Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Algorithmes d’Estimation et de D´ etection en contexte H´ et´ erog` ene Rang Faible Arnaud Breloy Besson Olivier Professeur Rapporteur Chevalier Pascal Professeur Rapporteur Comon Pierre Directeur de Recherche Examinateur Chong Chin Yuan Ing´ enieur de Recherche Examinateur Ginolhac Guillaume Professeur Examinateur (Directeur) Pascal Fr´ ed´ eric Professeur Examinateur (Encadrant) Forster Philippe Professeur Examinateur (Encadrant) A. Breloy 23 Nov 2015 1 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 2 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Introduction Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 3 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Application consid´ er´ ee : radar STAP a´ eroport´ e Signaux re¸ cu par le radar : R´ eponse de cibles mobiles (potentielle) R´ eponse de l’environnement (fouillis) Bruit des capteurs Signaux non d´ eterministes Bruit et r´ eponse de l’environnement consid´ er´ es comme al´ eatoires → Traitements statistiques ← A. Breloy 23 Nov 2015 4 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Traitement statistique du signal Signaux al´ eatoires multivari´ es zk observ´ es, diff´ erents traitements : Estimation de param` etres D´ etection des cibles Traitements ”optimaux” bas´ es sur la statistique d’ordre 2 (inconnue) : Estimation de la matrice de covariance Σ = E zk zH k Traitements adaptatifs : bas´ es sur un estimateur ˆ Σ A priori g´ en´ eraux Les performances des traitements adaptatifs d´ ependant de la pr´ ecision d’estimation de Σ. La pr´ ecision d’un estimateur d´ epend de son ad´ equation avec le mod` ele en amont des donn´ ees. A. Breloy 23 Nov 2015 5 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Probl´ ematiques actuelles 1) Haute r´ esolution : Fouillis h´ et´ erog` enes Potentielles donn´ ees aberrantes (outliers) 2) Grand nombre de capteurs/impulsions : Nombre de donn´ ees K limit´ e par rapport ` a la dimension M Pour avoir des traitements adaptatifs performants : → Construire des estimateurs pr´ ecis malgr´ e ces conditions ← → Robustes & N´ ecessitant peu de donn´ ees ← Un axe de r´ eponse... Consid´ erer des mod` eles statistiques adapt´ es ` a ces conditions A. Breloy 23 Nov 2015 6 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Mod` ele Gaussien z ∼ CN(0, Σ) a pour densit´ e de probabilit´ e f (z) ∝ |Σ|−1exp −zH Σ−1z Sample Covariance Matrix (SCM) Maximum de vraisemblance de la matrice de covariance : ˆ ΣSCM = 1 K K k=1 zk zH k Si donn´ ees gaussiennes : Non biais´ e, consistant et efficace. Asymptotiquement consistant (par TLC). Peu pr´ ecis pour K < M. Peu robuste aux distributions h´ et´ erog` enes et aux outliers. A. Breloy 23 Nov 2015 7 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Mod` ele Complexe Elliptique Sym´ etrique (CES) [Ollila12] z ∼ CE(0, Σ, g) a pour densit´ e de probabilit´ e f (z) ∝ |Σ|−1g zH Σ−1z g mod´ elise des distributions ` a queues plus ou moins lourdes que exp. Sous famille : Spherically Invariant Random Vectors (SIRV) z ∼ √ τc avec : - c ∼ CN(0, Σ) - τ un facteur de puissance al´ eatoire ind´ ependant (texture). A. Breloy 23 Nov 2015 8 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee M-estimateurs (ou estimateurs robustes) ˆ ΣM = 1 K K k=1 ψ zH k ˆ Σ−1 M zk zk zH k → ψ(t) = g′(t)/g(t) : maximum de vraisemblance pour z ∼ CE(0, Σ, g) → ψ autre : M-estimateur, e.g. ˆ ΣM = M K K k=1 zk zH k zH k ˆ Σ−1 M zk ψ(t) = M/t : estimateur du point fixe (FPE). [Tyler87, Pascal08] Existence soumise ` a conditions sur ψ et K > M. Calculable avec des it´ erations de point fixe. Asymptotiquement non biais´ e, et consistant. M-estimateurs robustes sur l’ensemble des CES et aux outliers. A. Breloy 23 Nov 2015 9 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Probl` eme K < M Diff´ erentes approches : Solution 1 : R´ egularisation d’estimateurs Solution 2 : Estimation structur´ ee A. Breloy 23 Nov 2015 10 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee K < M , solution 1 : SCM r´ egularis´ ee [Ledoit04] ˆ ΣSSCM (β) = (1 − β) 1 K K k=1 zk zH k + βIM Meilleures performances ` a K < M Non robuste aux distributions h´ et´ erog` enes. Impose un biais : probl` eme de choix du β. K < M , solution 1 : R´ egularisation d’estimateurs robustes Estimateur de Tyler r´ egularis´ e (SFPE) : [Chen12, Pascal13, Ollila14] ˆ ΣSFPE (β) = (1 − β) M K K k=1 zk zH k zH k ˆ Σ−1 SFPE (β)zk + βIM existe pour β ∈ [max(0, 1 − K/M) , 1]. Calculable avec des it´ erations de point fixe. Permet de calculer un estimateur robuste pour K < M. Impose un biais : probl` eme de choix du β. A. Breloy 23 Nov 2015 11 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee K < M , solution 2 : Estimation robuste structur´ ee Consid´ erations en amont sur le mod` ele/syst` eme : A priori sur la structure de la matrice de covariance Σ ∈ S. e.g. : Toeplitz, persym´ etrique, rang faible... R´ eduit les degr´ es degr´ es de libert´ e du probl` eme d’estimation : meilleures performances ` a K < M SCM sous contrainte de structure max Σ ln |Σ|−1 − K k=1 zH k Σ−1zk s.c. Σ ∈ S Algorithmes ` a ´ etablir selon la structure et la param´ etrisation. ◮ Exemple : RC-ML [Kang14], structure rang faible plus identit´ e. Probl` eme de robustesse persistant. A. Breloy 23 Nov 2015 12 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee M-estimateur sous contrainte de structure [Wiesel12, Sun15, Solov15] max Σ ln |Σ|−1 + K k=1 ln g zH k Σ−1zk s.c. Σ ∈ S Algorithmes ` a ´ etablir selon la structure et la param´ etrisation consid´ er´ ee. Existence pour K < M et unicit´ e non d´ emontr´ ee pour toutes les structures. Piste de recherche encore active. A. Breloy 23 Nov 2015 13 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Tableau r´ ecapitulatif Estimateurs Estimateurs Estimateurs non contraints r´ egularis´ es structur´ es K > M K < M K < M Biais´ es Mod` ele Gaussien SCM SSCM RC-ML Non robuste ... Mod` ele CES M-estimateurs SFPE [Sun15, Solov15] Robuste FPE →Breloy← Estimation robuste structur´ ee Bas´ es sur un ` a priori de structure Consid´ erer le mod` ele en amont des donn´ ees A. Breloy 23 Nov 2015 14 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Probl´ ematique consid´ er´ ee : application radar STAP a´ eroport´ e Mod` ele de donn´ ees observ´ ees : zk = ck + bk Fouillis ck H´ et´ erog` ene (CES, SIRV) Loi de Brennan : Matrice de covariance rang faible Σc = R

