臨床⼯学技⼠国家試験・ME2種 RLC回路まとめ 藤⽥ ⼀寿

RLC回路のポイント • RLC直列回路が共振のとき • ⼊⼒電圧をある周波数にするとインピーダンスが最⼩となる． • このときの周波数を共振周波数という． 𝜔! = " #$ • このときインピーダンスは𝑅のみとなる． • 電圧と電流の位相差は0である． • RLC並列回路が共振のとき • ⼊⼒電圧をある周波数にするとインピーダンスが最⼤となる． • このときの周波数を共振周波数という．𝜔! = " #$ • このときインピーダンスは𝑅のみとなる． • 電圧と電流の位相差は0である．

RLC直列回路

RLC直列回路 • 抵抗，インダクタ，コンデンサを直列につないだものをRLC直列回路という． • ab間のインピーダンスは • ̇ 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 + ! "#$ = 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − ! #$ ) • インピーダンスの⼤きさは • ̇ 𝑍 = 𝑅% + 𝜔𝐿 − ! #$ % • インピーダンスの⼤きさが最⼩となるのは • 𝜔𝐿 = ! #$ のとき • このときの⾓周波数は 𝜔& = ! '$ • インピーダンスが最⼩となるときを共振という． • また，このとき，インピーダンスの虚数成分はゼロとなり電圧と電流は同位相となる． ̇ 𝑉! ̇ 𝑉" ̇ 𝑉# ̇ 𝑉

Q値 • 図の回路のab間を流れる電流は • ̇ 𝐼 = ̇ & ̇ ' = ̇ & ()*(,#- ( )* ) • 電流の⼤きさは • ̇ |𝐼| = ̇ & (+) ,#- ( )* + • 電流の⼤きさと⾓周波数の関係は図のようになる． • 図を⾒ても分かる通り，RLC直列回路では共振周波数のとき最も電流が流 れる． • この性質を⽤い，任意の周波数成分のみ電流が流れるようなフィルタを RLC回路で作成できる． 電流 ⾓周波数 ̇ 𝑉! ̇ 𝑉" ̇ 𝑉# ̇ 𝑉

Q値 • 理想的には，任意の周波数（共振周波数）の電流のみ流したい． • しかし，現実には共振周波数の周りの電流も流れる． • 良いフィルタ回路は，共振周波数の周りの電流がなるべく流れ ない． • そこで，フィルタ回路の性能を表す指標としてQ値を導⼊する． • Q値は次のように定義される． • 𝑄 = !$ !%"!& • ⾒ての通りQ値は電流のグラフの尖りの幅が狭ければ狭いほど⼤ きな数値となる．つまりQ値が⼩さければ⼩さいほど共振周波数 の周りの電流を流してしまい，性能が低いことを意味する． ⾓周波数 ̇ 𝑉! ̇ 𝑉" ̇ 𝑉# ̇ 𝑉

問題解説 • 正弦波交流電源に抵抗器，インダクタ，キャパシタ各1個を直列に接続 した．各素⼦の両端電位差（実効値）を測定したところ，抵抗器は10V， インダクタとキャパシタは5Vであった．電源電圧の実効値は何Vか．( 第39回ME2種) 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 5. 25

問題解説 • 正弦波交流電源に抵抗器，インダクタ，キャパシタ各1個を直列に接続 した．各素⼦の両端電位差（実効値）を測定したところ，抵抗器は10V， インダクタとキャパシタは5Vであった．電源電圧の実効値は何Vか．( 第39回ME2種) 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 5. 25 抵抗の電圧をVR，コンデンサの電圧をVC，インダクタの電圧をVL とする． ̇ 𝑉! = 𝑅 ̇ 𝐼， ̇ 𝑉# = 1 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝐼， ̇ 𝑉" = 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼 Rを基準としたそれぞれの位相差は 𝜃"! = ∠ ̇ 𝑉" 𝑉! = ∠ 𝑗𝜔𝐿 𝑅 = 90，𝜃#! = ∠ ̇ 𝑉" 𝑉! = ∠ −𝑗 1 𝜔𝐶𝑅 = −90 よって，フェーザ図は右図のようになる． 電源電圧はすべてのベクトルを⾜したものになるので， 10V ̇ 𝑉! ̇ 𝑉" ̇ 𝑉#

問題 • 図の交流回路で𝑅, 𝐿, 𝐶の両端電圧（実効値）がそれぞれ3V, 6V, 2Vで あった．電源電圧𝐸（実効値）は何Vか．(第37回ME2種) 1. 2 2. 5 3. 7 4. 9 5. 11

問題 • 図の交流回路で𝑅, 𝐿, 𝐶の両端電圧（実効値）がそれぞれ3V, 6V, 2Vで あった．電源電圧𝐸（実効値）は何Vか．(第37回ME2種) 1. 2 2. 5 3. 7 4. 9 5. 11 各素⼦に流れる電流は同じなので，各素⼦の電 圧は次のように書ける． ̇ 𝑉! = 𝑅 ̇ 𝐼 ̇ 𝑉" = 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼 ̇ 𝑉! = 1 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝐼 つまり，抵抗に掛かる電圧に対し，インダクタ は𝜋/2，コンデンサは−𝜋/2位相がずれている ． それぞれの電圧をフェーザ図でかくと図のよう になる． よって電源電圧は 𝐸 = ̇ 𝑉! + ̇ 𝑉" − ̇ 𝑉# = 3' + 6 − 2 ' = 9 + 16 = 25 = 5𝑉 ̇ 𝑉# ̇ 𝑉! ̇ 𝑉" ̇ 𝑉" + ̇ 𝑉# ̇ 𝐸

