Brownian Bridge Interpolation for Human Mobility? 著者: John Krumm, Microsoft Research 読む人: @cocomoff @論文読み会 2021/12/14

内容 「Brownian bridge」っていう簡単な確率的補間手法があるけど，これっ て人間の位置情報の補間に使えるのか? を調べるために，12M人のデータ に対して実際に適用してやってみた & 適用するために手法も確立した ブラウン橋 1/17

目次 内容 確率過程とブラウン橋 論文のResearch Question ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法 実験 2/17

確率過程とブラウン橋 (1/3) 確率過程: 時間などの条件によって変化する確率変数の数理モデル 雑な理解: のようなオブジェクトを扱う道具 マルコフ過程: が にのみ依存する ガウス過程: から任意に 個取り出して (略) したものが 常に多次元正規分布に従うような確率過程 ブラウン運動: 微粒子がランダムに運動する物理現象 ウィーナー過程: ブラウン運動の数学的なモデル 標準ブラウン運動: 以下を満たす確率過程 ， は定常増分を持つ， は増分の列が互い に独立になる， ，確率1で は連続 3/17 マルコフ過程のうち，取りうる値が加算個以下の場合，マルコフ連鎖と呼ばれるアレになる

確率過程とブラウン橋 (2/3) ブラウン橋: 標準ブラウン運動の定義域 を にのみ制限し， であるような標準ブラウン運動 実装的には， を標準ブラウン運動のオブジェクトとして， で定義されるような である 4/17

確率過程とブラウン橋 (3/3) 2次元のブラウン橋 (論文版): 2点 が観測済みで，その間をパラメー タ で補間するような確率過程 ただしパラメータは2点の線形補間 平均ベクトル: 分散は は唯一のパラメータ (diffusion coefficient と呼ばれる) 5/17

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論文のResearch Question ブラウン橋の手法的な立ち位置 ブラウン橋は人流データ補間に対してどういう性質を持つのか パラメータが でシンプルだけど，本当にOK? 2つの角度から検証する diffusion coefficient の consistency を確認する 既存手法が遅いので，最尤推定法を作った ブラウン橋とデータの間で統計的検定をしてみる 7/17

目次 内容 確率過程とブラウン橋 論文のResearch Question ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法 実験 8/17

点の取り方 ブラウン橋は2点の補間なので，人流データから点を抽出して計算する 論文で使ったデータ (左の範囲) 論文では「50km以内」「48時間以内」の点を使った パラメータ推定のために3点を抽出して推定する 右図の取り方が Horne triples と呼ばれている (traditional method) 本論文では全3点取る場合も考えて All triples と呼ぶ 論文データではHornが286,541,325個，Allが173,844,732,847個 9/17

最尤推定法 データ 位置 の尤度 データに 個の3点があるので， として最尤推定する 頑張って式展開すると以下が求まる ( ) 10/17

推定パラメータの使い方とデータ分割 | 個人単位 データ (例えば人流) に対してどのように推定値 を使うのか Horne triplesとAll triplesを計算し，データ中の個人が持つtriplesの個数 をカウントする (たぶん1つの を使っていいのか？を見たい) 11/17

個人をグループ分けして複数のパラメータを推定する | 分割単位 距離と時間の分かれぐらいでグループ分けして推定するのもアリ 分解能を とし，データ全体を で分け，全体で を1000分割， を576分割し，全部で576,000個に分割して個数を可視化 12/17

目次 内容 確率過程とブラウン橋 論文のResearch Question ブラウン橋のパラメータを求める最尤推定法 実験 13/17

Diffusion Coefficientsの推定 いろいろ推定した (individual vs collective, trimmed vs untrimmed) 結論 データでは人は単一の を持っていない Horne triplesとAll triplesでの差は大きくないが，傾向もない 簡単に関連付けて結論付ける方法はなさそう 14/17

統計的検定 | 平均ベクトルのHotelling's T-square test ブラウン橋では間の点 について を期待 帰無仮説: 期待ベクトルがゼロベクトルになる を変更した場合，どれぐらい検定が失敗するかのカーブを調べた Horn triplesを使うときはreasonableだが，all triplesでは…? 15/17

統計的検定 | ガウス分布の検定 2点の間を予測する確率が正規分布で書けることから，中間点が実際にガ ウス分布に従っているか？を検定で確認すれば良い (正規性の検定) と変数変換すると， である．今真の が分からないので， と設 定した (正規性を怖さないからOK，というノリ) Henze-Zirkler testを利用した (最新のmultivariate nomality test) 16/17

まとめ やりたかったこと: 人流補間にブラウン橋が使えるのか? 検討したこと の検証: 最尤推定を提案した上で計算すると，人流の共通パラメ ータはなさそう．1つ選ぶならmedianとかを使うのが良さそう データと比較した検定: (1) Horn triplesに対して，平均ベクトルはvalid (2) データはほとんどガウス分布に従っていないので，ブラウ ン橋はデータの補間として正確ではない そのためシンプルなブラウン橋でのタイトルへの答えは No 今後の課題 より複雑な過程，他の確率的な補間の検証，データからの学習 17/17