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関西大学総合情報学部 浅野　晃 応用数学（解析） 2024年度春学期 第３部・微分方程式に関する話題 ／ 第10回 生存時間分布と半減期

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今日は，「寿命」を扱う微分方程式🤔🤔

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は，各個人によってばらばら 機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は，各個人によってばらばら 機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら その理由は「偶然」

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は，各個人によってばらばら 機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら その理由は「偶然」 寿命は［確率変数］であるという

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は，各個人によってばらばら 機械の寿命も，同じ型でも個体によってばらばら その理由は「偶然」 寿命は［確率変数］であるという 寿命がいくらである確率がどのくらいであるかを 表すのが［確率分布］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり 次の瞬間

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり 次の瞬間 l(t) は 時刻tまで生存している人が 次の瞬間に死ぬ危険の度合

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T （時刻0に誕生した人が死亡する時刻） l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後，時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり 次の瞬間 l(t) は 時刻tまで生存している人が 次の瞬間に死ぬ危険の度合 ［ハザード関数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 累積分布関数と「生存関数」 5 確率変数 T に対して 　　［累積分布関数］ F(t) = P(T ≤ t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 累積分布関数と「生存関数」 5 確率変数 T に対して 　　［累積分布関数］ F(t) = P(T ≤ t) この場合，寿命が t 以下である確率

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 累積分布関数と「生存関数」 5 確率変数 T に対して 　　［累積分布関数］ F(t) = P(T ≤ t) この場合，寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 累積分布関数と「生存関数」 5 時刻 t の時点でまだ生きている確率 確率変数 T に対して 　　［累積分布関数］ F(t) = P(T ≤ t) この場合，寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 累積分布関数と「生存関数」 5 時刻 t の時点でまだ生きている確率 ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」 確率変数 T に対して 　　［累積分布関数］ F(t) = P(T ≤ t) この場合，寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 累積分布関数と「生存関数」 5 時刻 t の時点でまだ生きている確率 ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」 確率変数 T に対して 　　［累積分布関数］ F(t) = P(T ≤ t) この場合，寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) ［生存関数］ 生存関数は，ある時間がたったとき，まだ生きている確率

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム（だったもの）の「へり」 ［確率密度関数］ f(t) ［累積分布関数］ F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム（だったもの）の「へり」 ［確率密度関数］ f(t) ［累積分布関数］ F(t) t t + Δt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム（だったもの）の「へり」 ［確率密度関数］ f(t) ［累積分布関数］ F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム（だったもの）の「へり」 ［確率密度関数］ f(t) ［累積分布関数］ F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t) 青い部分 の高さ = F(t + Δt) − F(t) Δt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム（だったもの）の「へり」 ［確率密度関数］ f(t) ［累積分布関数］ F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t) 青い部分 の高さ = F(t + Δt) − F(t) Δt その の極限 Δt → 0 lim Δt→0 F(t + Δt) − F(t) Δt = F′ (t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 （ところで）累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム（だったもの）の「へり」 ［確率密度関数］ f(t) ［累積分布関数］ F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t) 青い部分 の高さ = F(t + Δt) − F(t) Δt その の極限 Δt → 0 lim Δt→0 F(t + Δt) − F(t) Δt = F′ (t) すなわち f(t) = F′ (t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) （累積分布関数の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) （累積分布関数の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) （累積分布関数の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) （累積分布関数の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) （累積分布関数の定義） 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) （条件付確率の定義） 含まれる F(t) = P(T ≤ t) （累積分布関数の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T > t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） （生存関数の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T > t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） （生存関数の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T > t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） （生存関数の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T > t) S′(t) = (1 − F(t))′ = −F′(t) = −f(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） （生存関数の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T > t) S′(t) = (1 − F(t))′ = −F′(t) = −f(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 生存関数とハザード関数 8 （微分の定義） （生存関数の定義） = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F′(t) （確率密度関数） f(t) = F′(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T > t) S′(t) = (1 − F(t))′ = −F′(t) = −f(t) 以上から l(t) = − S′(t) S(t) という微分方程式が得られる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t))

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分）

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0 C = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C よって という解が得られる S(t) = exp − t 0 l(u)du 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0 C = 0

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S′(t) S(t) = − d dt (log S(t)) （両辺を積分） − t 0 l(u)du = log S(t) + C よって という解が得られる S(t) = exp − t 0 l(u)du 時刻0，つまり誕生の瞬間に生存している確率は１ つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0 C = 0 ハザード関数と生存関数の関係

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ワイブル分布と指数分布📈📈

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1du = exp − [(λu)p]u=t u=0 = exp (−(λt)p)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1du = exp − [(λu)p]u=t u=0 = exp (−(λt)p)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1du = exp − [(λu)p]u=t u=0 = exp (−(λt)p) 微積分の関係

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1du = exp − [(λu)p]u=t u=0 = exp (−(λt)p) 微積分の関係 F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布 11 この形の累積分布関数をもつ確率分布を［ワイブル分布］とよぶ ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1du = exp − [(λu)p]u=t u=0 = exp (−(λt)p) 微積分の関係 F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは，

