科学哲学科学史 (演習) 後期 第 3 回 論理学 ∀ の規則と固有変数条件 （「任意の x をとる」の「任意」とは何か） 2026 年 10 月 20 日（火）16:45–18:15 文学部第 4 講義室 担当：矢田部俊介（西日本旅客鉄道株式会社） [email protected] 

本授業は西日本旅客鉄道株式会社の業務として実施しています 西日本旅客鉄道は LLM の活用を推進しています。 

本日のメニュー 1. 出発点：最小命題論理に量化子の規則を足す 2. 前回の要約と宿題の答え合わせ 3. 数学の「すべての」 4. ∀ の導入規則と除去規則 5. 固有変数条件 6. 条件を守った証明 7. 無限連言としての ∀ 8. 三層で見る：条件は何のためにあるか 9. 人間も LLM も、特別な例で一般化する 10. 演習と宿題 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 3 

1. 出発点：最小命題論理に量化子の規則を足す 

前期の体系：最小命題論理の推論規則 → の規則 [A]1 .. . B →I1 A→B A A → B →E B ∧ の規則 A B ∧I A∧B A ∧ B ∧EL A ∧ B ∧ER A B ∨ の規則 A ∨IL A∨B B ∨IR A∨B [A]1 .. . A∨B C C [B]2 .. . C ∨E1,2 ⊥と¬ ⊥ は規則を持たない命題定数。 ¬A は A → ⊥ の略記。 これで全部：8 規則（→ 2、∧ 3、∨ 3） 仮定をキャンセルするのは →I と ∨E。同じ仮定は何か所で使ってもよい（縮約） 。⊥ から何 でも出す規則（矛盾律）は入っていない。だから「最小」。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 5 

最小命題論理 ＋ 量化子の規則 ＝ 最小述語論理 最小命題論理 前期の 8 規則 言語 + 項・述語・量化子 （第 2 回） + ∀I・∀E 今日 + ∃I・∃E 第4回 最小述語論理 前期の規則は一つも変えない 8 規則はそのまま使う。A, B, C に、述語や 量化子を含む式（K(x)、∀x L(x) など）を 入れてよくなるだけである。足すのは量化 子の規則だけ。 この先の地図 矛盾律（⊥ の除去）を足す：直観主義 述語論理（第 6 回） さらに排中律を足す：古典述語論理（第 8 回） 前期と同じく、規則を一つ足すたびに「何が新しく証明できるようになったか」を見ていく。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 6 

2. 前回の要約と宿題の答え合わせ 

前回の要約：量化子の導入 述語と量化子 文から名前を抜くと述語ができる。K(x) ＝「x がメアリを殺した」。 ∀x（どんな x についても）と ∃x（ある x があって）。 有限の記号で、無限個の文をまとめて言 える。 束縛と順番 束縛変数は名前を替えてよい。∃x K(x) の x は誰の名前でもない。 ∀x ∃y と ∃y ∀x は違う。 束縛変数に勝手に代入すると主張が変わ る。 前回やり残したこと 式は読めて書けるようになった。だが、まだ証明はできない。「いつ、何を代入してよい か」を決めるのが、今日の ∀ の規則である。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 8 

3. 数学の「すべての」 

中学校の証明を思い出す 示したいこと どんな自然数 x についても、x が偶数ならば x + 1 は奇数である。 ① 自然数 x を、何の条件もつけずに勝手に一つとる ② x が偶数だと仮定する（x = 2k ） ③ x + 1 = 2k + 1 なので、x + 1 は奇数 ④ 「x が偶数ならば x + 1 は奇数」（② の仮定を外す：→I） ⑤ x は勝手にとったのだから、どんな x についてもそうである ⑤ の一歩が ∀ の導入である。その根拠は ① の「何の条件もつけずに」だけである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 10 

一つの例で証明したのに、なぜ全部について言えるのか バークリ『人知原理論』序論 §16（1710） 証明するあいだ私が思い浮かべている観念が、たとえば 辺の長さの決まった直角二等辺三角形であっても、その 証明があらゆる直線三角形に及ぶことは確かである。直 角であることも、辺が等しいことも、辺の長さも、証明 にまったく関わっていないからである。[Berkeley 1710, Intro. §16; Works II, pp. 34–35] でも証明は それを使っていない 図には直角も等辺もある 日本語は英文からの拙訳。 今日の話の芯 特定のものを思い浮かべていてよい。その特別な性質を証明に使っていなければ、全部に ついて言える。これを証明の規則として書いたものが、今日の固有変数条件である。 バークリはここでロック『人間知性論』IV.vii.9 の「一般的な三角形の観念」を批判している（序論 §13 で引用） 。§16 とゲンツェンの条 件を同じ発想として並べる研究もある [Cellucci 2009]。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 11 

