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関西大学総合情報学部 浅野　晃 画像情報処理 2024年度秋学期 第2部・画像情報圧縮 ／ 第6回 ベクトルと行列について 高速フーリエ変換

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルと行列の考え方 2 たくさんの数の組を，ひとまとめに計算する ひとつの組がいくつの数でできていても， 同じように計算できるようにする 組の中身を意識せずにすむことによって， さらに複雑な計算を考えることができる （現代のプログラミングも同じ考えかた）

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2 この計算を

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く 列 ベ ク ト ル

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く 列 ベ ク ト ル

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算 3 行ベクトル z = a1x1 + a2x2 この計算を z = a1 a2 x1 x2 と書く 列 ベ ク ト ル

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題1 4 問題 1 次のベクトルの計算をしてください。 1 2 3 4 Pause　⏸

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題1 5 問題 1 次のベクトルの計算をしてください。 1 2 3 4 （解答例） 1 2 3 4 = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11 ■

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ベクトルの計算が２つ 6 この計算をまとめて と書く z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 行列

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題2 7 Pause　⏸ 問題 2 次の行列とベクトルの計算をしてください。 0 1 1 2 2 1

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題2 8 問題 2 次の行列とベクトルの計算をしてください。 0 1 1 2 2 1 （解答例） 0 1 1 2 2 1 = 0 × 2 + 1 × 1 1 × 2 + 2 × 1 = 1 4 ■

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル x1 x2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル x1 x2 行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル x1 x2 行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 図形的意味 9 原点O X 点(x1, x2) ベクトル x1 x2 行列をかける a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) z(1) z(2) 別のベクトルに変換

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題3 10 Pause　⏸ 問題 3 問題 2 のベクトル 2 1 と，問題 2 の計算結果のベクトルを，座標平面に図示してください。 　 　 　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題3 11 点(2,1) 行列 点(1,4) 0 1 1 2 をかける O 図 2: 問題 3 の解答例． 問題 3 問題 2 のベクトル 2 1 と，問題 2 の計算結果のベクトルを，座標平面に図示してください。 　 　 　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 定数倍の計算 12 s11 s12 s21 s22 a1 a2 = λ a1 a2 　 　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 定数倍の計算 12 s11 s12 s21 s22 a1 a2 = λ a1 a2 　 　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 定数倍の計算 12 の意味 s11 s12 s21 s22 a1 a2 = λ a1 a2 　 　 λa1 λa2

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 　　　　　　　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 　　　　　　　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 　　　　　　　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列と行列の計算 13 この計算をまとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　　　　　　　 行列とベクトルの計算が２つ λ(1) に関する計算

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題4 14 Pause　⏸ 問題 4 次の行列と行列の計算をしてください。 0 1 1 2 2 1 1 0

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題4 15 問題 4 次の行列と行列の計算をしてください。 0 1 1 2 2 1 1 0 （解答例）右側の行列を， 2 1 と 1 0 の 2 つのベクトルに分けます。 ひとつめのベクトルに対しては 0 1 1 2 2 1 = 0 × 2 + 1 × 1 1 × 2 + 2 × 1 = 1 4

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題4 16 となり，ふたつめのベクトルに対しては 0 1 1 2 1 0 = 0 × 1 + 1 × 0 1 × 1 + 2 × 0 = 0 1 となります。よって，これらの 2 つのベクトルを並べて 0 1 1 2 2 1 1 0 = 1 0 4 1 となります。■

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題4 16 となり，ふたつめのベクトルに対しては 0 1 1 2 1 0 = 0 × 1 + 1 × 0 1 × 1 + 2 × 0 = 0 1 となります。よって，これらの 2 つのベクトルを並べて 0 1 1 2 2 1 1 0 = 1 0 4 1 となります。■ 0 1 1 2 2 1 1 0

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 要素がp個の場合 17 s11 s12 s21 s22 a1 a2 = λ a1 a2 　 　 は，

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 要素がp個の場合 17 s11 s12 s21 s22 a1 a2 = λ a1 a2 　 　       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1 a2 . . . ap       = λ       a1 a2 . . . ap       は，

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 要素がp個の場合 18 s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　 　 は，

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 要素がp個の場合 18 s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　 　       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) は，

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 要素がp個の場合 18 s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 　 　       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) は， なんのために？？？

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) S

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) S P

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) S P P

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) S P P Λ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) SP = PΛ S P P Λ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列を１文字で表す 19       s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p . . . ... sp1 sp2 · · · spp             a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)       =       a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) . . . ... ap(1) ap(2) · · · ap(p)             λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p)       (10) SP = PΛ 複雑な計算を，あたかも数の 計算のように単純に考える S P P Λ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 ただし 20 行列の積は，交換ができない ABとBAが等しいとは限らない

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義 プリ 行列A

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義 プリ 行列A a b c d 講義 プリ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義 プリ 行列A a b c d 講義 プリ

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義 プリ 行列A a b c d 講義 プリ a c b d を使

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義 プリ 行列A 転置行列 a b c d 講義 プリ a c b d を使

