概念モデルは どこまで「数学的」に なれるか （集合論編１） 2020年01月10日 株式会社メソドロジック 矢崎 博英 1

所属 株式会社メソドロジック 取締役／CTO 専門 開発方法論、データモデリング、オブジェクトモデリングのコンサルティング 経歴 主に基幹システムの再構築プロジェクトにモデラーとして参画 • 某都道府県警の通信指令システム（いわゆる１１０番） • テレビ局営報システム（番組編成・CM・放送 これDDDでやりました！） • 化学工業の生産管理 • 鉄鋼メーカー合併によるシステム統合 etc. メディア • Writing Effective Use Cases（著者Alistair Cockburn）翻訳（2001年） • 最近マイクロサービス系を翻訳中（今年夏ごろ出版予定） 自己紹介 矢崎博英

3 ドメインモデル プロセスモデル システム 受注担当 顧客 : 注文 未承認 承認済 承認 却下 却下 出荷済 出荷 トリガー 入金済 入金 トリガー 注文 注文明細 商品 会員 在庫 在庫引当 通常会員 特別会員 概念モデル 状態遷移モデル

集合 • 集合とは、いくつかのものをひとまとめにして考えた’ものの集まり’ • 数学的には“どんなものをとってきても、それがその集まりの中にあるかない かがはっきりと定まっている“ようなものでなければならない 集合の記法（個々の集合を具体的に表す記法） • 外延的記法：集合の要素を列挙して集合を表す 例）｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9｝ • 内包的記法：条件Pを示して集合を表す｛x | P(x)} 例）｛x | 0 < x < 10, x ∈ ℤ} 集合の例 • 自然数全体の集合（ℕ）、整数全体の集合（ℤ）、有理数全体の集合（ℚ）、 実数全体の集合（ℝ）、複素数全体の集合（ℂ） • 当社社員全員からなる集合 4 集合

元（または要素） • 集合に含まれるものを元（または要素）という • aが、集合Aの元であることを、記号で a ∈ A と書く（元でないときは a ∉ A） • 集合A、Bがまったく同じ元からなるとき、かつ、そのときに限りAとBは等しい（A ＝ B） • ｛1, 2, 3｝ = {3, 2, 1}, {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} 有限／無限集合 集合には元の数が有限個の有限集合と無限個の無限集合がある 単集合 １つの要素しか含まない集合を単集合という ｛x | 0 < x < 2, x ∈ ℤ} = {1} ※ {1} ≠ 1 空集合 要素を１つも含まない集合を空集合という ｛x | 0 < x < 1 x ∈ ℤ} = {} = ∅ 5 集合 集合と元 単集合 空集合

6 取引先 当社 2乗して負になる実数 - 代表電話番号 - 住所 - 社名 <> 当社 取引先 ２乗して負になる実数

集合Aの任意の元が集合Bの元であるとき、AはBの部分集合であるといい A ⊂ B と書く • AはAの部分集合である • ∅は任意の集合の部分集合である • A ⊂ B かつ B ⊂ A ならば A ＝ B • A ⊂ B かつ A ≠ B ならば AはBの真部分集合という A∩B：＝｛x|x∈Aかつx∈B｝を集合Aと集合Bの共通部分という A∪B：＝｛x|x∈Aまたはx∈B｝を集合Aと集合Bの合併（和集合）という A - B ：＝｛x|x∈Aかつx∉B｝をAとBの差という 7 部分集合・共通部分・合併・差 部分集合 共通部分 合併 差 A B A B A B A B

8 8 会員 偶数 B ゴールド会員 偶数 ５の倍数 偶数かつ5の倍数 ５の倍数 偶数 ５の倍数 偶数 ５の倍数 会員 ゴールド会員

集合系（集合族） ‘集合の集合’、すなわち元がすべて集合である集合のことを集合系（集合族）という 冪集合 集合Aの、部分集合全てを元とする集合をAの冪集合という A＝｛a, b｝の冪集合は{∅,{a},{b},{a, b}} 商集合 集合ＡをＡにおける同値関係Ｒにより同値類に分割したときの同値類全体からなる集合を ＡのＲによる商集合といいＡ/Ｒと書く。そしてAからA/Rへの写像を商写像という 9 集合系（族）、冪集合、商集合 集合系 元は集合 Ａ Ａ/Ｒ ０ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ※Ｒは３で割ったときの余りが 等しい者同士という関係

直積 集合Ａの任意の元aと集合Bの任意の元bとの順序づけられた組(a, b)の全体からなる集合をＡ とＢとの直積といいＡ×Ｂと書く Ａ×Ｂ={(a, b)| a ∈Ａ, b ∈ Ｂ} 対応 • Ａ, Bを２つの集合とし、ある規則Γによって、Ａの各元aに対してそれぞれ1つずつＢの部 分集合Γ(a)が定められているとき、その規則ΓのことをＡからＢへの対応という • 規則Γによってa∈Aに対して定まるＢの部分集合Γ(a)を、Γによるaの像という • Γ(a)は∅でも、Ｂと等しくてもよい 写像 • 対応の特別なケースで任意のa∈Aに対してΓ(a)の要素数（#Γ(a)）が１であるとき、そ の対応（規則）を写像という 1 2 a b c 対応 A B 10 直積集合・対応・写像 1 2 a b c (1, a) (1, ｂ) (1, c) (2, a) (2, ｂ) (2, c) 直積 A B Γ(1) Γ(3) 1 2 a b c 写像 A B 3 Γ(2) 3

