2024年度春学期　応用数学（解析）第2回　無限にも大小がある (2024. 4. 18)

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関西大学総合情報学部浅野　晃応用数学（解析） 2024年度春学期第1部・「無限」の理解／第2回無限にも大小がある

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無限とは，「モノ」ではなく「コト」 🤔🤔

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「∞」という数字があるのか 3 「∞」という数字はありません無限とは「無限」という「モノ」があるのではなく「無限であるコト」数学では，「コト」ではなく「モノ」のほうが扱いやすい。「無限」を具体的な数字で扱うには？

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「数えられる」無限 4 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を「数えられる無限」すなわち［可算無限］というそして，「無限」その「個数」は［可算基数］ ℵ0（アレフゼロ）（よく「可算無限個」という）

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「数えられる」無限 4 自然数とは，数えるための数字 1, 2, 3, … 自然数の集合と同じ無限を「数えられる無限」すなわち［可算無限］というそして，「無限」その「個数」は［可算基数］ ℵ0（アレフゼロ）（よく「可算無限個」という）？

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃どうやって数えるのか 5 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2, 3, … この集合の［基数］（［濃度］）は［可算無限集合］という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数過不足なく１対１対応がつく（［全単射］が存在する）なら

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃「全単射」について 6 集合の要素間の対応関係について [全単射］(bijection) 集合X 集合Y … … 1対1に対応し， X,Yどちらにも余りがない [単射］(injection) 集合X 集合Y 1対1であるこの例では Yに余りがあるので全射ではない [全射］(surjection) 集合X 集合Y どちらにも余りはない XからYへの ? ? XからYへのこの例では 1対1ではないので単射ではない

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃偶数の集合の濃度は 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数自然数過不足なく１対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃偶数の集合の濃度は 7 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2, 3, …, n, … 偶数の基数も ℵ0 偶数自然数過不足なく１対１対応がつく（全単射が存在する） 2, 4, 6, …, 2n, … 自然数と「個数」は同じ

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「ホテル無限」

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ヒルベルトの「ホテル無限」 9 ホテル無限には，可算無限個の部屋があるさらに客が一人やって来たら？ … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● 「ただいま満室です」 … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● ●

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃ヒルベルトの「ホテル無限」 9 ホテル無限には，可算無限個の部屋があるさらに客が一人やって来たら？ … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● 「ただいま満室です」 … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● ● 部屋にいる客全員が隣の部屋に移れば 1号室が空く

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実数の基数と対角線論法 🤔🤔

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃時計の針の止まる場所 11 連続的に針が進む時計目をつぶってボタンを押したときボタンを押すと，その場で針が止まる 12時から3時の間のどこかに止まる確率＝円周の1/4だから，確率も1/4

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃時計の針の止まる場所 12 では「12時ちょうど」に止まる確率は？ 12時ちょうども 1時ちょうども 12時1秒ちょうども「12時ちょうど」の幅はゼロ →そこに止まる確率もゼロどこでもみんなゼロ

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃時計の針の止まる場所 12 では「12時ちょうど」に止まる確率は？ 12時ちょうども 1時ちょうども 12時1秒ちょうども「12時ちょうど」の幅はゼロ →そこに止まる確率もゼロどこでもみんなゼロなら，「12時から3時の間のどこか」もゼロじゃないの？🤔🤔

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃何がおかしいのか 13 各刻みに止まる確率はどれもゼロ区間内の任意の位置＝１つの実数で表される角度刻みがどんなに細かくても，順に自然数の番号がつけられる角度を表す実数と1対1対応がつくなら，「区間内のどの位置に止まる確率も0」

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃何がおかしいのか 13 各刻みに止まる確率はどれもゼロ区間内の任意の位置＝１つの実数で表される角度刻みがどんなに細かくても，順に自然数の番号がつけられる角度を表す実数と1対1対応がつくなら，「区間内のどの位置に止まる確率も0」自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数は可算無限ではない 14 自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数は可算無限ではない 14 自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」いいえ。🙅🙅

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数は可算無限ではない 14 自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」いいえ。🙅🙅 実数を1つ，2つ，3つと数えることはできない

