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化学プロセスシステム工学 第１０回 2018年12月13日 (木) 0 理工学部 応用化学科 データ化学工学研究室 専任講師 ⾦⼦ 弘昌

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前回までの復習 制御したい対象があったとき、どうする︖ 1

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流体加熱プロセス 2 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output

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連続槽型反応器 連続槽型反応器 (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) • 反応︓⼀次反応の A → B とする • 流⼊する A の濃度 CAi で流出する A の濃度 CA (Bの濃度) を制御 3 CAi , F CA , F V, T, rA F [m3・min-1]︓⼊⼝・出⼝流量 CAi [kmol・m-3]︓⼊⼝のAの濃度 CA [kmol・m-3]︓CSTR内のAの濃度 V [m3]︓CSTR内の液体体積 T [K]︓CSTR内の液体温度 i ︓input o︓output rA [kmol・m-3 m2]︓Aの反応速度

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タンクの液面高さ(液レベル)制御 4 A Fi Fo Fi [m3・s-1]︓⼊⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 L [m2]︓タンクの液レベル A [m2]︓タンクの断面積 (5 とする) x [-]︓バルブの弁解度 i ︓input o︓output バルブの弁開度 x で液面高さ (液レベル) L を制御 L x

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少し複雑な流体加熱プロセス︓問題設定 5 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２ 加熱量 Q で、タンク２の温度 T を制御

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設定値変更してみよう 2500 s・・・まで設定値 25℃ それ以降・・・設定値 30℃ 6

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外乱を加えてみよう 設定値︓ 25 ℃ 2500 s から F を 0.00003 に 7

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PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため • 微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) • ⽐例項の影響により、⼊⼒変数もステップ状になる ⁃ ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) 8

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微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) PID制御の微分項について、e(t) ではなく制御変数 y(t) を微分する 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K e t e r dr T u T dt   = + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数

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⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) PID制御の⽐例項についても、e(t) ではなく制御変数 y(t) にする 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K y t e r dr T u T dt   = − + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓⼊⼒変数

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PID制御 これから ⼀次遅れモデル 二次遅れモデルでは︖ 11 ( ) ( ) ( ) C p dy t T y t K u t dt + = ( ) p C 1 exp t y t K T     = − −           のステップ応答が になったのはどうして︖ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = 微分方程式を解いたり式変形したりする必要がある

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簡単にやりたい︕ ラプラス変換を使おう︕ 12 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界)

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よく使うラプラス変換の特性 ① 線形性 ② 合成積 ③ 積分 ④ 微分 13 ( ) ( ) ( ) ( ) L a f t b g t a L f t b L g t       + = +       ( ) ( ) ( ) ( ) 0 L f t r g r dr L f t L g t ∞       − =          ( ) ( ) 0 1 L f r dr L f t s ∞     =        ( ) ( ) ( ) 0 df t L sL f t f dt     = −      

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よく使うラプラス変換の特性 ⑤ n 回微分 ⑥ むだ時間 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 ' 0 0 n n n n n n d f t L s L f t s f s f f dt − − −     = − − −       ⋯ ( ) ( ) ( ) exp L f t r rs L f s     − = −    

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よく使うラプラス(逆)変換 15 t (時間) 領域 s 領域 (あっちの世界) a s 2 1 s 1 s a + ( ) exp at − ( ) sin t ω ( ) cos t ω 2 2 s ω ω + 2 2 s s ω + a t

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⼀次遅れモデル まとめ 16 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) S S C 1 K K Y s s s T = − + ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ステップ応答 ( ) 1 U s s = ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −          

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[練習] 流体加熱プロセス 17 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +

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[練習] 流体加熱プロセス 18 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 DIFF DIFF P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − として、

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[練習] 流体加熱プロセス 19 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +

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[練習] 流体加熱プロセス 20 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 DIFF DIFF P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − として、

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[練習] 流体加熱プロセス 21 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ︖ ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − +

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[練習] ラプラス変換 22 をラプラス変換すると、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF DIFF P DIFF DIFF P DIFF P 1 0 1 1 1 F sL T t T L T t L Q t V V c F sT s T s Q s V V c T s Q s F V c s V ρ ρ ρ       − = − +       = − + = + ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − +

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[練習] ステップ応答 23 ( ) 1 Q s s = 0 → 1 のステップ応答のとき、 より、 ( ) DIFF P P 1 1 1 1 T s F V c s s V F V c s s V ρ ρ = + =   +    

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[練習] ラプラス逆変換のための式変形 24 1 a b F F s s s s V V = +   + +     とする、 ( ) 1 F a b s a V F F s s s s V V + + =     + +         よって、 0 a b + = 1 F a V = ２つの式より、 V b F = − V a F =

