マイクロマウスのためのMATLAB講座第3回

by idt12312

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マイクロマウスのための MATLAB講座第3回講師: @idt12312 速度制御のためのシステム同定とコントローラ設計

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目標 PID制御のパラメータを自信をもって決定できるようになる • MATLABのPIDコントローラの調整機能を使えるようになる • 制御のシミュレーションをできるようになる • 制御対象のモデルをシステム同定によって得られるようになるそのために 2

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今日の大まかな流れ 1. 制御対象の数理モデルを扱う 2. PIDコントローラを設計する 3. システム同定をする • 制御理論の詳細には触れない • 難しいことはMATLAB/Simulinkに任せる • 制御理論を勉強するきっかけをつくる方針 3

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1.制御対象の数理モデルを扱う

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制御対象の入出力関係を記述するどのように入出力関係を記述すべきか • 数学の言葉を使って記述したい • ある瞬間の入出力関係ではなく、過去の入力も踏まえた入力出力関係を考えたい • 一瞬1Vを入力した場合と、長時間1Vを入力した場合では出力速度は違うはずゴール：目の前にある制御対象を制御すること今日の制御対象制御工学的アプローチ • まず制御対象がどういう動きをするのかを知ろう • ある入力に対してどんな出力が出てくるのかが分かればひとまずOK マウス入力出力モーター電圧並進速度入出力関係を微分方程式で記述しよう 5

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制御対象の入出力関係を記述する前回のモーターの例 (伝達関数表現) 前回の車体制御の例 (状態空間表現) 制御対象入力出力生の微分方程式はまだ扱いづらい制御で扱いやすい統一的な表現へ 1. 伝達関数表現 2. 状態空間表現 6

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制御対象の入出力関係を記述する 1. 第一原理モデリング 2. システム同定 • 物理的な関係式から制御対象をモデリング • 運動方程式, 回路方程式, 化学方程式… • モデル内部で何が起こっているかの本質が分かる • まずはここから始める • 入出力データから制御対象をモデリング • モデリング対象の内部が不明なときに有用 • 第一原理モデリングをしてもパラメータが不明な時にも有用 • 入出力関係は分かるが内部の仕組みは分からないは何とかして計測するに色々突っ込むを計測する 7

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モデルがあるとできることシミュレーションができる制御工学に基づいて制御系設計ができる • 入出力関係が数学的に表現できているのでプログラムでシミュレーションできる • 前回Simulinkでやったようなことができる • パラメータを変えては実機で動かして…のサイクルをPC上で完結できる • 実機でのトライアンドエラーによるパラメータ調整を卒業できる • なぜそのパラメータが適しているかの理由が考えられるモデルベース制御?? 8

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マイクロマウスのモデリングマウス機体の速度の制御を考える入力を工夫すると並進方向と回転方向に分解可能左モーター電圧右モーター電圧並進速度回転速度 2入力2出力で難しい以降もこの考え方を使う 9 今回は2輪DCマウスに限定

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モデルを扱ってみようマイクロマウスの並進方向のモデル入力：左右のモーター電圧の和出力：機体の並進速度具体例としてInouの並進方向のモデルを扱う実習この伝達関数はシステム同定によって得た実習1: Simulinkでシミュレーションする Inouのモーター電圧の和→並進速度のモデルを Simulinkを使ってシミュレーションする 10

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モデルを扱ってみよう実習 Transfer Fcn Scope Step 1. Simulinkでモデルを作成 Transfer Fcnブロックの設定実習1: Simulinkでシミュレーションする 11

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モデルを扱ってみよう実習 4. いろんな入力をいれてみよう 3. シミュレーションを実行 & Scopeを表示左右のモーターにそれぞれ0.5Vかけた時の並進速度の応答 Stepブロックを Simulink/Sourceにあるブロックに置き換える実習1: Simulinkでシミュレーションする 12

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モデルを扱ってみよう 1. 伝達関数オブジェクトを生成実習 % 分子多項式の係数 num = [5400]; % 分母多項式の係数 den = [1, 3100, 12000]; % 伝達関数生成 G_inou = tf(num, den); % 伝達関数を表示 G_inou 2. Step応答をシミュレーション & plot figure; step(G_inou); grid on; は tf([1,0], [2,3])で生成できる Tips 実習2: MATLABでシミュレーションする 13