逆向き：すべてについて言えるなら、一つについても言える 例 どんな x についても、x が偶数ならば x + 1 は奇数。 ∀x (x = x) だから、2 が偶数ならば 3 は奇数。 もっと簡単な例 どんな x についても x = x。 だから 0 = 0。 0=0 1=1 2=2 好きなものを入れてよい こちらが ∀ の除去である。入れるものに制限はほとんどない（一つだけ注意が ある）。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 12 

4. ∀ の導入規則と除去規則 

∀ の規則 導入規則 ∀I 除去規則 ∀E .. . A[x] ∀I ∀x A[x] ∀x A[x] ∀E A[t] t は任意の項（名前、変数、x + 1 など）。A[t] は、A[x] の自由な x をすべて t に置き換えた ただし固有変数条件：A[x] が依存している、 まだキャンセルされていない仮定のどれにも、 もの。 x が自由変数として出てこないこと。 最小命題論理の 8 規則に、この 2 規則を足す。 数学の手順 規則 導入 「勝手に x をとる」→「どんな x についても」 ∀I（条件つき） 除去 「どんな x についても」→「この t について」 ∀E 書籍原稿は ∀E を「∀x A[x] と項 r から」と、項を前提のように書いているが、項は論理式ではないので前提にはならない。ここ ではこう直した。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 14 

∀E を使う：前回の Q[5] が出る 前回やり残した推論 「自然数は無限に存在する」∀x ∃y (x < y) から、 「5 より大きい自然数がある」Q[5] ＝ ∃y (5 < y)。 [∀x ∃y (x < y)]1 ∀E ∃y (5 < y) →I1 ∀x ∃y (x < y) → ∃y (5 < y) 一歩で出た もう一つの書き方は？ x に 5 を入れただけ。6 でも 100 でも同じ。前 回の「もぐら叩き」が、規則一つで片付いた。 ¬∃x ∀y (y < x ∨ y = x) からも出るか。∃ の規 則と矛盾の扱いが要る（第 4 回以降）。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 15 

∀E を使う：ジャック 仮定 ∀x (K(x) → L(x))：メアリを殺した者は、誰であれ左利きだった。 ジャックが殺した。 K(j)： ∀x (K(x) → L(x)) ∀E K(j) → L(j) K(j) →E L(j) x に名前 j を入れて、あとは前期の →E。 「誰であれ」は、どんな名前を入れてもよい、という約束である。ただし、その名前が本当 に誰かを指しているかどうかは、この規則は何も言わない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 16 

∀E の注意：代入した変数が捕まってはいけない だめな例 ∀x ∃y (x < y) の x に、変数 y をそのまま入れると ∃y (y < y) 「自分より大きい自然数がある」。正しい前提から間違った結論が出てしまう。 何が起きたか 入れた y が、中の ∃y に捕まった。前回の「束縛変数に勝手に代入すると主張が変わる」 と同じ事故である。 正しいやり方 先に束縛変数の名前を替える：∀x ∃z (x < z)。それから y を入れる：∃z (y < z)。 規則としては「t の中の変数が、A の量化子に捕まらないときに限る」という条件になる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 17 

5. 固有変数条件 

固有変数条件 ∀I で A[x] から ∀x A[x] を出してよいのは、 A[x] が依存しているまだキャンセルされていない仮定に、 x が自由変数として出てこないときに限る。 言っていること バークリの言い方なら x について、何も仮定していない。 つまり x は本当に「勝手にとった」もの である。 x の特別な性質を、証明に使っていない。 キャンセル済みの仮定は数えない。前期の →I でキャンセルした仮定は、もう結論の「条 件」ではないからである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 19 

条件がないと、何が起きるか 条件を無視した証明 [(x = 0) ∧ (y = 0)]1 ∧EL x = 0 ∀I ？ ∀x (x = 0) →I1 (x = 0) ∧ (y = 0) → ∀x (x = 0) 結論がおかしい どこが悪いか x = 0 かつ y = 0 ならば、すべての自然数 は 0 である。 x と y に 0 を入れると、前提は真で結論 は偽。 ∀I をかけた時点で、仮定 (x = 0) ∧ (y = 0) はまだキャンセルされていない。そこに x が入っている。x は「勝手にとった」もの ではなく、「0 だととった」ものである。 2021 年度の授業と書籍原稿の例。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 20 

