コンピュータによる数の表現

Slide 1

Slide 1 text

by Naoki Kato ©Naoki Kato ©Naoki Kato 数の表現 Computer Science, Engineering and Literacy

Slide 2

Slide 2 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 情報とは意味を持つものを広くさす概念情報

Slide 3

Slide 3 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 無形である情報を記録するには，伝えるには，… 表現しなければならない表現の方法（表現メディア）身体表現：発声，身振り，言葉，… 記号表現：文字，数字，記号，数式，表，… パタン表現：絵，図，映像，音楽，… 情報

Slide 4

Slide 4 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 情報の記録と伝達身体表現は直接伝えることも可記号・パタン表現はたとえば紙上に様々な伝達メディアやマスメディアも利用可能情報

Slide 5

Slide 5 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータで扱えるのは二つの状態一般的なコンピュータは電気的なスイッチの集合入力は，電気が流れているか，流れていないか出力も，電気が流れているか，流れていないか＝電圧がかかっているか（H），かかっていないか（L) コンピュータにおける情報の表現電流を流す電流を流さない

Slide 6

Slide 6 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータで扱えるのは二つの状態どんなスイッチ回路も扱える状態は二つの状態コンピュータにおける情報の表現 X Y S C （⼆進数１桁） HかLか（⼆進数１桁） HかLか加算結果（1桁⽬） HかLか加算結果（繰り上がり） HかLか

Slide 7

Slide 7 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータで扱えるのは二つの状態この二つの状態を 0 と 1 で表現ビット(bit：binary digit) コンピュータにおける情報の表現

Slide 8

Slide 8 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato より多彩な状態は 0 と 1 の組合せで表現二つのビットを組み合わせると 4 種類の状態 00, 01, 10, 11 三つのビットを組み合わせると 8 種類の状態 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 N 個のビットを組み合わせると 2N 種類の状態が表現可能コンピュータにおける情報の表現ビット列

Slide 9

Slide 9 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 1000本の睡眠薬入りワイン問題 1000本の中に１本だけ睡眠薬が入っています睡眠薬入りワインを飲むと 10～20分後に寝てしまい，20分は目が覚めません 30分以内にどのワインに睡眠薬が入っているかを調べるには最小何人必要か？最小を考えないなら，一番簡単な答えは1000人誰か1人が寝るので，その人が飲んだワインが答えおまけ

Slide 10

Slide 10 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 色々な回答？ 999人誰も寝なかったら，飲まれてないワイン 500人１回目500本を試す，20分後に残り500本を・・・・🙅🙅 500人 1人目に1番と2番と3番 2人目に3番と4番と5番 500人目に999番と1000番と1番果たして最小人数は？？？おまけ

Slide 11

Slide 11 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 5～8本ならおまけ００１０１００１１１００１０１１１０１１１ 3人いると（3bitあると）最大8種類 (23）を区別可能０００

Slide 12

Slide 12 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータのマルチメディア化情報をビット列で表現するとコンピュータに入力（記憶）することができるなんらかの処理をすることができるコンピュータにおける情報の表現⽂字や絵図映像⾳楽

Slide 13

Slide 13 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 情報の表記ビット列 01010001 だと長たらしいビット列 01010001 を二進記数法による数とみなし十六進記数法 51h を用いて表現することが多いコンピュータにおける情報の表現

Slide 14

Slide 14 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 2進記数法と10進記数法と16進記数法数（参考）基数変換 00000000 0 0h 00000001 1 1h 00000010 2 2h 00000011 3 3h ：：： 00001010 10 0ah ：：： 00001111 15 0fh 00010000 16 10h ：：：

Slide 15

Slide 15 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータから情報を出し入れするコンピュータに情報を入れるには，情報をビット列（二進記数法の数）に変換する符号化コンピュータから情報を出すには，ビット列（二進記数法の数）を情報に戻す複合化コンピュータにおける情報の表現

Slide 16

Slide 16 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 符号化と複合化コンピュータにおける情報の表現東西南北 00 01 10 11 東西南北符号化複合化

Slide 17

Slide 17 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 数をビット列で表現する基本は，単純に，数を二進記数法で表す数の表現 0010101010001010（2） 2A8A（16）