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モデルを扱ってみよう実習 3. 任意の入力に対する応答をシミュレーション % 時刻列を生成 % 0~10秒を0.01秒刻みで t = 0:0.01:10; % 入力を生成 u = zeros(size(t)); u(200:300) = 1; u(500:700) = 2; % 応答をシミュレーション y = lsim(G_inou, u, t); % 入力と応答を重ねてplot figure; plot(t, u); hold on; grid on; plot(t, y); xlabel('Time [s]'); legend('input', 'output'); 入力uには任意のデータ列を設定可能複雑な関数から生成, ファイルから読み込む実習2: MATLABでシミュレーションする 14

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2.PIDコントローラを設計する

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コントローラ設計の一般論なぜコントローラを作るのか(制御をするのか) ちゃんとした制御系設計は難しいので割愛 • MATLABを使って設計しよう • 制御理論がよくわからなくても雰囲気で • PIDコントローラは専用ツールを使うと簡単に調整可能 • 制御対象の性能を向上させたい • 目標値に速く収束させる • 外乱の影響を受けにくくする • 不安定なものを安定にしたい制御対象制御器要求を満たすコントローラを設計&制御系を解析するのが制御工学 16

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MATLABの便利ツール • GUIで簡単に調整できる • 応答を見ながらパラメータをいじれる • 制御対象はシステムオブジェクトで渡す • 先の実習で出てきた伝達関数になってればOK • Simulinkと協調動作することも可能 PID Tuner 17

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PID Tunerを使う実習 1. Simulinkでモデルを作成 2. PID Tunerを起動実習3: PID Tunerを使ってみよう PID Tunerを使ってPIDコントローラを調整する 18

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PID Tunerを使う実習制御対象はSimulinkモデルを元に解析され、自動的に取り込まれる 3. パラメータを調整する PIDパラメータが表示されるこの辺りをいじる Simulinkのモデルに反映実習3: PID Tunerを使ってみよう 19

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PID Tunerを使う実習 • 応答が速くなっている • 目標値である1に収束している 4. パラメータの反映を確認する 5. シミュレーションを実行する実習3: PID Tunerを使ってみよう 20

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PID Tunerを使う実習外乱用のstepブロックを追加する外乱が入ってもすぐに収束する実習4:外乱を入れてみる外乱を入れてシミュレーションするコントローラなしと比較してみよう 21

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PID Tunerを使う Tuneボタンを押したときに起こること • PIDブロックを含む1巡ループの伝達が計算され、PIDTunerに取り込まれる • ループ状に複数のブロックがあると全てが考慮される • 非線形なブロックは無視or線形近似される極端な例このループ上のものだけ考慮される 22

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現実的な要素を追加する今までは • 連続時間(制御周期が無限に小さい) • センサーの分解能は無限に細かい • 計測した瞬間に値が得られ、出力に反映できる • 有限の制御周期 • センサーにはlatencyと有限の分解能がある • センサー・アクチュエータに飽和がある現実世界で実装するときにはコントローラは離散時間で動くが制御対象は連続時間で動く A/D(センサ), D/A(アクチュエータ)で連続時間と離散時間の変換が実装される Note 23

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離散時間と連続時間微分方程式差分方程式連続時間ラプラス変換 Z変換伝達関数パルス伝達関数有限の制御周期無限の制御周期マイクロマウスではぎりぎりまで速くしたくなるのでコントローラは離散時間モデルで考えた方がいい制御系の速さよりも十分に制御周期が速ければコントローラ設計を連続時間のまま考えても問題ない離散時間 24

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離散時間モデルのシミュレーション 1. 離散時間コントローラのためにモデルを修正する実習 ZeroOrderHold 離散時間モデルでは微分・積分は近似になる制御ではBackword Eulerを使うのがおススメ実習5:離散時間コントローラを導入離散時間コントローラを使ってSimulinkで調整&シミュレーションをする 25

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離散時間モデルのシミュレーション実習 2. コントローラを調整する制御周期が応答より十分に速いと離散時間感がない応答を早くしていくと離散時間感が出てくる実習5:離散時間コントローラを導入 26

