Conjugate Palindromes (Section 12) 発表者：@kgoto 1 1

Conjugate and Palindromes 文字列のreverseとconjugate (rotation) の関係性を考える reverse(aabb) = bbaa conjugate(aabb) = {abba, bbaa, baab, aabb} この2つの操作は少数のconjugateがreverseと一致するという観点から非 互換 (imcompatible)である （性質が大きく違うということが言いたい？） 2 2

本日のテーマ 例： conjugates: , , , , palindromes: conjugates: , , , palindrome: , , 本発表ではこの定理の証明を行う Question conjugacy classに含まれるpalindromesの最大数は？ aabaa aabaa abaaa baaaa aaaab aaaba aabaa (abba)2 abbaabba bbaabbaa baabbaab aabbaabb abbaabba baabbaab 定理 1つのconjugacy classは高々２つのpalindromesを含む 3 3

が偶数と仮定すると、 、 となり、 と矛盾する。 よっ は奇数となる。 補題１ primitive word と整数 について、 かつ なるpalindrome を考える。 このとき、 は奇数かつ と記述できる。 w k x =  xR xx = R wk k w = uuR k xx = R (w ) k/2 2 x = x = R wk/2 x =  xR k 4 4

with とおくと、 は のprefixかつ は のsuffixとなる ため、 となる。 よって 。 例: について はpalindrome 補題１ primitive word と整数 について、 かつ なるpalindrome を考える。 このとき、 は奇数かつ と記述できる。 w k x =  xR xx = R wk k w = uuR w = uv ∣u∣ = ∣v∣ u x v xR v = uR w = uuR ■ abbaab baabba = (abba)3 abba 5 5

2つのケースを考える。 case 1 がpalindromeより 、 とおくと（ここで はprimitive root） 補題１より は奇数となり、 の形となる が奇数より、 の境目に が出現するので となる 補題２ non-empty words and について、 と をそれぞれ異なるpalindromes とすると で表すことができる。 ここで はprimitive rootかつ は奇数 x y xy yx xy = (uu ) , yx = R k (u u) R k uuR k ∣x∣ = ∣y∣ xy y = xR xy = xxR yx = x x R xy = (w)k w k w = uuR k xy uuR yx = (u u) R k 6 6

case 2 ( の場合も同様) 1. がpalindromeより、 は をprefixに持つ 2. がpalindrome、1.より、 は をprefixに持つ 3. 2.より は をボーダーに持つ 4. とおくと、 より、 は をprefixに持つ 5. 4.より は をボーダーに持つ 6. は , を周期に持つ ∣x∣ < ∣y∣ ∣x∣ > ∣y∣ yx y xR xy yR xxR xy xxR y = x z R yx = x y R R yR z xy z xy ∣xx ∣ R ∣z∣ = ∣y∣ − ∣x∣ 7 7

case 2 ( の場合も同様) 弱周期性補題により、 , は を周期として持つ ∣x∣ < ∣y∣ ∣x∣ > ∣y∣ xy yx q = gcd(∣xx ∣, ∣z∣) R 弱周期性補題 文字列 が周期 を持ち、 ならば も の周期と なる。 w p, q p + q ≤ ∣w∣ gcd(p, q) w 8 8

case 2 ( の場合も同様) のprimitie root により、 と表す 弱周期性補題により、 は の約数となるので、 と表すことができる ここで、 、 が をボーダーに持つので、 となる 補題１により （ は奇数）となり、 が奇数より 、ここで より は奇数 よってcase 2の場合も補題が成り立つ ∣x∣ < ∣y∣ ∣x∣ > ∣y∣ xy w xy = wk w q = gcd(∣xx ∣, ∣z∣) R xx = R wk′ xy =  yx y xR x =  xR xx = R w = k′ (uu ) R k′ k′ xy = (uu ) R k k′ yx = (u u) R k xy =  yx k ■ 9 9

補題２が実は定理２の証明になっている。 conjugacyから任意の２つのpalindrome を選ぶと、 補題２により という形をとる。 これ以外の形のpalindromeはこのconjugacy classには存在しないため、 定理が成り立つ 定理 1つのconjugacy classは高々２つのpalindromesを含む xy, yx xy = (uu ), yx = R (u u) R k 1 0 1 0

背理法による説明（少し回りくどい） のconjugatesで と異なるpalindromeがあると仮定すると、 矛盾が生じることを示す そのようなpalindromeが の形となる ここで は のconjugate w.l.o.g. , とする。（ の場合も同様） xy xy, yx (st)k st uuR ts = u u R s ≤ ∣t∣ ∣ts∣ = uuR 1 1 1 1

case 1 となり矛盾する ∣s∣ = ∣u∣ xy = (st)k 1 2 1 2

case 2 とおくと、 , が異なるpalindromeとなる 補題２より、 for と記述でき、 が のprimitive rootであることに矛盾する。 よって、そのようなpalindrome は存在せず、conjugancy classは 高々２つのpalindromesを含む ∣s∣ < ∣u∣ yx = (ts) = k zs zs sz yx = (s s) R k′ k < k′ (u u) R yx (st)k ■ 1 3 1 3

参考文献 今回紹介した内容は以下の論文に記述されている。 C. Guo, J. Shallit and A. M. Shur. On the combinatorics of palindromes and antipalindromes. CoRR, abs/1503.09112, 2015. 1 4 1 4