ΓがＡからＢへの対応であることを、以下の記号で表す Γ：Ａ→Ｂ Ａ, Bをそれぞれ、対応Γの始集合、終集合 という fがＡからＢへの写像であることを、以下の記号で表す f:A → Ｂ; a → f(a) Ａは写像fの定義域という 対応のグラフ、写像のグラフ 対応Γ：Ａ → Ｂのグラフとは直積Ａ×Ｂの部分集合 Ｇ(Γ)={(a, b) ∈Ａ×Ｂ| b ∈ Γ(a)} 写像 f：Ａ→ Ｂのグラフも直積Ａ×Ｂの部分集合 Ｇ(f)={(a, b) ∈Ａ×Ｂ| b ∈ f(a)} 11 対応・写像についてもう少し 11 1 2 a b c (1, a) (1, ｂ) (2, c) 対応ΓのグラフＧ(Γ)⊂Ａ×Ｂ A B 3 1 2 a b c (1, a) (3, a) (2, c) 写像fのグラフＧ(f)⊂Ａ×Ｂ A B 3

12 1 2 a b c 対応 エンジニア プロジェクト 12 1 2 a b c 写像 エンジニア プロジェクト 3 3 エンジニア プロジェクト * * 参画 エンジニア プロジェクト 0..1 * 参画 1 2 a b c (1, a) (1, ｂ) (2, c) 対応ΓのグラフＧ(Γ)⊂Ａ×Ｂ エンジニア プロジェクト 3 エンジニア プロジェクト * * 参画 参画 ロール ロール 対応・写像は規則 対応・写像のグラフは集合 対応・写像のグラフが、別 の対応・写像の定義域にな るとき、関連クラスとして 表現する

13 関連も属性も写像・商集合・直積を定義域とする写像 貨物 航海 0..* 0..1 ブッキング貨物 <> 貨物 / 同一の航海にブッキング 1 0..* quotient mapping （商写像） <> サイズ合計 0..* 1 サイズ合計 <> 積載量 0..* 1 積載量 * * <> 積載量×サイズ合計 Boolean 1 0..* オーバーブッキングポリシー オーバーブッキングポリシー - 積載量 航海 - サイズ 貨物 * {貨物サイズの合計 < 航海の積載量 * 1.1} ドメイン駆動設計P.19

直和分割 集合Aとその部分集合系Xについて、以下が成り立つとき、XはAの直和 分割である 1. Xの全要素の合併はAと等しい 2. Xの任意の要素a, b に対して a ≠ ｂならばa ∩ b＝∅ 対応・写像の制限 対応Γ：A → Bに対して、Aの部分集合であるA‘に対して対応Γ：A’ → B を考えたとき、この対応をΓのA’への制限といい、Γ | A’ と書く。写像 についても同様 14 直和分割 直和分割 1 2 a b c 対応の制限 A B Γ(1) Γ(3) 3 Γ(2) A‘

15 直和分割 人間 男性 女性 性別 日本人 アメリカ人 その他の国籍を持つ人 国籍 これをあえて示さない場合 もある

16 対応の制限 Γ|有料会員 ▶ プロジェクト ロール * 1 プロジェクトリーダ エンジニア * Γ = アサイン 1 対応先も部分集合になることを明示する 多重度が変わる（対応から写像に変わる） Γ|プロジェクトリーダ ▶ 会員 有料会員 購入 有料会員購入 会員 有料会員 購入 - 購入 - 会員 0..* 1 Γ = 購入 - 獲得ポイント数 有料会員購入 0..* 1 プロジェクト ロール インスタンス PG SE PL PL PG SE

• 表現や解釈のばらつきを抑えることがで きる • 数学の既知の定義や手法が利用できる • 概念モデルとして表せるものを限定でき る • 代数学や圏論への展開 17 意義

18 概念モデリング FIN

集合論の本 19 参考文献 集合をベースにモデルを説明している古いオブジェクト指向の本 集合・位相入門 著者：松坂和夫 出版社: 岩波書店 ※新刊が別表紙で出ています ・「対応（スライド10）」について は、最近の本ではあまり説明されてい ないようですが、この本のP.22～に 記載あり。 ・「写像（スライド１０）」を対応の 先の部分集合の要素が１つであるもの という説明は、この本に依った。 集合と位相 著者：斎藤 毅 出版社:東京大学出版会(2009/9/1) ・「商写像（スライド9）」について は、この本のP.46から Advanced Object-Oriented Analysis & Design Using UML 著者：James J. Odell 出版社: Cambridge University Press (1998/2/1) 著者はマーティンファウラーの師匠筋 にあたる人。また、OMG’s Analysis and Design Task Force のco-chairを16年間務めた Designing Object Systems: Object- Oriented Modelling With Syntropy 著者：Steve Cook, John Daniels 出版社: Prentice Hall (1994/11/1) 以下からPDFで読める https://www.semanticscholar.org /paper/Designing-object- systems%3A-object-oriented- modelling-Cook- Daniels/3bfd6687f6500d44b67dcc 30632b53be45753253 ※記述はOMT法