どこを見ればよいか (x = 0) ∧ (y = 0) ∧E x = 0 ∀I ∀x (x = 0) まだキャンセルされていない仮定 x が自由に出ている L ここで x について ∀I → 条件違反 点検の手順 1. ∀I をかける線から上へたどる。 2. 途中の葉（仮定）のうち、キャンセルの印 [ ] がまだついていないものを拾う。 3. その中に x が自由に出ていたら、∀I はかけられない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 21 

ジャックで同じ失敗をする 犯人を一人とって、その人について考える ∀x (K(x) → L(x)) ∀E K(x) → L(x) K(x) L(x) ∀I ？ ∀x L(x) →E 出てきた結論 どこが悪いか 「全員が左利きだった」 。 犯人について調べていたはずが、ロンドン 中の人について言ってしまった。 x には「メアリを殺した」という条件 K(x) がついている。その仮定がまだキャンセル されていない。 言えるのは「犯人として x をとれば、x は左利き」まで。仮定 K(x) は結論から外せない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 22 

用語：Eigenvariable（固有変数） ゲンツェン（1935） 自然演繹を作った論文で、∀I（と第 4 回の ∃E）で使う自由変 数を Eigenvariable と呼んだ [Gentzen 1935, S. 186]。eigen は 「固有の」「自分専用の」 。その推論のためだけにとった変数、 という意味である。 条件のほうの名前 ゲンツェン自身は条件を Variablenbedingung（変数条件）と 呼んだ。日本語では「固有変数条件」とも「変数条件」とも言 う。英語では eigenvariable のほか proper variable とも訳さ れる。 G. ゲンツェン 記号 ∀ もこの論文から（前回） 。書籍原稿の脚注「 『固有の真の変数』とい う意味」の「真の」は原語にないので直す。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 23 

6. 条件を守った証明 

先にキャンセルしてから ∀I 仮定を →I で外してから一般化する [(x = 0) ∧ (y = 0)]1 ∧EL x=0 →I1 (x = 0) ∧ (y = 0) → x = 0 ( ) ∀I ∀x (x = 0) ∧ (y = 0) → x = 0 条件を満たす 結論は当たり前のこと ∀I の時点で、x を含む仮定はキャンセル済 み。残っている仮定はない。 「どんな x でも、x = 0 かつ y = 0 ならば x = 0」。正しい。 ジャックでも同じ：K(x) を →I で外すと K(x) → L(x)、それから ∀I で ∀x (K(x) → L(x))。仮 定に戻っただけである。 条件は「一般化するな」とは言っていない。 「条件を結論に書き込んでから一般化せよ」と言って いる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 25 

例題 1：∀x (A → B[x]) → (A → ∀x B[x]) A には x が出てこないとする。 [∀x (A → B[x])]2 ∀E A → B[x] [A]1 →E B[x] ∀I ∀x B[x] →I1 A → ∀x B[x] →I2 ∀x (A → B[x]) → (A → ∀x B[x]) ∀I のところで条件を点検する まだキャンセルされていない仮定は ∀x (A → B[x]) と A の二つ。前者の x は束縛され ている。後者には x が出てこない。だから ∀I をかけてよい。 「A には x が出てこない」という前提が効いている。A が x = 0 だったら、この証明は通ら ない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 26 

例題 2：束縛変数の名前替えが証明できる [∀x B[x]]1 ∀E B[y] ∀I ∀y B[y] →I1 ∀x B[x] → ∀y B[y] 点検 ∀I の時点で残っている仮定は ∀x B[x]。 そこに y は出てこない（B の中に y が ないとする）。条件を満たす。 前回の話が、規則から出てきた 前回は「束縛変数は名前を替えてもよい」を約束として言った。今日の規則を使うと、 ∀x B[x] と ∀y B[y] が互いに証明できることが示せる。逆向きも同じ証明でよい。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 27 

ダミー変数 x が出てこない式にも ∀x をつけられる [y = 0]1 ∀I ∀x (y = 0) →I1 y = 0 → ∀x (y = 0) なぜよいか 逆に y で ∀I をかけると 残っている仮定 y = 0 に x は出てこない。 y = 0 から ∀y (y = 0) は出せない。残って だから条件は自動的に満たされる。こうい いる仮定 y = 0 に y が出ているからで う x をダミー変数と呼ぶ。 ある。 書籍原稿は「命題が x を含まないとき x は自由変数である」と書いているが、x は出てこないので自由でも束縛でもない。正しく は上のとおり、条件が自動的に満たされる、である。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 28 

