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グラフ理論-catupper 辺彩色

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問題です ● プロジェクトがN個、生徒がM人います ● 各生徒はいくつかのプロジェクトに参加し ています ● プロジェクトは、それに参加している生徒 全員の課題が終われば完了します – 進捗はダメダメです

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問題です ● プロジェクトがN個、生徒がM人います ● 各生徒はいくつかのプロジェクトに参加し ています ● プロジェクトは、それに参加している生徒 全員の課題が終われば完了します – 進捗はダメダメです

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問題です ● 生徒たちはアイドルに励まされるとやる気を出して、一 つだけ課題を終了できます。 – 課題は励ましたアイドルがプロジェクトに提出します ● 飽きぽいので二度目はやる気が出ません ● プロジェクトリーダーも飽きっぽいので同じアイドルか ら1個しか課題を受け取りません。 ● アイドルは何人必要でしょうか。

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迫真 とけましたか？

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本題 辺彩色

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本題

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辺彩色とは ● 与えられたグラフの辺に色を付ける ● ただし、隣接する辺は同じ色で塗ってはいけない – 隣接する:=頂点を共有する ● 使う色種を小さくしたい ● 右の例は5-辺彩色 ● 実は4色でも可能

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強力な定理 ● Vizingの定理 – 任意のグラフの辺彩色数は グラフの最大次数Dに一致するか、 D+1に一致する ● つよい！

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ちなみに ● 頂点彩色は上界として最大次数が与えられるが、下界は どんなときでも2だったりする – 二部グラフは好きなだけ次数をあげることができる ● それにくらべれば値が二通りに絞れる辺彩色の定理は強 い – さいきょう

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例 D = 4　　4-辺彩色

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さらにおもしろい定理 ● Konigの定理 – 任意の二部グラフの辺彩色数はその最大 次数と一致する 　 　 　 　

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さらにおもしろい定理 ● Konigの定理 – 任意の二部グラフの辺彩色数はその最大 次数と一致する ● 一致する ● 一致する ● 一致する ● 一致する

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帰納法で 証明しよう！

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証明 ● グラフの辺の数が n 未満の時に定理が成立してると仮定 ● 辺の数が n のグラフ G についてひとつの辺 e を選ぶ – 最大次数はDとする ● G – eはD色で辺彩色可能 ● とりあえずG - eをD色でぬりわける

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This is G(二部グラフ) ● 辺eは頂点XとYを結ぶ ● 最大次数D = 3

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適当に塗ってみる

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eのまわりに注目 ● XもYもD-1色以下で彩色使われてない色がある ● 共通の使われてない色があ ったら、eはその色 ● 無いと仮定して証明を続ける ● Xにない色を黄色 ● Yにない色を青色 ● とする

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Xからてくてく歩く ● Xには必ず青色があるので, Xからはじまる青黄青黄...と なる最長のパスを探す

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Xからてくてく歩く ● Xには必ず青色があるので, Xからはじまる青黄青黄...と なる最長のパスを探す

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このパスは閉路でない ● Xには黄色がつながっていないので閉路にはならない

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このパスはYで終わらない ● 二部グラフなのでYに入る辺は黄色でないといけない – Yに黄色はつながっていないので矛盾

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パスの青と黄色を入れ替えても良い ● パスが通る頂点に接続している青と黄色はこのパスに使 われている(再長性より). よって入れ替えても問題ない

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いれかえるとうれしい！ ● XとYのつながってない色が異なる

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いれかえるとうれしい！ ● XとYのつながってない色が等しい！

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青い線がひけるんだなぁ ● 元のグラフ

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青い線がひけるんだなぁ ● いれかえたあと

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完成！ ● G-eがD辺彩色可能なら　Gも可能！

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Q.E.D. ● 辺の数がDのときとかは自明にD辺彩色可能なので ● 帰納法による題意は示された！ ● Q.E.D. !

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ところで 冒頭の問題はどう解くのか？

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進捗はダメダメです ● プロジェクトリーダーと生徒を頂点として二部グラフを 作る ● 辺をアイドルとする ● 問題は二部グラフにおける辺彩色となる ● さっきの定理を証明済みとすると – 最大次数をもとめるだけ 　

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進捗はダメダメです ● プロジェクトリーダーと生徒を頂点として二部グラフを 作る ● 辺をアイドルとする ● 問題は二部グラフにおける辺彩色となる ● さっきの定理を証明済みとすると – 最大次数をもとめるだけ ● ✌('ω' ) ✌ 三✌('ω')✌三( 'ω') ✌ ✌

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わかりやすい例 プロジェクトリーダー 生徒ども

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辺がブラック....(察し 課題たち

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正義のアイドルたち

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正義のアイドルたち

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ご清聴ありがとうございました

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グラフ楽しい グラフ楽しい！！ ✌('ω'✌ )三✌('ω')✌三( ✌'ω')✌