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］ 0 < p < 1 のときは，

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］ 0 < p < 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］ 0 < p < 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が小さくなる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］ 0 < p < 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が小さくなる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと，ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p > 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が大きくなる ［摩耗故障］ 0 < p < 1 のときは， l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負 時間が経つにつれて，死亡・故障する危険が小さくなる ［初期故障］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブル分布のパラメータ 13 t F(t) F(t) = 1 – e–t4 F(t) = 1 – e–t2 経過時間 累積分布関数 （ある時刻までに死亡・ 　故障したものの割合） p = 2 の場合と p = 4 の場合 どちらも摩耗故障（時間につれて故障しやすくなる） p = 4 のほうが，急激に故障が増える

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p))} 両辺の対数を２回とる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p))} 両辺の対数を２回とる = log {(λt)p} = p(log t + log λ)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p))} 両辺の対数を２回とる = log {(λt)p} = p(log t + log λ) Y

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p))} 両辺の対数を２回とる = log {(λt)p} = p(log t + log λ) Y X

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p))} 両辺の対数を２回とる = log {(λt)p} = p(log t + log λ) Y X Y = p(X + log λ) 　

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ワイブルプロット 14 実務では，たくさんの個体で耐久試験を行い， ワイブル分布を仮定して，パラメータを推測する S(t) = 　 　 exp (−(λt)p) 　 　 より 1 S(t) = exp ((λt)p) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p))} 両辺の対数を２回とる = log {(λt)p} = p(log t + log λ) Y X Y = p(X + log λ) 　 時刻を上の X ，その時刻での生存割合を上の Y に変換してプロット →並びを近似する直線の傾きが p

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 ハザード関数は l(t) = λ

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ハザード関数は l(t) = λ

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ［偶発故障］ ハザード関数は l(t) = λ

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ［偶発故障］ ハザード関数は l(t) = λ 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ［偶発故障］ ハザード関数は l(t) = λ ［指数分布］ 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ［偶発故障］ ハザード関数は l(t) = λ ［指数分布］ 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は 放射性原子核は，どの時刻においても，その時点で 存在する核のうち一定の割合が崩壊する

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ［偶発故障］ ハザード関数は l(t) = λ ［指数分布］ 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は 放射性原子核は，どの時刻においても，その時点で 存在する核のうち一定の割合が崩壊する ハザード関数が一定で，指数分布にしたがう

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt′ = 1 2 e−λt

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt′ = 1 2 e−λt 対数をとる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt′ = 1 2 e−λt −λt′ = − log 2 − λt t′ − t = log 2 λ 対数をとる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 原子核の数が半分になるまでの時間 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt′ = 1 2 e−λt −λt′ = − log 2 − λt t′ − t = log 2 λ 対数をとる

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 原子核の数が半分になるまでの時間 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt′ = 1 2 e−λt −λt′ = − log 2 − λt t′ − t = log 2 λ 対数をとる t によらず一定

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が，その半分になるまでの時間は， どの時刻でも一定 原子核の数が半分になるまでの時間 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t′) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt′ = 1 2 e−λt −λt′ = − log 2 − λt t′ − t = log 2 λ 対数をとる t によらず一定 ［半減期］

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 17 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 17 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 時間 の単位を「年」とする t

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 17 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 時間 の単位を「年」とする t 指数分布の生存関数を とおくと 半減期 = S(t) = e−λt log 2 λ

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 17 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 時間 の単位を「年」とする t 指数分布の生存関数を とおくと 半減期 = S(t) = e−λt log 2 λ 半減期は2年なので λ = log 2 2

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 17 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 時間 の単位を「年」とする t 指数分布の生存関数を とおくと 半減期 = S(t) = e−λt log 2 λ 半減期は2年なので λ = log 2 2 求めるのは，指数分布の累積分布関数 において の値 F(t) = 1 − e−λt F(1)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 18 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 半減期は2年なので λ = log 2 2 求めるのは，指数分布の累積分布関数 において の値 F(t) = 1 − e−λt F(1)

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 18 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 半減期は2年なので λ = log 2 2 求めるのは，指数分布の累積分布関数 において の値 F(t) = 1 − e−λt F(1) F(1) = 1 − e− log 2 2 ⋅1 = 1 − elog(2− 1 2 ) = 1 − 2−1 2 = 1 − 1 2 ≒ 0.293

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 18 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 半減期は2年なので λ = log 2 2 求めるのは，指数分布の累積分布関数 において の値 F(t) = 1 − e−λt F(1) F(1) = 1 − e− log 2 2 ⋅1 = 1 − elog(2− 1 2 ) = 1 − 2−1 2 = 1 − 1 2 ≒ 0.293 1個の原子が1年以内に崩壊する確率 0.293

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 演習問題 18 ある原子核の半減期が2年であるとする 1年以内に崩壊する原子核の割合は？ 半減期は2年なので λ = log 2 2 求めるのは，指数分布の累積分布関数 において の値 F(t) = 1 − e−λt F(1) F(1) = 1 − e− log 2 2 ⋅1 = 1 − elog(2− 1 2 ) = 1 − 2−1 2 = 1 − 1 2 ≒ 0.293 1個の原子が1年以内に崩壊する確率 0.293 原子がたくさんあれば，そのうち崩壊する原子の割合が 29.3%

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19 2024年度春学期　応用数学（解析） ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 今日のまとめ 19 集団中の個体の数が 死亡・故障によって減少して行く この現象を表す 微分方程式 解に仮定を持ち込むことで， ワイブル分布，指数分布といった 「死亡・故障による現象のモデル」が導かれる