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Mes contributions : plan de la pr´ esentation Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible ◮ Maximum de vraisemblance du mod` ele consid´ er´ e ◮ Algorithmes de calcul ◮ Application ` a la d´ etection STAP Estimation du sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible ◮ Estimateurs des vecteurs propres dominants de la matrice de covariance (seulement) ◮ Nouveaux algorithmes ◮ Application au filtrage STAP rang faible A. Breloy 23 Nov 2015 16 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 17 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Mod` ele de distribution du fouillis rang faible Spherically Invariant Random Vector (SIRV) (sous famille des CES) Mod` ele couvrant de nombreuses distributions usuelles e.g. K-distribution, t-distribution, Weibull... Bonne correspondance avec des distributions empiriques mesur´ ees ck = √ τ k gk gk ∼ CN(0, Σc ) avec rang(Σc ) = R < M τk : facteur de puissance al´ eatoire ind´ ependant (texture). Mod` ele de distribution du bruit thermique bk ∼ CN(0, σ2IM ) A. Breloy 23 Nov 2015 18 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Distribution des signaux observ´ es xk = √ τk gk + bk SIRV rang faible g ∼ C N (0, Σc ) rang(Σc ) = R ≪ M connu τk d´ eterministes inconnus Bruit blanc gaussien b ∼ C N (0, σ2IM ) σ2 = 1 connu (xk |τk ) ∼ C N (0, τk Σc + σ2IM ) Probl` eme Estimer Σc par maximum de vraisemblance A. Breloy 23 Nov 2015 19 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations EMV solution du probl` eme : min Σk ,{τk },Σc K k=1 log det (Σk ) + K k=1 zH k Σ−1 k zk c.c. Σk = τk Σc + IM τk ≥ 0 rank (Σc ) ≤ R Probl` emes Pas de solution analytique directe Probl` eme non convexe en Σc , τk . Contrainte de rang non convexe A. Breloy 23 Nov 2015 20 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations EMV param´ etr´ e par SVD solution du probl` eme [Breloy15a] max {vr } R r=1 vH r ˆ Mr vr s.c. vH r vr = 1 , r ∈ [[1, R]] vH r vj = 0 , r, j ∈ [[1, R]] , r = j avec ˆ Mr = K k=1 ˆ cr ˆ τk 1 + ˆ cr ˆ τk zk zH k , et o` u ˆ cr ({ˆ vr }) et ˆ τk ({ˆ vr }) sont les EMV de cr et τk . Probl` emes Pas de solution analytique pour ˆ vr Param` etres ˆ cr et ˆ τk sans solution analytique et fonction de ˆ vr (d´ efinition ”point fixe”) ⇒ N´ ecessit´ e d’algorithmes it´ eratifs A. Breloy 23 Nov 2015 21 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esolution approch´ ee : Algorithme 2SR [Breloy15b] Principe : maximisation altern´ ee de la vraisemblance ◦ ´ Etape 1 : mise ` a jour des cr et τk pour vr fix´ es sous hypoth` ese de fort rapport fouillis ` a bruit : zk ∼ CN(0, Σk ) Σk ≈ Vc V⊥ c τk diag({cr }) + ✓ Ir 0 0 IM−R Vc V⊥ c H VH c zk ∼ CN(0, τk diag({cr })) → it´ erations de point fixe pour obtenir cr et τk ◦ ´ Etape 2 : mise ` a jour des vr pour cr et τk fix´ es, r´ esoudre : max {vr } R r=1 vH r K k=1 ˆ cr ˆ τk 1 + ˆ cr ˆ τk zk zH k vr s.c. vr orthonorm´ es → Descente de gradient sur la vari´ et´ e de Stiefel pour contraindre l’orthonormalit´ e des vecteurs propres A. Breloy 23 Nov 2015 22 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esolution exacte : Algorithme MM2 [SunBreloy15] Principe Majoration-Minimisation : Mettre a jour cycliquement les blocs {τk }, {cr } et {vr } en minimisant une fonction de substitution (borne sup´ erieure de l’objectif) Solutions analytiques ` a chaque mise ` a jour Garantie d’augmenter la vraisemblance ` a chaque it´ eration A. Breloy 23 Nov 2015 23 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Algorithme MM2 ◦ ´ Etape 1 : mise ` a jour des τk pour cr et vr fix´ es τt+1 k = 1 R · R r=1 skr τt k cr τt k cr +1 · R r=1 αkr 1+cr τt k R r=1 αkr cr 1+cr τt k ◦ ´ Etape 2 : mise ` a jour des cr pour τk et vr fix´ es ct+1 r = 1 K · K k=1 skr τk ct r τk ct r +1 · K k=1 αkr 1+ct r τk K k=1 αkr τk 1+ct r τk ◦ ´ Etape 3 : mise ` a jour des vr pour cr et τk fix´ es Mr = K k=1 (τk cr /(τk cr + 1))zk zH k . A = [M1v1 ; . . . ; MR vR ] A = VA DA UH A (SVD fine). Mettre ` a jour V avec V = VA UH A . A. Breloy 23 Nov 2015 24 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Param` etres de simulation Crit` ere NMSE : NMSE( ˆ Σ) = E || ˆ Σ − Σ||2 ||Σ||2 Param` etres : - M = 60 et R = 15 - Textures : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν - Σc matrice Toeplitz (tronqu´ ee) de param` etre ρ = 0.9 Estimateurs compar´ es ˆ ΣSCM : Sample Covariance Matrix ˆ ΣRCML : SCM ` a structure rang faible contrainte ˆ ΣS−FPE : Estimateur de Tyler r´ egularis´ e avec β minimum ˆ ΣEMV −2SR : EMV calcul´ e avec l’algorithme 2SR ˆ ΣEMV −MM2 : EMV calcul´ e avec l’algorithme MM2 A. Breloy 23 Nov 2015 25 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esultats de simulations : NMSE en fonction de K Observations Les m´ ethodes d´ evelopp´ ees sont plus performantes que l’´ etat de l’art 2SR plus performant ` a fort CNR (justifie l’approximation) A. Breloy 23 Nov 2015 26 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Application ` a la d´ etection STAP Test d’hypoth` ese : H0 : z0 = c0 + b0 ; zk = ck + bk , ∀k ∈ [[1, K]] H1 : z0 = d + c0 + b0 ; zk = ck + bk , ∀k ∈ [[1, K]] o` u d est la cible et c0 + b0 est le fouillis plus bruit. D´ etecteur Adaptive Normalized Matched Filter (ANMF) : ˆ Λ( ˆ Σ) = |dH ˆ Σ−1z0 |2 |dH ˆ Σ−1d||zH 0 ˆ Σ−1z0 | H1 ≷ H0 δ ˆ Σ o` u ˆ Σ est un estimateur calcul´ e ` a l’aide des donn´ ees secondaires zk . M´ ethodologie Seuil r´ egl´ e pour PFA de 10−3 pour chaque estimateur (via Monte-Carlo sous H0 ). On ´ etudie la PD en fonction du rapport signal ` a bruit. A. Breloy 23 Nov 2015 27 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations D´ etection STAP - Param` etres du Radar Antennes : N = 8 Impulsions : M = 8 Signal : f0 = 450 MHz, B = 4 MHz et fr = 600 Hz Vitesse plateforme : V = 100 m/s Cible : Vt = 35 m/s en azimut +10◦ Param` etre fouillis Rang du fouillis calcul´ e avec la loi de Brennan : ⇒ R = 15 ≪ NM = 64 : Rang faible τ : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν A. Breloy 23 Nov 2015 28 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esultats : PD en fonction du SNR Observations L’estimateur propos´ e conduit aux meilleures performances Le β optimal de SFPE est tr` es d´ ependant des param` etres RCML a de mauvaises performances ` a K faible et en contexte h´ et´ erog` ene A. Breloy 23 Nov 2015 29 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Conclusions Maximum de vraisemblance du mod` ele SIRV + bruit blanc gaussien Algorithmes de calcul Meilleurs r´ esultats en terme de pr´ ecision d’estimation (NMSE) Application : am´ elioration des performance en d´ etection STAP Perspective R´ eduire la complexit´ e des algorithmes Certaines applications ne n´ ecessitent pas la connaissance des valeurs propres Se focaliser sur l’estimation du sous espace fouillis (vecteurs propres de Σc ) A. Breloy 23 Nov 2015 30 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Motivations : Approximation rang faible Probl` eme ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 31 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Approximation rang