コラッツの問題と整数螺旋 第31回日曜数学会 2024-10-27 岩淵夕希物智 (@butchi_y)

『bion』『waon』(2008) 大学時代の数学の研究を CG作品に昇華 SNSアイコンにも使ってい たぐらいで「代表作」感が ある作品のひとつ

両対数極座標…？ 16年前から 「両対数極座標」を称していたものの 具体的な定義はできていなかった

両対数極座標の(改めての)定義 連続だったら r = θ のグラフは アルキメデスの螺旋 （どっちも一緒やんけ → ？） (線形)極座標: 両対数極座標: x = r cos(θ) x = log b r cos(2π log b θ) y = r sin(θ) y = log b r cos(2π log b θ)

両対数極座標離散プロット 離散でプロット (r,θ) → (1,1), (2,2), (3,3), … ⇒ 違いが出てくる (線形)極座標: 両対数極座標: x = r cos(θ) x = log b r cos(2π log b θ) y = r sin(θ) y = log b r cos(2π log b θ)

整数螺旋 離散プロットされた インデックスを整数として配置 して放射と螺旋が可視化される (線形)極座標: 両対数極座標:

対数の底を変えてみる 黄金比を底にしたら フィボナッチ数が放射部分に現れたりする → 底ごとにいろいろな見方ができる 第22回日本フィボナッチ研究集会 「フィボナッチの放射と螺旋」 で発表 http://jfa.mathsalon.com/22ndJFAWorkshop.pdf

コラッツの問題 f(n): nが奇数だったら3n+1, 偶数だったらn/2 任意のnが有限回の遷移 (関数fの適用) で1に到達する ⇒ 「コラッツ予想 」 1億2000万円がもらえる未解決の懸賞金問題

コラッツの遷移が奇数のとき n (奇数) → 3n + 1 (必ず偶数) → (3n + 1) / 2 (奇数か偶数) 次の奇数に行くまで 約3/2mの増減 ⇒ 増えるのは約3/2の遷移 (奇数→偶数→奇数) のみ 例: 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

約3/2倍に増える経路 対数の底を3/2にすると 約3/2倍の値の偏角が ほぼ等しくなる ⇒ 可視化できた！！！ 数値のプロット (整数螺旋) 離散プロット

眺めてみる メルセンヌ数 交互

わかったこと 新しい法則を見つけるまでは至らなかったけれど、 法則性の道しるべになりそうな整然さが垣間見えた （カオスな挙動をシンプルに図示できる可能性） ブログ記事もご覧ください → https://blog.yu.butchi.jp/post/collatz-peak-first/

まとめ ● 両対数極座標離散プロットを定義できた ● 「整数螺旋」という自然数の可視化方法を提案 ● コラッツの問題での増加列のつながりを整数螺旋上に示せた

宣伝1 登壇します Mathematica研究会10周年記念発表会 → 両対数極座標離散プロットによる自然数の可視化（岩淵勇樹） 日時：2024年11月9日 13時〜19時 場所：日比谷図書文化館スタジオプラス （小ホール） 定員：60名 参加費：無料。どなたでも参加できます。 https://mathrg.jp/

宣伝2 デジタルアルバムリリースしました M3 2024秋 [橙-003] 『odd gallop』 2024-10-27 on sale!!! コラッツの奇数遷移を 解析して フラクタル化 https://butchi.bandcamp.com/

ご静聴ありがとう ございました