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[練習] ラプラス逆変換 25 ( ) DIFF P P P 1 1 1 1 1 1 1 T s F V c s s V V F F V c F s F c s s s V V ρ ρ ρ =   +             = − = −         + +     ラプラス逆変換すると、 ( ) DIFF P 1 1 exp F T t t F c V ρ     = − −        

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[練習] 流体加熱プロセス 26 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − + ( ) DIFF P 1 1 F T t t F c V ρ   = −    

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１次遅れモデルとの⽐較 27 時定数 (TC ) は︖ 定常ゲイン (KS ) は︖ 以前に計算したものと⽐較してみよう ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           ( ) DIFF P 1 1 exp F T t t F c V ρ     = − −        

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伝達関数 28 ( ) ( ) ( ) S C 1 Y s K G s U s T s = = + G(s) を 伝達関数 と呼び、プロセスの⼊⼒と出⼒との間の関係を表す Y(s) = G(s)U(s) 出⼒ = 伝達関数 × ⼊⼒ ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 １次遅れモデル

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[練習] １次遅れ＋むだ時間 モデルの伝達関数は︖ tD [s]︓むだ時間 29 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 １次遅れモデル ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − １次遅れ+むだ時間 モデル ラプラス変換 ︖

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[練習] ラプラス変換 30 ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = − ( ) ( ) ( ) ( ) S C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − +

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[練習] ２次遅れモデルの伝達関数は︖ ２次遅れモデル (２次遅れ系、２次遅れプロセス、２次遅れ要素) 減衰係数 DF の値 (の範囲) によって異なる挙動を⽰す • 後で詳しくやります ただし、y(0) = 0, y’(0) = 0 とする 31 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = a︓パラメータ (定数) DF ︓減衰係数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数)

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[練習] ラプラス変換 32 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 a s Y t D asY t Y t K U s + + = ( ) ( ) ( ) P 2 2 F 2 1 Y s K G s U s a s D as = = + +

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[練習] PID制御の伝達関数は︖ PID制御 ただし、u(0) = 0, e(0) = 0 とする 33 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      t [s]︓時刻 e︓制御変数の偏差 u︓操作変数 KP ︓⽐例ゲイン (定数) TI ︓積分時間 (定数) TD [s]︓微分時間 (定数)

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[練習] ラプラス変換 34 ( ) ( ) ( ) I 1 1 P D U s G s K T s E s T s   = = + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) I 1 P D U s K E s E s T sE s T s   = + +    

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ブロック線図 s 領域において、箱(伝達関数) と 線 (⼊⼒・出⼒) で表したモノ メリット︓プロセスが複数あるとき、⾒通しがよくなる • プロセスシステム・・・単位操作のプロセス (工程) を組み合わせたもの • プラント・・・装置を組み合わせたもの 35 G(s) U(s) Y(s) ⼊⼒ プロセス (伝達関数) 出⼒ Y(s) = G(s)U(s)

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ブロック線図 直列結合 36 Greaction (s) U(s) Ym (s) ⼊⼒ 反応プロセス (伝達関数) 出⼒ Gseparation (s) 分離プロセス (伝達関数) ⼊⼒ Y(s) 出⼒ Ym (s) = Greaction (s)U(s) Y(s) = Gseparation (s) Ym (s) Y(s) = Greaction (s) Gseparation (s) U(s) プロセス全体の伝達関数は、Greaction (s) Gseparation (s) それぞれ、プロセスの出⼒を伝達関数の式で表してみよう︕

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ブロック線図 並列結合 交じるときは、符号を書く 37 Greaction1 (s) U(s) Ym1 (s) 反応プロセス1 (伝達関数) Greaction2 (s) 反応プロセス2 (伝達関数) Ym2 (s) Y(s) + + 全体の伝達関数を求めてみよう︕ Greaction1 (s) + Greaction2 (s)

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ブロック線図 フィードバック結合 38 Greaction (s) U (s) Y(s) 反応プロセス (伝達関数) Grecycle (s) リサイクルプロセス (伝達関数) + + Um (s) Ym (s) 全体の伝達関数を求めてみよう︕ ( ) ( ) ( ) reaction reaction recycle 1 G s G s G s −

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ブロック線図 フィードバック結合 計算過程 39 ( ) ( ) ( ) m m U s U s Y s = + ( ) ( ) ( ) reaction m Y s G s U s = ( ) ( ) ( ) m recycle Y s G s Y s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reaction m reaction m reaction recycle Y s G s U s G s U s Y s G s U s G s Y s = = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reaction reaction recycle 1 G s Y s U s G s G s = − よって、

