Coqで選択公理を形式化してみた 2024-05-11 Zli 大LT 春

自己紹介 ActivityPub/Misskey: @[email protected] twitter: @sou7___ アンダーバー3つ 学部4年生 Coqという変わったプロ グラミング言語を触って ます 2

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Coqとは カリー・ハワード同 型対応に基づき、数 学の証明をプログラ ムに落とし込んだ上 で型チェックをし、 数学の証明を検証す る定理証明支援系の 一つ。 4

覚えて帰ってほしいところ 「数学の証明」と「プログラム」が対応していることだけ 覚えればOK！ 今回のLTでは、これを使って数学の証明をプログラムに落とし込んで 検証した、という話をします。 5

集合の形式化 集合は、ある要素が集合に含まれているか判定する述語として定義し ます。Prop型はTrueとFalseがある型です。集合は T -> Prop の関数 として定義します。 Inは関数呼び出しを使って定義します。 Variable T: Type. Definition Ensemble := T -> Prop. Definition In a (A: Ensemble): Prop := A a. Notation "a ∈ A" := (In a A) (at level 55). 6

結局何してるの？ 集合は「ある元が含まれるか含まれないか」で定義します。 値を引数で受け取って、関数がTrueを返せば含まれる、Falseを返せ ば含まれない、という関数で定義します。 7

添数づけられた集合 添数づけられた集合とは、集合の列を拡張したものです。 これは集合の列ですが、これは1番目の集合が 、2番目の集合が 、3番目の集合が というように、自然数から集合への 関数として表現できます。 これを自然数ではなく、任意の集合に拡張したのが添数づけられた集 合です。今回は L -> Ensemble T として定義しました。 Definition IndexedEnsemble T L := L -> Ensemble T. 8

直積の形式化 選択公理で大事な役目を果たすのが直積です。Aを一つの与えられた 添数づけられた集合とします。直積は、Aの各要素を選ぶことで構成 される集合です。 例えば、Tが自然数、Lが 、Aが と いう添数づけられた集合とします。 すると直積 は、 となります。 9

直積は帰納型(Inductive Type)を使って定義しました。任意の L -> T の関数 a において、(任意の l にて a l が A l に属している)とき、 引数 l を受け取り a l を返す関数が直積 Product A に属していると します。 Inductive Product (T L: Type) (A: IndexedEnsemble T L) : Ensemble (L -> T) := | Product_intro: forall (a: L -> T), (forall (l: L), a l ∈ A l) -> (fun l => a l) ∈ Product A. 直積の引数TとLは、無限集合にすることもできます。例えば、Lに実 数全体の集合を当ててしまうこともできます。このように無限集合を 割り当てたときの直積の性質について、選択公理というものが存在し ます。 10

例えば このように。左側の集合と右側の集合から要素を選んでペアを取る操 作を直積と言います。 実際は任意個の集合の直積を扱うために複雑になっています。 11

選択公理 選択公理とは、添数づけられた集合Aの要素が空でないならば、直積 が空でないことを主張する公理です。数学で聞くZFC公理系の、Cが この選択公理です。 公理というのは、他の公理からどうやっても導けない、議論の前提に なります。 Axiom choice: forall (T L: Type) (A: IndexedEnsemble T L), (forall l: L, A l <> ∅) -> Product A <> ∅. この性質は有限集合においては明らかですが、無限集合においてはそ うではありません。直積を一般化して取れる値を増やしたからこそ、 必要になった公理と言えます。 12

簡単に言えばこんな 感じで、空でない集 合の直積を取ってい くと、空でない集合 が得られるというも のです。 13

選択公理を使った証明 fが全射であることと、fの右逆写像が存在することが同値であること を証明します。この証明の中で、仮定に対して選択公理を使います。 Theorem surjective_exists_right_invmap A B (f: A -> B): Surjective f <-> exists s, f ∘ s = \I B. Proof. ... apply choice in H3. ... Qed. 14

選択公理を使う前 H3 : forall b : B, Ab b <> ∅ 選択公理を使った後 H3 : Product Ab <> ∅ 15

バナッハ＝タル スキーのパラド ックス 選択公理を使うと、次の奇妙 な定理を証明できます。 「球を有限個に分割し、回 転・平行移動を使って組み替 えると球が2つに増える。」 この奇妙な結果を見て、選択 公理を認めない！という人も 居るとか居ないとか。 16

まとめ 今回は選択公理をCoqで形式化してみました。選択公理というと仰々 しく感じてしまいますが、実際にこの公理を適用したときに起こる変 化はシンプルなものになります。数学の命題を形式化することで、命 題の理解をより深められます。 ぜひみなさんもCoqに入門してみましょう！技術書典16で「10ステッ プ49問で学ぶ！Coq入門」を読んでみてください！ 17

参考文献 松坂和夫「集合・位相入門 (数学入門シリーズ 1)」2018-11-07 Wikipedia「バナッハ＝タルスキのパラドックス」 https://ja.wikipedia.org/wiki/バナッハ＝タルスキのパラドック ス ソースコード soukouki https://github.com/soukouki/mathlib 18