Traveling Salesman - Das Problem des Handlungsreisenden

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1. Traveling Salesman Das Problem des Handlungsreisenden

2. Inhalt •  Erklärung des Problems •  Praktische Anwendung •  Offensichtliche

   Lösung •  Heuristiken •  Ein Ausflug in die theoretische Informatik •  Das P-NP-Problem 2

3. Das Problem des Handlungsreisenden? •  Reihenfolge für den Besuch mehrerer

   Orte so wählen, dass die gesamte Reisestrecke nach der Rückkehr zum Ausgangsort möglichst kurz ist •  Als mathematisches Problem erstmals 1930 untersucht •  Es existiert KEIN exaktes und effizientes Lösungs- verfahren •  Kürzester Weg wird als “optimale Tour” bezeichnet •  Kurz: TSP 3

4. Praktische Anwendung •  Tourenplanung •  z.B. Pannendienst •  Logistik • 

   Wegeoptimierung im Lager •  Genom-Sequenzierung •  Produktionsanlagen •  Bohrlöcher •  Bohrer ist sehr langsam, daher ist ein optimaler Weg sehr wichtig 4

5. Warum ist die Lösung so kompliziert? •  Einfachster Ansatz: alle

   Möglichkeiten probieren •  Symmetrisches TSP: (n-1)!/2 •  Algorithmus mit exponentieller Laufzeit •  Das exakte Lösungsverfahren ist nur für sehr kleine Touren anwendbar •  Daher verwendet man Heuristiken Städte 3 5 10 20 Routen 1 12 181.440 60.822.550.204.416.000 5

6. Heuristiken •  Heuristik: mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu

   einer guten Lösung kommen •  Eröffnungsverfahren •  Nearest-Neighbor-Heuristik •  Immer den nächsten Nachbarn aufsuchen •  Nearest-Insertion-Heuristik •  Christofides-Heuristik •  Lösung ist höchstens 1,5 mal so lang wie die optimale Tour •  Verbesserungsverfahren •  k-Opt-Heuristik •  k Kanten aus der Tour entfernen und durch k andere Kanten ersetzen 6

7. Nearest-Neighbor-Heuristik Distanz: 1157,84 7

8. Nearest-Insertion-Heuristik Distanz: 1129,79 8

9. Hinweis zum Beispiel •  In DIESEM Beispiel ist das Ergebnis

   der Nearest- Neighbor-Heuristik besser als das der Nearest-Insertion- Heuristik •  Daraus lässt sich keine Allgemeingültigkeit ableiten 9

10. Theoretische Informatik •  Das TSP ist ein Musterbeispiel für eine

    ganze Klasse an Algorithmen in der Informatik •  Ein “guter” Algorithmus liegt in der Komplexitätsklasse p, eine Lösung kann in polynomialer Laufzeit berechnet werden •  Der TSP liegt in der Klasse np-vollständigen Probleme •  Eine optimale Lösung lässt sich nicht in polynomialer Zeit berechnen, aber in polynomialer Zeit verfizieren •  Tätsächlich kann die optimal Länge der Route in polynomialer Zeit berechnet werden, aber nicht die Route selbst 10

11. p = np? p ≠ np? Das P-NP-Problem •  In

    welcher Beziehung stehen die Komplexitätsklassen p und np? •  Eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Informatik: $ 1.000.000 für einen Beweis •  Vermutung der Fachwelt: p ≠ np •  Wenn aber doch p = np wäre das eine radikale Wende in der Informatik •  Alle Verschlüsselungsverfahren wären sofort unsicher •  Produktionsstrassen könnten immer optimal ausgelastet werden •  … 11

12. Fragen? ?