ざっと学んでみる確率過程〜その1 : ブラウン運動〜

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0 ざっと学んでみる確率過程〜その1 : ブラウン運動〜 2024-01-19 第75回NearMe技術勉強会 Kaito Asahi

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1 確率過程とは？の前に... 確率ってなんですか？

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2 確率過程とは？の前に... 確率ってなんですか？ → なんかいろんなものがある程度でるな...（サイコロを振って、1の⽬が1, 2回出る） → どのくらいでこれは出るのかな？（サイコロ10回振ったら、1の⽬はどのくらい） → こんな傾向があるよな？ということを定量的に表せないか？（確率の必要性） → 確率を可視化したいね（確率分布の必要性）

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3 確率過程とは？確率過程の定義

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4 確率過程とは？確率過程の定義 → 下線部分を確認しておきましょう

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5 確率過程とは？確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか？ A : ● 標本全体の集合（標本空間） ● 確率の⼤きさを測るために必要な指標（σ - 加法族） ● 確率というものを定量的に計算するためのもの（確率測度） ○ 標本空間から、実数（空間）への写像など（）

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6 確率過程とは？確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか？ A : ● 標本全体の集合（標本空間） ● 確率の⼤きさを測るために必要な指標（σ - 加法族） ● 確率というものを定量的に計算するためのもの（確率測度） ○ 標本空間から、実数（空間）への写像など（）コインを投げる時、{{}, {表}, {裏}, {表, 裏}, {裏, 表}}

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7 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） ● 必要なパラメータ（定数を含む） ○ ：質量（kg） ○ ：速度ベクトル（m/s） ○ ：外⼒（N） ○ ：時間（s） ● 基本の運動⽅程式（質量の時間変化は無視：基本は、運動量の時間変化が⼒となる）

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8 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） ● ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動（粘性⼒による影響）（：減衰パラメータ）として、

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9 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） ● ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動（粘性⼒による影響）（：減衰パラメータ）として、これでは、ランダムな運動は表せない

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10 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） ● ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動（粘性⼒による影響）（：減衰パラメータ）として、これでは、ランダムな運動は表せない → Aは定ベクトルで、1方向にのみ推進

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11 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） ● ランダム⼒を加える（：単位質量当たりのランダム⼒）として、 ※具体的な解法はAppendixスライドにて

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12 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため（ランダム⼒を含む⼒学） ● ランダム⼒を加える（：単位質量当たりのランダム⼒）として、ここの積分値が分からない...

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13 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分）⼀般化しておく ※以下を仮定

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14 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分）

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15 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） ● となる※ を導⼊する ※形式的に、これにより、⼀般的な関数 f(s) を W での積分の形で表すことができた！！ ※過去の勉強会資料を参照：これはブラウン運動を仮定 https://speakerdeck.com/nearme_tech/kuo-san-moderunogai-yao-ss1-kuo-san-moderudeshi-wareruque-lu-wei-fen-ch eng-shi-nituite?slide=13

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16 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） ● 伊藤積分で成り⽴つこと 1. （期待値） 2. （等張性）

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17 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） ● 伊藤積分で成り⽴つこと 3. （マルチンゲール） 4. （線形性）

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18 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） ● を導⼊することで、確率微分⽅程式！！！！

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19 2. 伊藤積分（確率積分） ● もう少しこの確率微分⽅程式を⾒てみよう具体的な確率過程〜ブラウン運動〜ドリフト項拡散項

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20 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分（確率積分） ● 確率微分⽅程式を⼀般化ドリフト項拡散項

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21 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの：変数変換 ※3次以降の項は無視する

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22 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの：変数変換 ※3次以降の項は無視するここから

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23 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換）ただし、伊藤ルール

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24 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換）ただし、伊藤ルールブラウン運動であるので、は標準偏差の正規分布に従うことから導ける。

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25 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換）

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26 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換）

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27 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） ● 具体例： ,

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28 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式（とても便利な変数変換） ● 具体例： ,

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29 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分！！ ● 具体例： 4-1. 期待値：

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30 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分！！ ● 具体例： 4-2. 分散：

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31 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分！！ ● 具体例： 4-3. 従う確率分布：定常確率密度分布（正規分布に従う！！）

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32 参考⽂献 1. 機械学習のための確率過程入門確率微分方程式からベイズモデル，拡散モデルまで（https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274231087/） 2. σ加法族と可測空間の定義・基本的な性質をわかりやすく（https://mathlandscape.com/sigma-ﬁeld/） 3. 伊藤の公式を直感的に理解する(追記：ブラック・ショールズモデル（https://www.monte-carlo-note.com/2018/09/Ito-Formula.html）

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33 Appendix

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34 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 ● 以下の線形常微分⽅程式を解く

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35 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 ● として導いた以下の解を⽤い、定ベクトルを時間依存にする

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36 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 ● として導いた以下の解を⽤い、定ベクトルを時間依存にする