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 a b c d 講義 プリ 行列A 転置行列 a b c d 講義 プリ a c b d を使 tA, At, AT , A

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 転置行列・対称行列 21 ある行列とその転置行列が同じとき，対称行列という a b c d 講義 プリ 行列A 転置行列 a b c d 講義 プリ a c b d を使 tA, At, AT , A

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題5 22 Pause　⏸ 問題 5 1. 1 2 0 1 の転置行列を求めてください。 2. 1 2 0 1 と 1 0 0 1 は，それぞれは対称行列ですか。 　 　 　

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題5 23 （解答例） 1. 1 0 2 1 です。 2. 1 2 0 1 の転置行列は 1 0 2 1 で，もとの行列とは異なるので，対称行列ではありません。一方， 　 1 0 0 1 の転置行列は 1 0 0 1 で，もとの行列と同じなので，これは対称行列です。■

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆行列 24 行列には割り算はない

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という AA−1 = A−1A = I

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という AA−1 = A−1A = I 単位行列 （かけ算をしても何もおこらない）

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という AA−1 = A−1A = I 単位行列 （かけ算をしても何もおこらない） 1 0 0 1

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆行列 24 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という AA−1 = A−1A = I 単位行列 （かけ算をしても何もおこらない） 1 0 0 1 数の場合は 行列の場合は 　 a × 1 a （逆元） = 1 （単位元） 　 　 AA−1 （逆行列） = I（単位行列）

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交行列 25 a b c d 講義 プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交行列 25 a b c d 講義 プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 直交した２つのベクトルは， 直交行列で変換されても直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交行列 25 a b c d 講義 プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 直交した２つのベクトルは， 直交行列で変換されても直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 直交行列 25 a b c d 講義 プリ 直交行列の列ベクトルどうしは直交している 直交行列で変換 直交行列で変換 直交した２つのベクトルは， 直交行列で変換されても直交している 逆行列が転置行列と同じであるような行列を直交行列という

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題6 26 Pause　⏸ 問題 6 R = 1 √ 2 1 1 −1 1 が直交行列であることを確かめてください。

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題6 27 （解答例）次のとおりです。 R R = 1 √ 2 1 −1 1 1 1 √ 2 1 1 −1 1 = 1 2 1 × 1 + (−1) × (−1) 1 × 1 + (−1) × 1 1 × 1 + 1 × (−1) 1 × 1 + 1 × 1 = 1 0 0 1 = I RR = 1 √ 2 1 1 −1 1 1 √ 2 1 −1 1 1 = 1 2 1 × 1 + 1 × 1 (−1) × 1 + 1 × 1 1 × (−1) + 1 × 1 (−1) × (−1) + 1 × 1 = 1 0 0 1 = I ■

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題7 28 Pause　⏸ 問題 7 1. ベクトル 1 √ 2 1 −1 と 1 √ 2 1 1 が直交していることを，図に描いて確認してください。 2. 座標軸の x 軸はベクトル 1 0 で，y 軸はベクトル 0 1 で，それぞれ表されます。これらのベク トルを直交行列 1 √ 2 1 1 −1 1 で変換して，変換後のベクトルも直交していることを図で確認して ください。

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題7 29 （解答例） 　 　 　 1. 図 4 のとおりで，この 2 つのベクトルは直交しています。 点 O 点 ( 1 2 , 1 2 ) ( 1 2 , − 1 2 ) 図 4: 問題 7-1．

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 問題7 30 行列 をかけると 直交のまま回転 O 1 2 ( 1 1 1 −1) ( 1 0) ( 0 1) 図 5: 問題 7-2． 2. x 軸をこの行列で変換すると 1 √ 2 1 1 −1 1 1 0 = 1 √ 2 − 1 √ 2 で，y 軸をこの行列で変換すると 1 √ 2 1 1 −1 1 0 1 = 1 √ 2 1 √ 2 　 　 　 です。つまり，この行列の 2 つの列ベクトルがそのまま取り出されます（上で出てきた「単位行 列」を思い出してください） 。したがって，図 5 のように，x, y 軸が，直交したまま 45 度回転した ものに変換されたということができます。■

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20 31

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20 31 高速フーリエ変換🤔🤔

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「高速」フーリエ変換とは 32 高速フーリエ変換（Fast Fourier Transformation, FFT） 離散フーリエ変換の計算に含まれる掛け算の回数を減らす工夫 コンピュータでは，掛け算は足し算に比べて時間がかかるので 掛け算を減らすと全体の計算にかかる時間を短くできる 例えば 5 × 4 + 3 × 5 5 × (4 + 3) 掛け算は2回 掛け算は1回

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 4点だけの信号の離散フーリエ変換 33 4点だけの信号（N = 4)の離散フーリエ変換を これを行列で書いてみる 離散フーリエ変換の式は 1つの を計算するのに，掛け算を4回 U( ) 全部で 回の掛け算😵😵 42 = 16 U(k) = 3 n=0 u(n) exp −i2π k 4 n (k = 0, 1, . . . , 3)