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離散時間モデルのシミュレーション 3. コントローラ出力(制御対象への入力を確認する) 実習コントローラの出力はモーター電圧の和目標値(制御対象の出力)は並進速度バッテリー電圧を4Vとすると、コントローラ出力は8V以内である必要がある実習5:離散時間コントローラを導入 27 速い応答を実現するために大きな入力を入れようとしてしまう

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現実世界の色々を盛り込むセンサーの分解能無駄時間フィルタの遅れ飽和マウスで発生する重要な現実要素最小分解能を設定上下限値を設定デジタルフィルタの伝達関数を設定左の例は移動平均フィルタ(N=4) 28

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現実世界の色々を盛り込む実習 • 飽和や量子化はPIDTunerでは考慮されない • 非線形要素なので • フィルターや遅延はPIDTunerで考慮される • 線形要素なので現実的な要素をいれてシミュレーションをしてみよう tap数Nの移動平均は実習6:色々盛り込んでシミュレーションする 29

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現実世界の色々を盛り込む • 非線形要素(飽和・量子化など)による影響はシミュレーションして確認するしかない • PIDTunerではステップ目標値に対する応答しか見られない • パラメータは実際にコントローラに入力する目標値に追従できればよい • マイクロマウスの速度制御では速度目標値は台形であることがおおい • ステップ目標値で大きく振動的になるパラメータでも、台形目標値では問題ないこともあるコントローラのパラメータ調整のポイント PID Tunerでの目標値マウス運用時の速度目標値変化が急変化が緩やか 30

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コントローラをプログラムで実装する r : 目標値 y : 計測値 u : コントローラ出力 // 前回から引き継がれる状態 // e_sum, e_prev, ud_prev e = r-y; e_sum = e_sum + I*Ts*e; up = P*e; ui = e_sum; ud = (ud_prev + D*N*(e-e_prev))/(1+N*Ts); u = up + ui + ud; e_prev = e; ud_prev = ud; 以下の形のコントローラに対するパラメータを求めることができたプログラムの雰囲気プログラムで実装しよう 31

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3.システム同定をする

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システム同定の手順マイクロマウス速度制御用簡単バージョン 1. ステップ応答を計測する • モーターに一定電圧をかけ続け、機体速度の変化を計測する • 並進方向と回転方向の2回行う 2. 同定を行う • MATLABのPID Tunerについてくるツールを使用する • ステップ応答から伝達関数を求めることが可能 33

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同定実験の詳細ステップ応答の計測方法 • サンプリング周期は制御周期と同じでOK • 並進方向と回転方向の2回実験を行う • 値が収束するまでデータを取る(右のグラフくらい) 例1 並進方向を同定するときバッテリー電圧 : 3.9V 右モーターのPWM Duty : 0.21 左モーターのPWM Duty : 0.19 3.9V*(0.21+0.19)=1.56Vを入力している状態例2 回転方向を同定するときバッテリー電圧 : 3.9V 右モーターのPWM Duty : 0.3 左モーターのPWM Duty : -0.3 34 真っ直ぐ走らせるためにDutyに差をつけるのはアリ 3.9V*(0.3+0.3)=2.34Vを入力している状態

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同定実験の詳細ポイント • 入力は一定値ならどの大きさでもよい • 小さすぎてちゃんと走らない、大きすぎてスリップしすぎるのはNG • 左右のモーターのDutyは異なっていてもよい(左右の和と差しか使わない) • 速度フィードバックをしない • 一定の電圧をモーターにかけるだけでよい • 車体は地面に置いて走らせる (空中でタイヤを空転させるのはNG) • モーターではなく、車体の動きを同定するため • 速度の計測値は生データではなく本番で使う値を使うのがおススメ • 制御にフィルタ後のデータを使う場合はフィルタ後のデータを同定にも使う • フィルタの特性を含めて同定することができるので楽 35

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配布データについてパラメータ値外形 60mm x 35mm 重さ 14g バッテリー電圧 4.0V(1cell 実験時の電圧) 機体の情報データについて • 並進方向のステップ応答、回転方向のステップ応答の測定結果が入っている • 並進方向の実験 trans1.csv, trans2.csv • 回転方向の実験 rot1.csv, rot2.csv • 並進速度(m/s)はエンコーダ、回転速度(rad/s)はジャイロから計算 • 2ms周期でサンプリング • 各実験時のモータのDuty 並進方向回転方向左 0.3 右 0.3 左 -0.2 右 0.2 36 並進速度, 回転速度