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ブロック線図 フィードバック制御 40 GFB (s) T(s) Y(s) フィードバック制御 (伝達関数) Gprocess (s) − + E(s) 全体の伝達関数を求めてみよう︕ ⼊⼒︓T(s)、出⼒︓Y(s) ( ) ( ) ( ) ( ) process FB process FB 1 G s G s G s G s + プロセス (伝達関数) U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差

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ブロック線図 フィードバック制御 計算過程 41 ( ) ( ) ( ) FB U s E s G s = ( ) ( ) ( ) E s T s Y s = − ( ) ( ) ( ) process Y s G s U s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) process process FB process FB Y s G s U s G s E s G s G s G s T s Y s = = = − よって、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) process FB process FB 1 G s G s Y s T s G s G s = + 目標値と、プロセス・フィードバック制御の伝達関数がわかれば、Yがわかる

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ちなみに・・・PID制御のブロック線図 PID制御の伝達関数は︖ 以前のクイズ参照 42 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 ( ) FB P D I 1 1 G s K T s T s   = + +     P D I 1 1 K T s T s   + +    

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いろいろなプロセスでPID制御系の伝達関数 いろいろなプロセスでPID制御系の全体の伝達関数を求めてみよう • ⼀次遅れ • ⼀次遅れ + むだ時間 • 二次遅れ • 流体加熱プロセス (水槽１つ) • 流体加熱プロセス (水槽２つ) • CSTRプロセス • 水槽の液レベル制御 43

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PID制御のブロック線図 外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) Y, D, T, 伝達関数のみで表すと︖ 44 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 ( ) FB G s + + D(s) ( ) FB P D I 1 1 G s K T s T s   = + +    

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PID制御のブロック線図 外乱があるときは︖ 外乱︓D(s) 45 T(s) Y(s) フィードバック制御 Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 P D I 1 1 K T s T s   + +     + + D(s)

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微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • PID制御 • 微分先⾏型PID制御 46 ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sY s T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sE s T s   = + +    

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微分先⾏型PID制御のブロック線図は︖ 47 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 1 T s + P K D T s + − ( ) ( ) ( ) ( ) D I 1 P U t K E t E t T sY t T s   = + −    

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I-PD制御のブロック線図は︖ まずはラプラス変換 • 微分先⾏型PID制御 • I-PD制御 48 ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K y t e r dr T T dt   = − + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D 0 I 1 t dy t u t K e t e r dr T T dt   = + −      ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K E s E s T sY s T s   = + −     ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K Y s E s T sY s T s   = − + −    

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I-PD制御のブロック線図は︖ 49 T(s) Y(s) Gprocess (s) − + E(s) プロセス U(s) T(s)︓目標値 E(s)︓目標値との偏差 + + D(s) I 1 T s P K D 1 T s + + − ( ) ( ) ( ) ( ) P D I 1 U s K Y s E s T sY s T s   = − + −    

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[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス これは何結合︖ 50 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２

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[練習] 少し複雑な流体加熱プロセス 51 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓⼊⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓⼊⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２

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[練習] 伝達関数を求めよう︕ 52 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + タンク１ タンク２ mDIFF m i T T T = − として、 mDIFF mDIFF 1 1 P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − ( ) DIFF mDIFF DIFF 2 dT F T T dt V = − タンク１、タンク２の伝達関数をそれぞれ求めて、 全体の伝達関数を求めてみよう︕

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[練習] 伝達関数 53 タンク１ タンク２ ( ) ( ) ( ) mDIFF P 1 1 T s Q s c V s F ρ = + ( ) ( ) DIFF mDIFF 2 F T s T s V s F = + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) DIFF P 1 2 2 2 P 1 2 P 1 2 P F T s Q s c V s F V s F F Q s c VV s c F V V s c F ρ ρ ρ ρ = + + = + + + ⾒たことは︖

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２次遅れモデル 54 ( ) ( ) S 2 2 F 2 1 K Y s U s a s D as = + + 少し複雑な流体加熱プロセスは二次遅れモデルの１つだった︕ 今回の系では、一次遅れ＋むだ時間 モデルと似ている

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２次遅れモデルのPID制御のパラメータ ２次遅れモデルのPID制御のパラメータについて考える １次遅れモデル＋むだ時間 モデルのパラメータ決定法はあったけど、 ２次遅れモデルは︖ 内部モデル制御 (Internal Model Control, IMC) 法 • ラプラス変換・伝達関数・ブロック線図を学んだ今ならできる︕ 55