondence analysis in practice. Third edition. CRC Press.（訳：藤本⼀男,2020,『対応分析の理論と実践』オーム社） • Le Roux, Brigitte, Henry Rouanet. 2010. Multiple correspondence analysis. Quantitative applications in the social sciences 163. Sage Publications.（訳： ⼤隅昇・⼩野裕亮・鳰真紀⼦,2021,『多重対応分析』オーム社） • Le Roux, Brigitte, Solène Bienaise,Jean-Luc Durand. 2019. Combinatorial inference in geometric data analysis. CRC Press. • Robette N. (2023), GDAtools : Geometric Data Analysis in R, version 2.0, https://nicolas- robette.github.io/GDAtools/ • R Core Team (2023). _R: A Language and Environment for Statistical Computing_. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. https://www.R-project.org/. • RStudio Team (2020). RStudio: Integrated Development for R. RStudio, PBC, Boston, MA URL http://www.rstudio.com/. 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 36

謝辞 • この発表は「対応分析研究会」（磯直樹先⽣主宰）での発表とそれへ の質疑応答の成果でもあります。ご意⾒をいただいた皆様に感謝いた します。 • また、本発表は、以下の研究⽀援を受けています。記して感謝いたし ます。 • 科研費 • 「データの幾何学的配置に着⽬したカテゴリカルデータ分析⼿法の研究」 • 研究代表者：藤本⼀男 • 基盤研究(C) 20K02162 • 「現代⽇本の⽂化と不平等に関する社会学的研究：社会調査を通じた理論構築」 • 研究代表者：磯 直樹 • 基盤研究(B) 22H00913 2023/10/08 ⽇本社会学会 第96回全国⼤会 ⽂化・社会意識(1) 37