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 行列で表すと 34 行列で表すと とおいて W ≡ exp −i 2π 4 　 　      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0·0 W0·1 W0·2 W0·3 W1·0 W1·1 W1·2 W1·3 W2·0 W2·1 W2·2 W2·3 W3·0 W3·1 W3·2 W3·3           u(0) u(1) u(2) u(3)      すなわち      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9           u(0) u(1) u(2) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで，要素の順序を入れ替える      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9           u(0) u(1) u(2) u(3)           U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9           u(0) u(2) u(1) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで，要素の順序を入れ替える      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9           u(0) u(1) u(2) u(3)           U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9           u(0) u(2) u(1) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで，要素の順序を入れ替える      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9           u(0) u(1) u(2) u(3)           U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9           u(0) u(2) u(1) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで，要素の順序を入れ替える      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9           u(0) u(1) u(2) u(3)           U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9           u(0) u(2) u(1) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 順序を入れ替える 35 右辺のベクトルで，要素の順序を入れ替える      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W1 W2 W3 W0 W2 W4 W6 W0 W3 W6 W9           u(0) u(1) u(2) u(3)           U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9           u(0) u(2) u(1) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 指数関数／三角関数の性質を使って 36 という周期関数の性質があるので W4 = exp −i2π 4 4 = 1 = W0      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W0 W2 W2 W0 W2 W3 W5           u(0) u(2) u(1) u(3)           U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W4 W2 W6 W0 W6 W3 W9           u(0) u(2) u(1) u(3)      は， と表せる

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 2つの行列の積に分ける 37 の右辺の行列を，2つに分ける      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0 W0 W0 W2 W1 W3 W0 W0 W2 W2 W0 W2 W3 W5           u(0) u(2) u(1) u(3)      　 　 と表せる      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      W0 W0 W0W0 W0W0 W0 W2 W1W0 W1W2 W0 W0 W2W0 W2W0 W0 W2 W3W0 W3W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)     

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回 掛け算4回

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回 掛け算4回 掛け算の回数は 回 4 + 4 × 2 = 12

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 後半の「行列×ベクトル」は 38 の後半の 行列×ベクトルは      U(0) U(1) U(2) U(3)      =      1 0 W0 0 0 1 0 W1 1 0 W2 0 0 1 0 W3           W0 W0 0 0 W0 W2 0 0 0 0 W0 W0 0 0 W0 W2           u(0) u(2) u(1) u(3)      W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) この2つの「分割された行列」の 計算になっている Wの掛け算4回 掛け算4回 掛け算4回 掛け算の回数は 回 4 + 4 × 2 = 12 元の 回から減った💡💡 42 = 16

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 N=8の場合は 39 これらは，N=2のフーリエ変換 W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) Ｎ＝８ のときは Ｎ＝８ のフーリエ変換 → 掛け算8回 ＋ 2 × （ N=4 のフーリエ変換） → 掛け算8回 + 2 × （掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 N=8の場合は 39 これらは，N=2のフーリエ変換 W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) Ｎ＝８ のときは Ｎ＝８ のフーリエ変換 → 掛け算8回 ＋ 2 × （ N=4 のフーリエ変換） → 掛け算8回 + 2 × （掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回 元々 回の掛け算が必要 82 = 64

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 N=8の場合は 39 これらは，N=2のフーリエ変換 W0 W0 W0 W2 u(0) u(2) W0 W0 W0 W2 u(1) u(3) Ｎ＝８ のときは Ｎ＝８ のフーリエ変換 → 掛け算8回 ＋ 2 × （ N=4 のフーリエ変換） → 掛け算8回 + 2 × （掛け算4回 + 2 × ( N=2 のフーリエ変換 ) ) → 掛け算8回 + 掛け算8回 + 2 × 2 × 掛け算4回 掛け算の回数は 回💡💡 8 + 8 + 4 × 4 = 32 元々 回の掛け算が必要 82 = 64

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「分割統治戦略」 40 このように，問題を半分，半分，半分，…に分けていく方法は， 他にもいろいろなところで使われている （「クイックソート」等） 一般に，N点のフーリエ変換には掛け算が 回必要だったのが， 段階に分割され，それぞれで 回の掛け算を行うので（概ね）， に比例した回数で済む N2 log2 N N N log2 N

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20 41

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20 41 さて，第2部の本題へ💡💡

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮 画像を，各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮 画像を，各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまり変わらない部分

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮 画像を，各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまり変わらない部分 なんて，ある？

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮 画像を，各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまり変わらない部分 なんて，ある？ 直交変換すると， 「大まかな部分」「細かい部分」が別に なるように組み替えられる

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮 画像を，各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす どの画像でもあまり変わらない部分 なんて，ある？ 直交変換すると， 「大まかな部分」「細かい部分」が別に なるように組み替えられる

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42 2024年度秋学期　画像情報処理 ／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 第２部の本題へ 42 第２部は画像データ圧縮 画像を，各画像で大きく異なる部分と どの画像でもあまりかわらない部分にわける どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす フーリエ変換も，行列で表すと直交変換の一種 どの画像でもあまり変わらない部分 なんて，ある？ 直交変換すると， 「大まかな部分」「細かい部分」が別に なるように組み替えられる