感染症の数理 セミナー(9) Nov 1, 2024 @NIID 国立感染症研究所 第12室長 米岡 大輔

目次 1. 感染症のコンパートメントモデル 2. 基本再生産数 3. 最終流行規模 4. R実装 5. 人口の異質性とSIR 6. 再生産方程式とエボラ vs インフル 7. R 0 の推定方法（流行初期） 8. 内的増殖率の検定 9. Effective distance 10. 分岐過程 (Branching process) 11. 大規模流行確率と水際対策 12. Backcalculation 本書の内容をカバーします。 具体的なコードなどは右の本 詳細なプログラムなどは https://github.com/objornstad/epimdr/tree/ master/rcode (結構間違ってる。。。) 2/48

はじめに 本セミナーシリーズは数理重めです。 簡単な微分/積分、線形代数が出てきます。 なるべく平易に解説しますが、完全に数学アレルギーの方はここ で終わられることをおすすめします。 セミナー終了時にはある程度次のパンデミックに向けて、 （ある程度） 数理モデリングができるようになることを目標としてます。 自由参加なので、もし無理そうならお気軽に休んでください。 3/20

致命割合と人口規模の被害 死亡リスクの推定をしたい • 個人における死亡リスク = 致死割合 (CFR: Case fatality ratio) • 確定診断者数を分母にした場合：cCFR (confirmed CFR) • 発病者を分母にした場合：sCFR (symptomatic CFR) • 集団における死亡リスク = 一つの流行あたりの人口における死亡者数 • CFRの推定は累積患者数Ctと累積死亡者数Dtを用いて でいいのか？ →もちろんダメ．Ctは右側打ち切りを受けている 58 ここは致命割合 ここは結局，最終規模 (つまりR0の関数) 実際は分母分子ともに実データを揃えるのは大変！ (cf. インフルの感染者 incl. 受診しない人，症状の 出ない人，を推定する必要)

Dt/Ctにおけるバイアス • Dt/Ctでやると(c)CFRは低めにバイアスされる • 証明は簡単 • p：致命割合 • c h ：時点hにおける感染者数 • f：（死亡者中）の感染から死亡までの時間のpdf • じゃあどうすればいいのさ？ • pも打ち切りを考慮した推定量にすればいい 59 Atは時刻tまでに死亡 リスクがある感染者数 この部分が underestimation factor t→∞で等号成立 上は単に，死亡の二項分布を仮定した 右のような尤度関数の最尤推定量

CFRの欠点1 欠点というか注意点 1. 死亡リスクの異質性 • 年齢，基礎疾患による違いを考慮しないといけない • ある層iの致命割合p i が既知ならば，全体の致命割合は累積感染者数Ciを用いて • 最終規模z(t→∞で何％が感染するか)がわかると，層iの人口をNiとすると被害規模は • 全体での被害規模は 60

CFRの欠点2 欠点というか注意点 2. 致命割合の比較 • 感染症AとBを比較したい • そのとき，分母と分子の測り方は同じか？ • もし同じなら，母比率の差の検定（同等だが，2×2分割表の独立性検定）すればいい • サンプルサイズが小さければ，超幾何分布を用いたFisher’s exact testすればいい • 普通の疫学統計と同じですね． • 最終的な人口あたりの死亡者割合は，最終規模z，感染時の発病確率u，cCFRのpの積 • 季節性インフルは人口10万人あたり8-9人の死亡 • （適当だが）ある感染症がz=60%， u=2/3，p=0.22%とすると人口10万人あたり80人程度死亡 61

野田らの研究（第 74 回新型コロナウイルス感染症対策アドバイザリーボード資料） 62

CFRの欠点3 欠点というか注意点 3. 致命割合が伝播に与える影響 • 致命割合を上げすぎると，R 0 が低くなり，進化の方向としては不利に • 多くの場合，R 0 は以下のような比の形． • 伝達係数β，死亡率α（致命割合pの増加関数），回復率γ，自然死亡率δ • だけど，変異株などはこのルートに乗らない • 基本再生産数R 0 とCFRをあわせてPademic potentialという専門的呼称 63 R 0 を上げたい→αが下がる→毒性は低下