7. 無限連言としての ∀ 

∀x φ(x) から、好きなだけ長い連言が出る [∀x φ(x)]1 [∀x φ(x)]1 ∀E ∀E φ(0) φ(1) [∀x φ(x)]1 ∧I ∀E φ(0) ∧ φ(1) φ(2) ∧I φ(0) ∧ φ(1) ∧ φ(2) →I1 ∀x φ(x) → φ(0) ∧ φ(1) ∧ φ(2) どの n についても 同じやり方で ∀x φ(x) → φ(0) ∧ φ(1) ∧ · · · ∧ φ(n) が証明できる。ただし n ごとに別の 証明であり、どれも有限の長さである。 前回の「無限に長い文は書けない」への答え：∀x φ(x) という有限の式が、どこまででも伸ばせ る連言の役をする。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 30 

同じ仮定を何度も使う：縮約 いまの証明で起きていること 仮定 [∀x φ(x)]1 が 3 か所に出てきて、→I で 一度にキャンセルされている。n までの連 言なら n + 1 か所。 ∀x φ(x) 分岐（縮約） 前期第 4 回の言葉で 同じラベルの仮定を何か所でも使って、一 度にキャンセルしてよい。これが縮約 則だった。 φ(0) φ(1) φ(2) 書籍原稿の直し 書籍原稿は「縮約規則の『無限に前提をコピーする能力』 」と書いているが、一つの証明 でのコピーは n + 1 回で、有限回である。「必要なだけ何回でもコピーしてよい」が正確 である。 補足：∧ の導入で二つの枝が同じ仮定を共有してよい、と読むなら、縮約を使わずにすむ（線形論理の加法的連言 &） 。ジラールも 「∀x は & にとても近い」と書いている [Girard 1995, p. 12]。縮約の巻（第 2 巻）につながる論点。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 31 

8. 三層で見る：条件は何のためにあるか 

[案 B] 局所のハーモニー：∀I のすぐ後に ∀E 遠回り 近道 Π[x] A[x] ∀I ∀x A[x] ∀E A[t] ⇒ Π[t] A[t] 証明 Π の中の x を、全部 t に置き換 える。 前期と同じ形 入れてすぐ出すのは遠回りで、消せる。前期の ∧・→ と同じ局所のハーモニーである。 ∀I は「どんな t でも作れる手順 Π[x]」を持っていて、∀E はそこに t を入れるだけだか らである。 では、x を t に置き換えても、Π[t] は本当に同じ仮定からの証明になっているのか。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 33 

[案 B] 条件がないと、近道が壊れる 条件を破った遠回り 近道にすると x=0 ∀I ？ ∀x (x = 0) ∀E 1=0 ⇒ 1=0 仮定が 1 = 0 に書き換わってしまった。 仮定は x = 0。 固有変数条件の役目 x が仮定に出てこなければ、x を t に置き換えても仮定は変わらない。だから近道は同 じ仮定からの証明になる。条件は、遠回りを消せるようにするため、つまり ∀ の導入と 除去を釣り合わせるためにある。 遠回りの除去はプラヴィッツ（1965）の正規化の一部。前期第 8・9 回の正規化定理は、この条件のもとで述語論理にも延びる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 34 

9. 人間も LLM も、特別な例で一般化する 

人間の側：図の特別な性質を使ってしまう 「すべての三角形は二等辺三角形である」 よく知られた誤った証明がある。図を描いて補助線 を引き、合同な三角形を見つけていくと、二辺が等 しくなってしまう。誤りは図にある。ある交点が三 角形の内側に来るように描いてあるが、それは仮定 からは出てこない。図の特別な性質を、証明に使っ てしまっている。 バークリの裏返し バークリ：図に直角があっても、 証明が使っていなければよい。 この誤り：図にたまたまある性質 を、証明が使っている。 前回の予告の訂正 前回「早まった一般化」と予告したが、正確には違う。早まった一般化は、少なすぎる事 例から全体を推す帰納の誤りである。固有変数条件の破れは、事例が一つでも百でも起き る。特別な例を、任意の例と取り違える誤りである。 伝統的な誤謬の名前でいえば、限定つきで言えることを無条件に言えることと取り違える「逆偶然」(converse accident) が近い。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 36 

LLM の側：特定の場合で示して「すべて」と言う 数学オリンピックの証明を書かせた研究 2025 年の USAMO の問題で LLM に証明を書かせ、人間が採点した研究。答案の例に、 一つの添字 j について示しただけで全ての j について結論したもの、特定の多項式を選 んで示しただけで全ての多項式について結論したものがある。[Petrov et al. 2025, App. C] 国際数学オリンピックの候補問題で LLM の証明の誤りを分類した研究は、「いくつか の具体例から、全部の場合の正当化なしに一般の結論を引き出す」誤りを独立の項目 （Proof by Example）として立てている。[Mahdavi et al. 2025, §3.2] 規則で言えば 固有変数条件の点検をしていない。x に何かを入れて確かめた、その「何か」の特別な性 質が、証明に紛れ込んでいる。 どちらもプレプリント。人間の答案にも同じ形の誤りは出る。違いは、点検する手順を持っている かどうかである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 37 