問題解説 • 図のRLC直列共振回路のQ値(Quality factor)に最も近いのはどれか．( 第40回ME2種) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5

問題解説 • 図のRLC直列共振回路のQ値(Quality factor)に最も近いのはどれか．( 第40回ME2種) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 RLC直列回路のインピーダンスは ̇ 𝑍 = 𝑅 + 1 𝑗𝜔𝐶 + 𝑗𝜔𝐿 = 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 ) ̇ 𝑍 = 𝑅' + 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 ' 共振周波数はインピーダンスが最⼩のときな ので，このときの⾓周波数は 𝜔( 𝐿 − 1 𝜔( 𝐶 = 0 𝜔( = 1 𝐿𝐶 Q値は次のように定義される． 𝑄 = 𝜔( 𝜔' − 𝜔) 𝜔) と𝜔' はアドミタンス（イン ピーダンスの逆数）が共振周波 数のときのアドミタンスの ) ' の ときの⾓周波数なので， ̇ 𝑍 ̇ 𝑍( = 𝑅' + 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 ' 𝑅 = 2 𝑅' + 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 ' = 2𝑅' 𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶 ' = 𝑅' 𝐿𝜔' ± 𝑅𝜔 − 1 𝐶 = 0

問題解説 • 図のRLC直列共振回路のQ値(Quality factor)に最も近いのはどれか．( 第40回ME2種) 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 𝐿𝜔' ± 𝑅𝜔 − 1 𝐶 = 0 𝜔 = !± !!+,"# '" or 𝜔 = +!± !!+,"# '" 𝜔' − 𝜔) = 𝑅 𝐿 𝑄 = 𝜔( 𝜔' − 𝜔) = 1 𝐿𝐶 𝑅 𝐿 = 𝐿 𝑅'𝐶 よって 𝑄 = 4×10+- 100'×0.1×10+. = 4 = 2

RLC並列回路

RLC並列回路 • 抵抗，インダクタ，コンデンサを並列につないだものをRLC直列回路という． • この回路の合成アドミタンス（インピーダンスの逆数）は • # ̇ % = # & + # '!( + 𝑗𝜔𝐶 = # & + 𝑗(𝜔C − # !( ) • アドミッタンスの⼤きさは • # ̇ % = # &% + 𝜔𝐶 − # !( ) • アドミタンスの⼤きさが最⼩となるのは • 𝜔𝐿 = # !* のとき • このときの⾓周波数は 𝜔+ = # (* • このとき，並列回路は共振しているという．

問題解説 • 図の回路が共振状態にある時，抵抗器に流れる電流は何Aか．ただし， 𝑅 = 200Ω，𝐿 = 1.6mH，𝐶 = 100μF，𝐸 = 100V（実効値）とする．( 第38回ME2種) • 0.5 • 1.0 • 1.5 • 2.0 • 5.0

問題解説 • 図の回路が共振状態にある時，抵抗器に流れる電流は何Aか．ただし， 𝑅 = 200Ω，𝐿 = 1.6mH，𝐶 = 100μF，𝐸 = 100V（実効値）とする．( 第38回ME2種) 1. 0.5 2. 1.0 3. 1.5 4. 2.0 5. 5.0 この回路のアドミタンスは 1 ̇ 𝑍 = 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐶 + 1 𝑗𝜔𝐿 = 1 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 ) 1 ̇ 𝑍 = 1 𝑅% + 𝜔𝐶 − 1 𝜔𝐿 % これが最⼩の時，共振している． 最⼩値は ! ̇ - = ! . となる．すなわち，回路が共 振状態のときRのみの回路と⾒なせる． よって，抵抗器に流れる電流は 100/200=0.5A

問題 • 図の回路に置いて，電源を流れる電流Iが10A，LとCを流れる電流がそれ ぞれ2A，8Aであった．抵抗Rに流れる電流は何Aか．(第42回ME2種) 1. 0 2. 6 3. 8 4. 10 5. 20

問題 • 図の回路に置いて，電源を流れる電流Iが10A，LとCを流れる電流がそれ ぞれ2A，8Aであった．抵抗Rに流れる電流は何Aか．(第42回ME2種) 1. 0 2. 6 3. 8 4. 10 5. 20 各素⼦に流れる電流は ̇ 𝐼! = ̇ 𝑉 𝑅 ̇ 𝐼" = ̇ 𝑉 𝑗𝜔𝐿 ̇ 𝐼# = 𝑗𝜔𝐶 ̇ 𝑉 であるから，抵抗を流れる電流 ̇ 𝐼! に対し，コイルを流れる電流 ̇ 𝐼" は−𝜋/2，コンデンサを流れる電流は ̇ 𝐼# は 𝜋/2位相がずれてい る．これをフェーザ図で書くと図のようになる． 回路を流れる電流 ̇ 𝐼は各素⼦に流れる電流の合成なので， 抵抗 を流れる電流 ̇ 𝐼! は ̇ |𝐼! | = | ̇ 𝐼 − ( ̇ 𝐼# + ̇ 𝐼" )| = 10' − 8 − 2 ' = 64 = 8 である． ̇ 𝐼# ̇ 𝐼" ̇ 𝐼! ̇ 𝐼! + ̇ 𝐼# ̇ 𝐼