faible Matrice de covariance structur´ ee : Σtot = R r=1 (cr + 1) vr vH r + M r=R+1 vr vH r l’approximation rang faible consiste en : Σ−1 tot ≈ Π⊥ c ≈ IM − Πc avec Πc = R r=1 vr vH r Les traitements adaptatifs rang faible se basent sur un estimateur de projecteur ˆ Πc plutˆ ot qu’un estimateur de la matrice de covariance ˆ Σtot . Int´ erˆ et Requiert moins d’´ echantillons (coh´ erent avec K < M) A. Breloy 23 Nov 2015 32 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Bruit structur´ e rang faible xk = ck + bk c : Bruit gaussien corr´ el´ e Σc = R r=1 cr vr vH r b : bruit blanc gaussien σ2IM Filtrage rang faible ∼ annulation d’interf´ erence Filtre classique : ˆ w = ˆ Σ−1 SCM d Filtre rang faible : ˆ w = ˆ Π⊥ SCM d ˆ ΠSCM = R r=1 ˆ vr ˆ vH r de la SVD de ˆ ΣSCM ˆ w atteint −3dB de SINR-Loss pour K ≃ 2M ˆ wLR atteint −3dB de SINR-Loss pour K ≃ 2R ≪ 2M A. Breloy 23 Nov 2015 33 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Solution classique : SVD d’un estimateur de la matrice de covariance ˆ Σ −→ SVD −→ ˆ Π SVD de la SCM SVD d’un estimateur robuste SVD d’un estimateur r´ egularis´ e Nouvel outil d´ evelopp´ e pour le cas non gaussien Projecteur issu de l’EMV du mod` ele (diff´ erents algorithmes) Motivations D´ evelopper des algorithmes plus simples Utiliser des relaxations sur le mod` ele (s’affranchir des valeurs propres) Compr´ ehension/interpr´ etation des facteurs en jeu A. Breloy 23 Nov 2015 34 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Estimateur AEMV [[Breloy13a] Hypoth` ese de valeurs propres ´ egales sur Σc (zk |τk ) ∼ CN(0, τk Πc + σ2I) Maximum de vraisemblance du projecteur : R vecteur propres dominants de ˆ M( ˆ Πc ) = K k=1 ˆ τk ˆ τk + 1 zk zH k , o` u ˆ τk est l’EMV des textures : ˆ τk = 1 R zH k ˆ Πc zk − 1 si|| ˆ Πc zk ||2 > R 0 sinon Int´ erˆ et Point fixe : algorithme de maximisation altern´ e simple et rapide Forme maniable (pour ´ eventuels calculs th´ eoriques) A. Breloy 23 Nov 2015 35 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Interpr´ etation de AEMV AEMV : SVD de M = K k=1 τk σ2 + τk zk zH k favorise les fortes textures τk adapt´ e pour l’estimation de projecteur A fort CNR ◮ τk /(σ2 + τk ) −→ 1 ◮ AEMV −→ SCM FPE : SVD de ˆ ΣFPE = K k=1 1 τk zk zH k rejette les fortes textures τk adapt´ e pour l’estimation de matrice de covariance Robustesse en terme d’estimation de projecteur Les estimateurs robustes peuvent rejeter des ´ echantillons pertinents la SCM est peu robuste aux outliers (AEMV aussi ?) On cherche un meilleur compromis performance-robustesse A. Breloy 23 Nov 2015 36 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Estimateur RAEMV [Breloy16 ?] Hypoth` ese de valeurs propres ´ egales sur Σc , corruption par un SIRV orthogonal au fouillis (zk |τk ) ∼ CN(0, τk Πc + βk Π⊥ c + I) Maximum de vraisemblance du projecteur : R vecteur propres dominants de R = K k=1 max( 0 , τk − βk ) (βk + 1) (τk + 1) zk zH k , avec ˆ τk = zH k Πc zk /R − 1 si ||Πc zk ||2 > R 0 sinon , et ˆ βk = zH k Π⊥ c zk /(M − R) − 1 si ||Π⊥ c zk ||2 > M − R 0 sinon . int´ erˆ et Point fixe : algorithme de maximisation altern´ e simple et rapide Se comporte comme AEMV si βk = 0 mais p´ enalise d’´ eventuels outliers A. Breloy 23 Nov 2015 37 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Param` etres de simulation Crit` ere NMSE : NMSE( ˆ Πc ) = E || ˆ Πc − Πc ||2 ||Πc ||2 Param` etres : - M = 60 et R = 15 - Textures : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν - Σc matrice Toeplitz (tronqu´ ee) de param` etre ρ = 0.9 Estimateurs compar´ es ˆ ΠSCM : Sample Covariance Matrix ˆ ΠS−FPE : Estimateur de Tyler r´ egularis´ e avec β minimum ˆ ΠEMV −MM2 : EMV calcul´ e avec l’algorithme MM2 ˆ ΠAEMV : Estimateur AEMV ˆ ΠRAEMV : Estimateur RAEMV A. Breloy 23 Nov 2015 38 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation R´ esultats de simulations : NMSE en fonction de K Observations EMV, AEMV et RAEMV ont des performances similaires SCM proche de EMV si bruit gaussien (et fort CNR) SFPE moins performant pour ce crit` ere A. Breloy 23 Nov 2015 39 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation D´ etection STAP - Param` etres du Radar Antennes : N = 8 Impulsions : M = 8 Signal : f0 = 450 MHz, B = 4 MHz et fr = 600 Hz Vitesse plateforme : V = 100 m/s Cible : Vt = 35 m/s en azimut +10◦ Param` etre fouillis Rang du fouillis calcul´ e avec la loi de Brennan : ⇒ R = 15 ≪ NM = 64 : Rang faible τ : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν A. Breloy 23 Nov 2015 40 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Estimateurs ˆ ΠSCM : Projecteur issu de la SVD de SCM ˆ ΠFPE : Projecteur issu de la SVD de FPE ˆ ΠS−FPE : Projecteur issu de la SVD de S-FPE (diff´ erents β) ˆ ΠRAEMV : Estimateur RAEMV Crit` ere : SINR-LOSS for an estimate ˆ Π : ρ = (dH ˆ Π⊥d)2 (dH ˆ Π⊥Σ ˆ Π⊥d)(dH Σ−1d) A. Breloy 23 Nov 2015 41 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation SINR-Loss en fonction de K Observations Fort CNR, fouillis mod´ er´ ement h´ et´ erog` ene : SCM ≃ RAEMV Faible CNR ou fouillis h´ et´ erog` ene : meilleures performances pour RAEMV et SFPE conduit ` a de moins bonnes performances pour ces conditions A. Breloy 23 Nov 2015 42 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Robustesse ` a la contamination Observations SCM et AMLE peu robustes SFPE meilleur mais RAEMV plus robuste en g´ en´ eral (et meilleures performances si donn´ ees non contamin´ ees) A. Breloy 23 Nov 2015 43 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 44 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives Conclusions Maximum de vraisemblance du mod` ele SIRV + bruit blanc gaussien ◮ Algorithmes de calcul ◮ Meilleurs r´ esultats en terme de pr´ ecision d’estimation (NMSE) ◮ Application : am´ elioration des performance en d´ etection STAP Estimateurs relax´ es du sous espace fouillis ◮ Algorithmes de calculs simplifi´ es ◮ Performances identiques au maximum de vraisemblance ◮ Estimateur robuste en terme de sous espace ◮ Application en filtrage rang faible A. Breloy 23 Nov 2015 45 / 46

Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives Perspectives Application ` a d´ etection d’anomalies en imagerie hyperspectrale ◮ Rang et moyenne ` a estimer simultan´ ement ◮ d´ eveloppement de nouveaux d´ etecteurs rang faible Etude de performances th´ eoriques ◮ Distribution asymptotique de AEMV et RAEMV ◮ Bornes sur l’estimation sous espace (bornes contraintes ? g´ eod´ esiques ?) ◮ Un mauvais estimateur de matrice de covariance peut ˆ etre un bon estimateur de projecteur ? Estimation robuste pour d’autres structures/r´ egularisations ◮ R´ egularisation de la SVD (spectre et vecteurs propres dissoci´ es) ◮ Produit de Kronecker (applicable aussi au STAP) A. Breloy 23 Nov 2015 46 / 46