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃実数は可算無限ではない 14 自然数と実数に一対一対応がつくか？つまり「実数の集合は可算基数をもつか？」いいえ。🙅🙅 実数を1つ，2つ，3つと数えることはできない実数も自然数もその「個数」は無限だが，実数は自然数よりも本質的に大きな無限

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる各ケタを1ずつずらす ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0. 各ケタを1ずつずらす ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0. 各ケタを1ずつずらす 2 ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0. 各ケタを1ずつずらす 20 ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0. 各ケタを1ずつずらす 201 ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 15 仮に，すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べられるとする 0.190… 対角線上の数字を並べた実数をつくる 0. 各ケタを1ずつずらす 201… ⋮ 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 …

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 16 すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べた表 ⋮ 0. 2 0 1 … 各ケタを 1ずつずらした数 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 … 　　　　　

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 16 すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べた表 ⋮ 0. 2 0 1 … 各ケタを 1ずつずらした数この数字は，　1番の数字とは1ケタめで，　2番の数字とは2ケタめで，… 　n番の数字とはnケタめで 1だけずれているので，「すべての実数を並べた」表にない　∴矛盾 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 … 　　　　　

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃カントールの対角線論法 16 すべての実数を1番，2番，…と番号をつけて並べた表 ⋮ 0. 2 0 1 … 各ケタを 1ずつずらした数この数字は，　1番の数字とは1ケタめで，　2番の数字とは2ケタめで，… 　n番の数字とはnケタめで 1だけずれているので，「すべての実数を並べた」表にない　∴矛盾　つまり「実数は可算でない」 1番 2番 3番　　　　　 0. 1 2 3 4 5 6 … 0. 8 9 3 1 2 9 … 0. 2 3 0 4 9 0 … 　　　　　

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有理数の集合は可算基数をもつか（演習問題1）

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数と自然数の対応 18 有理数の集合は，可算基数をもつか分母を横軸，分子を縦軸とすると，有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く　※重複あり分母分子 0 1 2 3 1 2 3

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数と自然数の対応 18 有理数の集合は，可算基数をもつか分母を横軸，分子を縦軸とすると，有理数は図の黒点（格子点） ※分母0の点は除く　※重複あり分母分子 0 1 2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれば自然数と一対一対応がつく👉👉可算基数をもつ

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数は可算基数をもつから 19 有理数の「無限」と自然数の「無限」は　同じ無限有理数の集合は「稠密」（びっしり）実数　の集合は「連続」（べったり）有理数の「無限」と実数の「無限」は　　本質的に異なる無限

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃有理数は可算基数をもつから 20 ダーツの矢（太さゼロ）を投げたら🎯🎯 時計⏰の針と同じ理屈で考えると原点から光線（幅ゼロ）をあちこちに発射したら的の上で当たった点の的の中心からの距離が有理数である確率はゼロ格子点に当たる確率はゼロ原点 ⚡

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ホテル無限に，無限の客（演習問題2）

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題2 22 ホテル無限には，可算無限個の部屋があるさらに可算無限人の客がやって来たら？ … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● 「ただいま満室です」 … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● ● ℵ0

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題2 22 ホテル無限には，可算無限個の部屋があるさらに可算無限人の客がやって来たら？ … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● 「ただいま満室です」 … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● ● ℵ0 部屋にいる客全員が２倍の番号の部屋に移れば奇数番の室が空く

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃問題2 22 ホテル無限には，可算無限個の部屋があるさらに可算無限人の客がやって来たら？ … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● 「ただいま満室です」 … １号室 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● ● ℵ0 部屋にいる客全員が２倍の番号の部屋に移れば奇数番の室が空く奇数も可算無限個

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23 2024年度春学期　応用数学（解析）／　関西大学総合情報学部　浅野　晃今日のまとめ 23 無限にも，大小がある「可算無限」次回は，「実数」とは何か，実数の連続性（「べったり」並んでいること）を説明します。こういうことが不思議だと感じるのは，ふだんは「無限」を，たかだか「大きな数」くらいにしか理解していないから🤔🤔 ハレー彗星が関心をよぶのは，周期76年が「人の一生」とほぼ同じだからそれより周期の長い彗星はたくさんあるが，人は実感できない