機械学習と最適化の融合 動的ロットサイズ決定問題を例として

数理最適化のための機械学習という分類に属するアプローチを，簡単な例題で解説しました．

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1. 機械学習と最適化の融合 動的ロットサイズ決定問題を例として Mikio Kubo
2. ML4MO • 機械学習 (ML)を⽤いて数理最適化(MO)を⾼速化 ü MIPLearn：解のヒントを得る ü Optimization Proxies：近似解を得る ü Optimization Voice：整数変数と等式制約を得る 機械学習 問題例 デコーダー 解 解のエンコーディング エンコーディングを解に ⾼速に変換するアルゴリズム エンコーディング デコーダー MIPlearn 付加される制約 MIPソルバー Opt. Proxies （実⾏不能）解 修復層 Opt. Voice 等号制約，整数変数 連⽴⽅程式
3. 動的ロットサイズ決定問題 期（⽇，週，⽉，時間）：0, １，２，３，４（５⽇分） 段取り ⽣産 段取り費⽤： ３万円 需要量 ： 5,7,3,6,4 （⽇あたりの必要量；トン） 在庫費⽤ ： 1⽇あたり１万円 ⽣産費⽤ ： 1,1,3,3,3 （１トンあたり） 0 1 2 3 4 計画期間 T = 5
4. 最適⽣産 vs ロットまとめ，JIT ⼀度に⽣産：段取り(3)+⽣産(25)+在庫(20+13+10+4)=75 ＪＩＴ⽣産：段取り(15)+⽣産(51)+在庫(0)=66 最適⽣産：段取り(9)+⽣産(33)+在庫(15)=57
5. ヒューリスティクスとの⽐較 Silver-Mealヒューリスティクス 単位期間あたりの費⽤が最⼩になるようにロットまとめ 段取り(9)+⽣産(50)+在庫(7)=66 最⼩単位費⽤ヒューリスティクス(least-unit cost heuristics) 単位需要量あたりの費⽤が最⼩になるようにロットまとめ 段取り(9)+⽣産(51)+在庫(14)=74
6. MIPによる定式化 容量制約なしの場合には，動的最適化で ⾼速に最適解が求まる．
7. 機械学習の適⽤ 固定費⽤ 在庫費⽤ 変動費⽤ 需要データ 固定データ 変動データ array([[1., 6., 8., ..., 8., 7., 5.], [1., 8., 4., ..., 1., 3., 3.], [5., 9., 5., ..., 3., 8., 7.], ..., [2., 9., 2., ..., 6., 2., 6.], [7., 4., 6., ..., 6., 7., 2.], [1., 2., 4., ..., 7., 6., 7.]]) サンプル数 × T 多出⼒ 分類 array([[1, 1, 1, ..., 0, 1, 1], [1, 1, 1, ..., 1, 0, 1], [1, 1, 0, ..., 0, 1, 0], ..., [1, 1, 1, ..., 0, 0, 1], [1, 0, 1, ..., 0, 1, 0], [1, 0, 1, ..., 1, 0, 1]]) 段取りデータ サンプル数 × T 各需要データに対する最適解 （容量制約なしの場合には， 段取り変数のみで表現できる） 機械学習
8. 実験結果 • ランダム森を多出⼒に変換（MultiOutputClassifier） • 10000サンプルをランダムに⽣成し，90%で訓練，10%でテスト • T =10 で正解率0.953，近似解の幾何平均は 0.1%の誤差 • T=20 で正解率 0.70 ，近似解の幾何平均は 0.5%の誤差 Þ実数変数を含む場合には，等号になる不等式制約をターゲットに追加 (Optimization Voice)
9. MIPLearnの適⽤ 需要データ array([[1., 6., 8., ..., 8., 7., 5.], [1., 8., 4., ..., 1., 3., 3.], [5., 9., 5., ..., 3., 8., 7.], ..., [2., 9., 2., ..., 6., 2., 6.], [7., 4., 6., ..., 6., 7., 2.], [1., 2., 4., ..., 7., 6., 7.]]) サンプル数 × T k-近傍 array([[1, 1, 1, ..., 0, 1, 1], [1, 1, 1, ..., 1, 0, 1], [1, 1, 0, ..., 0, 1, 0], ..., [1, 1, 1, ..., 0, 0, 1], [1, 0, 1, ..., 0, 1, 0], [1, 0, 1, ..., 1, 0, 1]]) 段取りデータ サンプル数 × T 機械学習 訓練データ [6., 4., 6., ..., 6., 7., 2.] テストデータ [1, 0, 1, ..., 0, 0, 1], [1, 0, 1, ..., 1, 1, 0], [1, 0, 1, ..., 1, 0, 1] テストデータに近い k 個の サンプル需要に対する最適解 段取り頻度が⼤きいものは 1 に固定 ⼩さいものは0に固定 ソルバーで求解
10. 実験結果 • 10000サンプルをランダムに⽣成し，90%で訓練，10%でテスト • T = 30 までで幾何平均は 0%の誤差 Þ 他にも解のヒントや等式になる制約などを追加可能 Þ 容量制約付きの場合には，ランダム森で得た実⾏不能近似解を ヒントや探索範囲限定に使う