10. 演習と宿題 

演習（3 問） その場で考える (1) 次の ∀I は固有変数条件を満たすか。 [K(x)]1 →I1 K(x) → K(x) ∀I ∀x (K(x) → K(x)) (2) 仮定 x < y から、∀I で ∀x (x < y) を出してよいか。∀y (x < y) はどうか。 (3) 証明せよ：∀x (K(x) ∧ L(x)) → ∀x K(x)。 ヒント：(1)(2) は「まだキャンセルされていない仮定」を拾う。(3) は ∀E で x を入れ、∧E、 それから ∀I。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 39 

宿題 証明できる場合は、自然演繹で証明せよ A には x が出てこないとする。 問 1 (A ∨ ∀x B[x]) → ∀x (A ∨ B[x]) 問 2 ∀x (F [x] → G[x]) → ∀x ( (G[x] → H[x]) ) 問 3 ∀x (F [x] → G[x]) → ∀x (G[x] → H[x]) → ∀x (F [x] → H[x]) 証明できないと思う問は、どこで詰まるかを書けばよい。 エクストラ（解かなくても不利にならない） ¬¬∀x B[x] → ∀x ¬¬B[x] ヒント：¬A は A → ⊥ の略記（前期） 。¬B[x] と ∀x B[x] から ⊥ を出し、…、最後に ∀I。 解くのにかかった時間も書くこと。∀I を使うたびに、固有変数条件を点検したことがわかるように 書くこと。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 40 

11. まとめ 

今日のまとめ 1. 最小述語論理は、最小命題論理の 8 規則に量化子の規則を足したもの。今日は ∀ の 2 規則。 2. ∀E：「どんな x についても」から、好きな項 t について言える。代入した変数 が捕まらないように注意する。 3. ∀I：「勝手にとった x」について示せたら、どんな x についても言える。 4. 固有変数条件：まだキャンセルされていない仮定に x が出てきたら、∀I はか けられない。 5. 条件は「x について何も仮定していない」を記号で言ったもの。バークリの 「特別な性質を証明に使っていない」と同じ発想である。 6. ∀x φ(x) は、同じ仮定を何度でも使うこと（縮約）で、どこまでも伸ばせる連 言の役をする。 7. 条件があるから、∀I のすぐ後の ∀E という遠回りが消せる。 8. 特別な例を任意の例と取り違える誤りは、人間にも LLM にも出る。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 42 

次回予告。∃ の規則と存在具体性 「誰かがメアリを殺した」は、どうやって証明するのか。 ∃ を導入するには、その「誰か」を名指せなければならないのか。 ∃ の除去にも固有変数条件が出てくる。今度は「話の途中で別人にすり替わる」誤 りを止める。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 43 

12. 参照文献 

参照文献 スライドで引いたもの Berkeley, G. (1710). A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge. Introduction §§13–16. In The Works of George Berkeley, ed. A. A. Luce & T. E. Jessop, vol. 2, pp. 34–35. Cellucci, C. (2009). The Universal Generalization Problem. Logique & Analyse 205, pp. 3–20. Gentzen, G. (1935). Untersuchungen über das logische Schließen I. Mathematische Zeitschrift 39, pp. 176–210. （S. 186, 193） Girard, J.-Y. (1995). Linear logic: its syntax and semantics. In Advances in Linear Logic, Cambridge UP.（著者版 p. 12） Locke, J. (1690). An Essay Concerning Human Understanding. IV.vii.9. Mahdavi, H. et al. (2025). Brains vs. Bytes: Evaluating LLM Proficiency in Olympiad Mathematics. arXiv:2504.01995. Petrov, I. et al. (2025). Proof or Bluff? Evaluating LLMs on 2025 USA Math Olympiad. arXiv:2503.21934. さらに読みたい人へ Mancosu, P., S. Galvan & R. Zach (2021). An Introduction to Proof Theory. Oxford UP.（固有変数の語について p. 47 注 24） Prawitz, D. (1965). Natural Deduction: A Proof-Theoretical Study. Almqvist & Wiksell.（遠回りの除去） バークリ『人知原理論』大槻春彦訳、岩波文庫、1958 ／宮武昭訳、ちくま学芸文庫、2018。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 45