CodeForces #162 Div1-E RodeSideTrees writer: snuke 

໰୊֓ཁ 東西の道にそって木を植えたり切ったりするクエリ を処理し、各クエリ後に西→東方向のLISを求める 木は各クエリ前に1m ずつ伸びる 植える木の高さは10m 以下 切り倒す木は西から10本目以内 木の本数 N ≦ 10^5, クエリ数 M ≦ 2*10^5 

۪௚ͳղ๏ 毎回 LIS を求める。 O(M N log N)となり、さすがに間に合わない。 

૝ఆղ まず、木の成長を無視するために、 t 個目のクエリの時に植えられる木の高さを h から h-t に変換しておきます。 んで、木の(場所,高さ)を x-y平面上にぷろっとしてみる。 

૝ఆղ ߴ͞ ৔ॴ こんな感じ？ すると・・・ 

૝ఆղ 常に右上方向に辿る最長経路がLISになってる！ この場合、LISは赤いやつになります。 LISの普通の条件「hi < hi+1 」と暗黙の条件「xi < xi+1 」からくる特性 ߴ͞ ৔ॴ 

૝ఆղ さて、この問題におけるクエリは 下から10番目以内に木を追加 左から10番目以内の木を削除 と言い換えられます。 ߴ͞ ৔ॴ 

૝ఆղ とりあえず、各木に Longest Decreasing Subsequence の長さを記録することにしてみます。 図の木のところに LDS の長さを書き込んでみる。 木iの右上の領域中の最大値 + 1 が 木iのところに書き込まれるシステムらしい。 ߴ͞ ৔ॴ 1 1 1 2 2 3 4 

૝ఆղ 各クエリを爆速で処理する方法を考えてみよう。 ある木の LDS には右上の領域にある木のみが影響を及ぼし、 左 or 下 にある木は影響を及ぼさないことを利用しよう。 ߴ͞ ৔ॴ 1 1 1 2 2 3 4 

૝ఆղ 植えるクエリ (下から10番目以内に木を追加) 植える木よりも低い木をいったん抜いて、 順番に植え直す。 ߴ͞ ৔ॴ 1 1 1 2 2 3 4 

૝ఆղ 切るクエリ (左から10番目以内の木を削除) 切る木よりも左の木をいったん抜いて、 切る木以外を順番に植え直す。 ߴ͞ ৔ॴ 1 1 1 2 2 3 4 

૝ఆղ さて、ここで必要になるデータ構造はなんでしょう？ ２次元segtree？ → 更新にO(log^2 N)かかり、しかも定数項重そうな 　 ので多分TLEします。 ߴ͞ ৔ॴ 1 1 1 2 2 3 4 

૝ఆղ 植えるクエリの時には x 方向の１次元segtree 切るクエリの時には y 方向の１次元segtree だけしか必要ない！ O(log N)しかも定数項軽め！ ※ただし、ノードの更新は両方のsegtreeに適応しないといけません。 ߴ͞(y) ৔ॴ (x) 1 1 1 2 2 3 4 

O(N * 10 * log N) くらい ܭࢉྔ 

作問するにあたってLISとちょっと 仲良くなれた気がする。 ご清聴(?)ありがとうございました！ CF#162へのご参加ありがとうございました！ ·ͱΊ ←twitter(@the_nikaidoes)ͷΞΠίϯ