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配布データについて実習 plotFileName = 'trans1.csv'; rawData = load(plotFileName); vTrans = rawData(:, 1); vRot = rawData(:, 2); Ts = 0.002; N = length(rawData); t = 0:Ts:(N-1)*Ts; figure; subplot(1,2,1); plot(t, vTrans); grid on; xlabel('Time [s]'); ylabel('Translation Velocity [m/s]'); subplot(1,2,2); plot(t, vRot); grid on; xlabel('Time [s]'); ylabel('Rotational Velocity [rad/s]'); sgtitle(plotFileName); 事前に配布したサンプルデータを読み込み、並進速度と回転速度を並べたグラフを作ろう実習7: 配布データを読み込んでplotしよう 37

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PIDTunerで同定する実習 1. MATLABからPIDTunerを起動する pidTuner 2. 同定ツールを起動するサンプルデータを使ってモーター電圧の和→並進速度の伝達関数を同定しよう実習8: PID Tunerで同定する 38

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PIDTunerで同定する実習 3. 実験時の入出力データを読み込ませる入力の大きさは左右のモーター電圧の和 Duty x バッテリー電圧 x 2(左右) 並進速度の入った配列を指定するステップ応答の入出力を読み込ませるモード 2ms 実習8: PID Tunerで同定する 39

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PIDTunerで同定する実習 4. 実験データと伝達関数をすり合わせる Preprocess: 入出力データの前処理データにフィルタをかけたりできる Structure: システムの構造(次数・共振するか)の設定今回はたぶん1次(one pole)で十分 EditParameters: 伝達関数のパラメータを直接いじれる AutoEstimate: Structureの設定の範囲で自動調整とりあえず押してみよう見た感じ応答があっていそうなもののうち、最小の次数であるものを選ぶとよい実習8: PID Tunerで同定する 40

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PIDTunerで同定する実習 5. 同定結果を表示する伝達関数を表示伝達関数をMATLAB workspaceにexport 実習8: PID Tunerで同定する 41

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同定したモデルを利用するフィルタなどもまとめて同定した場合は Simulinkモデルから削除する同定結果を反映同定した伝達関数を使ってコントローラ設計と Simulinkでのシミュレーションをしよう実習9:同定したモデルをSimulinkモデルに反映する 42

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一連の流れマイクロマウスの速度制御のためのフロー 1. ステップ応答を得る実験をする 2. MATLABでシステム同定をして伝達関数を得る 3. Simulinkで制御系のモデルを作成する 4. PID Tuner でPIDコントローラのパラメータを調整する 5. Simulinkでシミュレーションをして検証する 6. マイコンに実装して実機テスト 43

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まとめ

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今日やったこと 1. 制御対象の数理モデルを扱う • 概念を知る • Simulinkでシミュレーションをする 2. PIDコントローラを設計する • PID TunerでPIDコントローラの調整をする 3. システム同定をする • ステップ応答から伝達関数を同定する 45

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参考資料書籍制御理論の入り口となるバイブル的な本システム同定はどういう流れで行うのか、なぜシステム同定ができるのかが分かる 46

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参考資料ブログ • id研/マイクロマウスの機体を同定する http://idken.net/posts/2017-06-02-systemident/ • MATLABでマイクロマウスの機体をシステム同定してPIDチューニングする. http://utcb.ikiu.me/MATLABSystemIdentification.html @dango_bot 47

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Appendix

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PIDTunerを使う(MATLAB) コマンドから起動 GUIなしで設計 pidTuner; pidTuner(G_inou); % 閉ループ系のゲイン交差周波数 wc = 0.1; [C Info] = pidtune(G_inou, ‘pid’,wc); 49 制御対象を与えて起動

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離散時間, 連続時間モデルの変換 c2dで変換できる Step応答を連続時間モデルと比較する % サンプリング周波数(制御周期) Ts = 0.001; % 連続時間モデル->離散時間モデルに変換 Gd_inou = c2d(G_inou, Ts); % パルス伝達関数を表示 Gd_inou 変数zを使ったパルス伝達関数で出てくる拡大すると違いが見える c2dはデフォルトでは0次ホールドによる変換が行われる c2d(sys, Ts, ‘tustin’)のようにすると双一次変換が行われる 50