Slide 18

Slide 18 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 自然数と0の符号化そのまま二進表記法を利用０００００００００１０００００１０１０１０００００００１１１００００１０１１２００００００１０１２００００１１００３００００００１１１３００００１１０１４０００００１００１４００００１１１０５０００００１０１１５００００１１１１６０００００１１０１６０００１００００７０００００１１１１７０００１０００１８００００１０００１８０００１００１０９００００１００１：（8ビット長の場合）数の表現

Slide 19

Slide 19 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法から二進記数法への変換２で割り算をしていく２）１９２）９１２）４１２）２０２）１００１１９（１０）＝１００１１（２）（参考）基数変換商余り余りを逆順に読む

Slide 20

Slide 20 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 整数の符号化負の整数をどうするかがポイント符号-仮数部最上位ビットを符号とする＋７０１１１－７１１１１＋６０１１０－６１１１０＋５０１０１－５１１０１＋４０１００－４１１００＋３００１１－３１０１１＋２００１０－２１０１０＋１０００１－１１００１＋０００００（－０１０００）（※４ビットの場合）整数の表現

Slide 21

Slide 21 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato １の補数負の整数は，全ビットを反転させる（11・・11から引く）＋７０１１１－７１０００＋６０１１０－６１００１＋５０１０１－５１０１０＋４０１００－４１０１１＋３００１１－３１１００＋２００１０－２１１０１＋１０００１－１１１１０＋０００００（－０１１１１）（４ビットの場合）整数の表現

Slide 22

Slide 22 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato １の補数の場合の加算二進記数法として加算後，桁があふれたときはそれを加算＋３（００１１）＋）＋１（０００１）（０１００）＋４＋１（０００１）－１（１１１０）＋）－２（１１０１）＋）－２（１１０１）１１１０－１１１０１１１１１００－３整数の表現

Slide 23

Slide 23 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 2の補数負の整数は，1 桁多い 2 のべき乗の値から引く（最上位が1であとは0）－８１０００（８と同じ）＋７０１１１－７１００１（９と同じ）＋６０１１０－６１０１０（１０と同じ）＋５０１０１－５１０１１（１１と同じ）＋４０１００－４１１００（１２と同じ）＋３００１１－３１１０１（１３と同じ）＋２００１０－２１１１０（１４と同じ）＋１０００１－１１１１１（１５と同じ）＋０００００整数の表現

Slide 24

Slide 24 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 2の補数の場合の加算二進記数法の数の加算をすればよい（桁あふれは無視）＋３（００１１）＋１（０００１）＋）＋１（０００１）＋）－１（１１１１）（０１００）＋４１０００００＋１（０００１）－１（１１１１）＋）－２（１１１０）＋）－２（１１１０）１１１１－１１１１０１－３整数の表現

Slide 25

Slide 25 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法と二進記数法の意味十進記数法１０９二進記数法１０１＝ 5(10) 実数の表現 102=百が⼀個 101=⼗は無し 100=⼀が九個 22=四が⼀個 21=⼆は無し 20=⼀が⼀個

Slide 26

Slide 26 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法と二進記数法の意味十進記数法０．１０９二進記数法０．１０１＝ 0.5(10) ＋0.125(10) ＝0.625(10) 実数の表現 10-1=⼗分の⼀が⼀個 10-2=百分の⼀は無し 10-3=千分の⼀が九個 2-1=⼆分の⼀が⼀個 2-2=四分の⼀は無し 2-3=⼋分の⼀が⼀個

Slide 27

Slide 27 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 固定小数点 b1 b0 ．b-1 b-2 ＝ b1 ×21+b0 ×20+b-1 ×2-1+b-2 ×2-2 (4 ビット，小数点部 2 ビットの場合）００００＝００００１＝０．２５１１１１＝ー０．２５００１０＝０．５１１１０＝ー０．５００１１＝０．７５１１０１＝ー０．７５０１００＝１１１００＝ー１０１０１＝１．２５１０１１＝ー１．２５０１１０＝１．５１０１０＝ー１．５０１１１＝１．７５１００１＝ー１．７５実数の表現

Slide 28

Slide 28 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法の小数を二進記数法に変換する方法小数部分に２を掛けていく０．６２５２１．２５０２０．５０２１．００．６２５（１０）＝０．１０１（２）（参考）基数変換

