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0 ざっと学んでみる確率過程 〜その1 : ブラウン運動〜 2024-01-19 第75回NearMe技術勉強会 Kaito Asahi

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1 確率過程とは?の前に... 確率ってなんですか?

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2 確率過程とは?の前に... 確率ってなんですか? → なんかいろんなものがある程度でるな...(サイコロを振って、1の⽬が1, 2回出る) → どのくらいでこれは出るのかな?(サイコロ10回振ったら、1の⽬はどのくらい) → こんな傾向があるよな?ということを定量的に表せないか?(確率の必要性) → 確率を可視化したいね(確率分布の必要性)

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3 確率過程とは? 確率過程の定義

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4 確率過程とは? 確率過程の定義 → 下線部分を確認しておきましょう

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5 確率過程とは? 確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか? A : ● 標本全体の集合(標本空間) ● 確率の⼤きさを測るために必要な指標(σ - 加法族) ● 確率というものを定量的に計算するためのもの(確率測度) ○ 標本空間から、実数(空間)への写像など( )

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6 確率過程とは? 確率空間について → 確率を定義するために必要な空間 Q : 確率を定義するために何が必要でしょうか? A : ● 標本全体の集合(標本空間) ● 確率の⼤きさを測るために必要な指標(σ - 加法族) ● 確率というものを定量的に計算するためのもの(確率測度) ○ 標本空間から、実数(空間)への写像など( ) コインを投げる時、{{}, {表}, {裏}, {表, 裏}, {裏, 表}}

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7 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) ● 必要なパラメータ(定数を含む) ○ :質量(kg) ○ :速度ベクトル(m/s) ○ :外⼒(N) ○ :時間(s) ● 基本の運動⽅程式(質量の時間変化は無視:基本は、運動量の時間変化が⼒となる)

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8 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) ● ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動(粘性⼒による影響) ( :減衰パラメータ)として、

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9 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) ● ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動(粘性⼒による影響) ( :減衰パラメータ)として、 これでは、ランダムな運動は表せない

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10 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) ● ⼀般的なStokes抵抗を受ける運動(粘性⼒による影響) ( :減衰パラメータ)として、 これでは、ランダムな運動は表せない → Aは定ベクトルで、1方向にのみ推進

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11 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) ● ランダム⼒を加える ( :単位質量当たりのランダム⼒)として、 ※具体的な解法はAppendixスライドにて

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12 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 1. ブラウン運動を理解するため(ランダム⼒を含む⼒学) ● ランダム⼒を加える ( :単位質量当たりのランダム⼒)として、 ここの積分値が分からない...

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13 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ⼀般化しておく ※以下を仮定

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14 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分)

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15 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ● となる※   を導⼊する                        ※形式的に、 これにより、⼀般的な関数 f(s) を W での積分の形で表すことができた!! ※過去の勉強会資料を参照:これはブラウン運動を仮定 https://speakerdeck.com/nearme_tech/kuo-san-moderunogai-yao-ss1-kuo-san-moderudeshi-wareruque-lu-wei-fen-ch eng-shi-nituite?slide=13

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16 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ● 伊藤積分で成り⽴つこと 1. (期待値) 2. (等張性)

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17 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ● 伊藤積分で成り⽴つこと 3.                            (マルチンゲール) 4.                                 (線形性)

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18 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ● を導⼊することで、 確率微分⽅程式!!!!

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19 2. 伊藤積分(確率積分) ● もう少しこの確率微分⽅程式を⾒てみよう 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 ドリフト項 拡散項

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20 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 2. 伊藤積分(確率積分) ● 確率微分⽅程式を⼀般化 ドリフト項 拡散項

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21 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの           :変数変換 ※3次以降の項は無視する

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22 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) → 確率微分⽅程式にて、変数変換を⾏うもの           :変数変換 ※3次以降の項は無視する ここから

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23 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) ただし、 伊藤ルール

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24 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) ただし、 伊藤ルール ブラウン運動であるので、  は標準偏差   の 正規分布に従うことから導ける。

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25 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換)

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26 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換)

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27 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) ● 具体例: ,

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28 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 3. 伊藤の公式(とても便利な変数変換) ● 具体例: ,

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29 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分!! ● 具体例: 4-1. 期待値:

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30 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分!! ● 具体例: 4-2. 分散:

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31 具体的な確率過程〜ブラウン運動〜 4. 伊藤の公式の良い部分!! ● 具体例: 4-3. 従う確率分布: 定常確率密度分布(正規分布に従う!!)

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32 参考⽂献 1. 機械学習のための確率過程入門 確率微分方程式からベイズモデル,拡散モデル まで(https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274231087/) 2. σ加法族と可測空間の定義・基本的な性質をわかりやすく (https://mathlandscape.com/sigma-field/) 3. 伊藤の公式を直感的に理解する(追記:ブラック・ショールズモデル (https://www.monte-carlo-note.com/2018/09/Ito-Formula.html)

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33 Appendix

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34 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 ● 以下の線形常微分⽅程式を解く

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35 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 ● として導いた以下の解を⽤い、定ベクトル を時間依存にする

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36 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜 ● として導いた以下の解を⽤い、定ベクトル を時間依存にする

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37 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜

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38 Appendix 〜⾮⻫次項を含む線形常微分⽅程式の解法〜

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39 Thank you