統計学入門講座 第8回　2標本t検定 てくますプロジェクト 

てくますプロジェクトについて ● てくますプロジェクトは, 「考える楽しさを探そう！」が合言葉の, 数学と情報科学の学習コミュニティです. ● 数学や情報科学は, 誰にとっても役立ち, 趣味としても楽しめるものです. その魅力を伝えるために, 私たちは活動しています. ● 輪読会や講座の実施, 記事などのコンテンツ制作を行っています. ● X などで宣伝いただけると大変嬉しいです. （#てくますプロジェクト） ● 講師はゆっきん（桑原）が担当します. ○ 数学教師→システムエンジニア→プログラミング講師 ○ 数学, プログラミング, ボードゲームが好きです. ○ てくますプロジェクトやボードゲームコミュニティの運営を 行っています. 

本講座について ● 本講座は統計学を初めて学ぶ方や, 学び直したい方を対象としています. 本講座の前半は高校数学レベル, 後半は大学教養レベルです. 統計検定２級を目指す方にも適した内容です. ● 本講座は各回, 前半で知識のインプット, 後半で問題演習を行います. ● 高校や大学以外で数学を学ぶことのできる貴重な場です. 数学を学びたい人たちが集まっていますので, ぜひ交流してください！ ● 本講座作成にあたり, 特に参考にした本を 右に挙げておきます. ２冊ともオススメです. ● 後ろから顔が映らないように写真を撮ることがあります. ご了承ください. 

スケジュール 第１回 データの整理 2024/10/07 第４回 確率分布 2024/12/02 第３回 確率の基本 2024/11/18 第２回 データの散らばり 2024/10/28 第５回 検定の枠組み 2024/12/16 第８回 2標本t検定 2025/02/10 第６回 母平均の検定 2025/01/06 第７回 母分散, 母比率の検定 2025/01/27 本講座は全８回です. 各回の内容は以下の通りです. 

目次 1. 対応のある2標本のt検定 ある新薬が患者の血圧を下げる効果があるかを検証するために, 同じ患者の新薬服用前の血圧と 服用後の血圧を比べることを考えます. （このとき, 各患者のデータはペアになっているので, 2標本に対応があると言います.） 2. 対応のない2標本のt検定 ある新薬が患者の血圧を下げる効果があるかを検証するために, 新薬を服用したグループの患者 と新薬を服用していないグループの患者の血圧を比べることを考えます. （このとき, データはペアになっていないので, 2標本に対応がないと言います, ） 

対応のある2標本のt検定 

ある新薬が患者の血圧を下げる効果があるかを検証するために, 5人の患者を対象に実験を行いま した. 各患者の新薬服用前の血圧と2週間服用した後の血圧を測定し, 以下のデータを得ました. 新薬が血圧を有意に下げるか検定しましょう. 有意水準は 5%（両側検定）とします. 対応のある2標本のt検定 新薬服用前と服用後で母平均に差があるかどうかを調べます. 患者1 患者2 患者3 患者4 患者5 新薬服用前の血圧 150 135 145 155 148 新薬服用後の血圧 140 133 148 150 142 対応あり 

対応のある2標本のt検定 対応のある2標本の場合, 対応する2つの観測値の差 d が重要です. 差 d の母平均が 0 であるかどうかを検定する問題と考えれば, 第6回で取り扱った母平均の検定と同じよ うに解けるからです. 差 d の標本平均の分布は ● 平均値：差 d の母平均と同じ ● 標準偏差： 患者1 患者2 患者3 患者4 患者5 新薬服用前の血圧 150 135 145 155 148 新薬服用後の血圧 140 133 148 150 142 差 d -10 -2 3 -5 -6 は分からないので s で代用して, Student化する. 

対応のある2標本のt検定 観測された差 d の標本について 標本平均： 標本分散： 標本標準偏差： よって, -4 をStudent化すると, 自由度 5-1=4 のt分布の棄却域の境目は±2.76なので, 1.84は棄却域に入っていません. つまり, 新薬が血圧を下げる効果があると統計的に有意に言うことはできません. 帰無仮説より 

対応のない2標本のt検定 

ある新薬が患者の血圧を下げる効果があるかを検証するために, 異なる2つのグループを準備し, 片方のグループAには薬を投与し, もう片方のグループBには薬を投与しませんでした. 2週間後, 2つのグループの患者の血圧を測定し, 以下のデータを得ました. 新薬が血圧を有意に下げるか検定しましょう. 有意水準は 5%（両側検定）とします. 対応のない2標本のt検定 薬を投与したグループ A 135, 145, 148, 150, 155 薬を投与しなかったグループ B 133, 140, 142, 148, 150 先ほど同様, 新薬服用前と服用後で母平均に差があるかどうかを調べます. しかし, 先ほどとは異なり, 観測値の差 d を求めることはできないことに注意が必要です. 対応なし 

対応のない2標本のt検定 問題を解く準備として, 2つの標本の標本平均の差の分布について考えます. （2つの母集団の母標準偏差は σ で等しいことを仮定します） 　　平均値：母平均の差と同じです.　　　　　 　　分散：2つの分散を足し合わせたものになります. 　　標準偏差： 今回は, 標本が2つあるので, それぞれの標本標準偏差を統合した 合算標準偏差　　を使用します. 合算標準偏差　　の計算方法 1. グループAとグループBそれぞれで偏差の2乗の和を求める 2. 求めた和を自由度の　　　　　　　で割る 3. ルートを取る は分からないので s で代用して, Student化する. 

対応のない2標本のt検定 まとめると, Student化の式は次のようになります. グループAの標本平均　　：146.6 , グループBの標本平均　　：142.6 グループAの偏差2乗和： グループBの偏差2乗和： 合算標準偏差　　： Student化すると, 自由度 5+5ー2=8 のt分布の棄却域の境目は±2.306なので, 0.89は棄却域に入っていません. つまり, 新薬が血圧を下げる効果があると統計的に有意に言うことはできません. 帰無仮説より 

まとめ ● 対応のある2標本のt検定 ○ 対応する値の差 d の母平均の検定と思えばよい. ● 対応のない2標本のt検定 ○ 　　　　　　　　　　　を計算する　（帰無仮説より, 　　　　　　 ） ○ 合算標準偏差　　の計算方法 ■ グループごとに偏差の2乗の和を求める ■ 求めた和を自由度の　　　　　　　で割る ■ ルートを取る 

演習問題を解こう！