Slide 29

Slide 29 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 固定小数点で表現できる実数小数点部 2 ビットの場合，表現できるのは 2-2（1/4=0.25）単位小数点部３ビットの場合は，2-3（1/8=0.125）単位小数点部４ビットの場合は，2-4（1/16=0.0625）： 1/3 は 1/2n での和ではあらわせない 1/3 を 2 進数で表記すると循環小数０．０１０１０１０１・・・実数の表現

Slide 30

Slide 30 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 丸め誤差１／３＝０．０１０１０１０１・・・＝０．０１０１ 1/3 + 1/3 + 1/3 ＝？０．０１０１０．０１０１＋）０．０１０１０．１１１１＝０．９３７５実数の表現 & 丸め誤差

Slide 31

Slide 31 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータによる計算時の問題 ∞ Σ２-n を計算したい n=1 無限回数繰り返すことはできないので N 回で打ち切り ∞ Σ２-n 分の誤差が発生 n=N+1 （参考）実数の表現打ち切り誤差

Slide 32

Slide 32 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 固定小数点で表現できる実数 4ビットの場合，すべてを整数部に使ったとしても 23-1 (7) ～ 1 , 0 , -1 ～ (-8) -23 8ビットの場合，127～-128 32ビットでも，231-1～1,0,-1～-231の範囲小数部を使うと，さらに範囲は狭まるより表現範囲を広げたい浮動小数点実数の表現

Slide 33

Slide 33 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点符号部，指数部，仮数部で表現実数の絶対値＝仮数部×基数指数部００１０１１０＝＋１．１１０×２０１０＝＋１．１１０×２－１＝＋０．１１１＝＋０．８７５（符号部１ビット＋指数部３ビット＋仮数部３ビット）実数の表現 111 → 4 110 → 3 101 → 2 100 → 1 011 → 0 010 → -1 001 → -2 000 → -3

Slide 34

Slide 34 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点 10進記数法で考えてみます．．． 7桁使えるとき固定小数点だと +999999～-9999999 +99999.9～ -999999.9 ：浮動小数点（仮数部3桁）だと +999×10+99～ +001×10-99 0 -001×10-99 ～ -999×10+99 実数の表現

Slide 35

Slide 35 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点の特徴たとえば整数は仮数部が3桁（0～999）の場合 0 1 2・・9 10・・999 1000 1010 ・・9990 10000 10100 X × 100 X × 101 X × 102 実数の表現 1000以降は10おきになる 10000以降は100おきになる

Slide 36

Slide 36 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点による計算時の問題近い値同士の減算をすると．．． 1.11111×210 有効桁数6桁ー）1.11101×210 有効桁数6桁 0.00010×210 ＝1.0×26 有効桁数2桁実数の表現桁落ち

Slide 37

Slide 37 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点による計算時の問題二次方程式の解の公式で 4ac が限りなく0に近いと小さい解を求めるとき（限りなくbに近い数値 ‒ b）の計算が発生桁落ちが発生し，解が不正確に！ ※小さい解βは， 1/大きい解αを求めてからで求める実数の表現 x = −b± b2 − 4ac 2a 1 α c a

Slide 38

Slide 38 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点による計算時の問題絶対値が大きく異なる値の加減算を行うと 64(10) ＋0.125(10) を有効桁数6桁の2進数で計算すると 1.00000×26 ＋）1.00000×20 1.00000×26 ＋）0.000001×26 1.00000×26 実数の表現情報落ち

Slide 39

Slide 39 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 実数の誤差を体験してみよう！実数の表現 0.1 0.1 =IF(A1=B1,"○","×")

Slide 40

Slide 40 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 実数の誤差を体験してみよう！実数の表現 0.1 0.1 =5.7-5.6 =400.2-400 =1355-1352 0.1 0.2 0.3 3 =135.5-135.2

Slide 41

Slide 41 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 誤差があるとまずい場面がいろいろある金融計算などで誤差が出たら大変！！電卓ではせめて，1÷3×3 は 1 になってほしい十進数の世界をシミュレートする二進数の問題は少数は 1/2，1/4, 1/8,...,1/2n の和で表現 0.1, 0.01, 0.001 など現社会で用いられる基底数が無限小数＝有限桁では正確に表現できない！誤差の少ない数の表現

Slide 42

Slide 42 text

by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 10進加算エミュレート誤差の少ない数の表現