重力プログラミング入門 第4回 ～理論としての物理・数学をプログラミングして、動かし、世界を楽しむ～ スペースコロニーを建造する 第1部：惑星間の重力と宇宙空間における物体配置 2018/03/11 ver 0.5作成 2018/03/16 ver 0.9作成

1 今回セッションの趣旨 宇宙空間に、スペースコロニーを配置 する際の基本理論を説明し、コード化 の前段である「数式」を紐解きます その後、 「数式をコード化する様 を見ていただき、物理 や数学のコード化が 思った以上にカンタン」 ということを実感していただきます 最後に、スペースコロニーの配置以外 のトピックをご紹介したいと思います

2 1. 宇宙空間に物体を配置する 2. ラグランジュ点 L1／L2／L3 3. ラグランジュ点 L4／L5 4. 配置以外に宇宙空間で考えること 5. スペースコロニー内では… 6. 物理・数学をプログラミングする世界 目次

3 １．宇宙空間に物体を配置する

4 １．宇宙空間に物体を配置する 未だ、重力をコントロールする術を持たない人類は、以下2つの 方法で、宇宙空間への物体の定常的な配置をします ① 単一惑星の重力で落下しても着地させずに済む横方向 への移動速度 (第1宇宙速度) で周回させ続ける ② 周回する複数惑星の重力が均衡する位置に配置する 重力プログラミング 第1回でご紹介した「人工衛星」は、①の例 であり、今回のテーマである「スペースコロニー」は、②の例です

5 １．宇宙空間に物体を配置する 周回する惑星間の重力が均衡する位置として「ラグランジュ点」 もしくは「ラグランジュポイント」と呼ばれるものが有名です 2つの惑星が、両者の重心を中心として、各々、円軌道で回って いる場合、惑星と比べ、質量が無視できる小さな第3の物体を 軌道面内に置くと、2惑星と相対位置を変えずに回り続ける5点 (L1～L5) が存在し、これを「ラグランジュ点」と言います 公転方向

6 １．宇宙空間に物体を配置する 地球と月を2惑星として、質量が無視できる小さな第3の物体を スペースコロニーとし、宇宙空間に配置したのが、ガンダムシリーズ における「サイド」で、5点のラグランジュ点に、サイド1～サイド8の 計8つのサイドを配置していました 月の裏側にあるのが ジオン公国発祥の地 となったサイド3 (L2) 月と同一軌道上の サイド7でガンダム 大地に立つ (L3)

7 １．宇宙空間に物体を配置する ガンダムの物語中では、中心となるサイド3およびサイド7ですが、 5点の中で不安定な点である「L2」および「L3」に存在しています L1／L2／L3は、2惑星の直線上にあるため、少しでも2惑星に 近づく方向にズレると、惑星の重力に引き寄せられ、均衡を失い やすい一方、「トロヤ点」と呼ばれるL4／L5は、2惑星の重心と スペースコロニーの遠心力が釣り合っており、均衡します L4／L5は、多少の位置のズレが 発生しても、2惑星の重力比が 25倍以上なら、距離変動時の 重力変化カーブが小さいことから、 位置の復元力が発生します (ちなみに地球は月の81倍)

8 １．宇宙空間に物体を配置する なお、ラグランジュ点L4／L5が継続的に安定していることを示す 例は、フィクションや数式の上だけで無く、実例が存在します 太陽と木星の2惑星と二等辺三角形の位置にある、「トロヤ群」 と呼ばれる数千個を超える小惑星群が、それに該当します トロヤ群が、ラグランジュ点L4／L5にあるのを20世紀に見つけて 以来、継続的に位置が維持されていることが確認しています

9 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3

10 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3 まずは、ラグランジュ点L1／L2／L3に、どのような力学が働いて いるかを確認しましょう 最もカンタンなL2／L3で説明しますが、「直線上に並ぶ地球と 月の重力の合力」で落ち続ける中、合力と直角方向の速度が 維持されることで、地表へ落ちずに周回し続けます これは、重力プログラミング入門#1の人工衛星と類似してます F Fcosθ Fsinθ

11 １．「横に投げたボール」と「人工衛星」は同じ ボールを真横に投げると、途中までは水平に飛んで行きますが、 やがて水平方向の勢いを失って、重力に従って地上方向に落ち ていき、最後は地上に着きます GPSを積んだ人工衛星は、このボールの水平飛行が続いたよう なもので、重力に従って地上方向に落ち続けてはいるが、速度 が維持されているため、地上に着かず、周回し続ける訳です この速度のことを、「第1宇宙速度」と言います = 再掲

12 ２．「万有引力の法則」 あらゆる2つの物体間には、お互いを引き合う力、つまり「引力」 が発生しており、引力は、以下2つの条件が成り立ちます ➢ 各物体の質量の乗算に比例する (重い程強く引き合う) ➢ 物体間の距離の2乗に反比例する (離れると弱まる) 質量当りにかかる引力の強さを「G 」※、物体の質量を「M 」「m」、 物体間の距離を「r 」とすると、物体間の引力は、以下となります ※「万有引力定数」と呼びます 【Column】 「重力」とは、引力に「自転の遠心力」を合わせた力を指します 宇宙空間を扱う天文学・宇宙開発では割愛し、「重力」＝「引力」と扱います F = G Mm r 2 再掲

13 ２．人工衛星の位置を示すxy軸座標 以下は、地球の中心を0地点とした、人工衛星のxy 座標です 人工衛星の軌道は、「運動方程式」により、以下の通りです ma = F 加速度a を、x 軸・y 軸に分けることで､移動速度を出しましょう x α θ y F Fcosθ Fsinθ r Position( x, y ) 人工衛星の座標 0 ※m は人工衛星の質量、a は加速度 再掲

14 ２．引力と人工衛星の位置から移動速度を計算 ma はmdx とmdy という偏微分に分割し、F は直交座標(xy 座標)から極座標(方向F と角度θ で表現される座標)へと変換 します mdx = -F cosθ, mdy = -F sinθ F を前述した引力に展開し、cosθ, sinθ を人工衛星位置x, y と人工衛星までの距離r で表現すると、以下の通りです mdx = -G ・ = -G mdy = -G ・ = -G Mm r 2 x r Mmx r 3 Mm r 2 y r Mmy r 3 ※方向F は、0地点から外側に向かって いればプラス、逆方向ならマイナスと なるため、この場合はマイナスとなる 再掲

15 ２．引力と人工衛星の位置から移動速度を計算 両辺のm を削除したものが、移動速度になります dx = -G , dy = -G 地球が0地点なので、r は、x とy から計算できます r = √ x + y G およびM は、以下の通りです ➢ 万有引力定数 G = 6.67259 x 10 m / s ➢ 地球の質量 M = 5.974 x 10 kg GM = 1.267 × 10 km / s Mx r 3 My r 3 2 2 -11 3 2 24 8 3 2 再掲

16 ３．公転軌道をJavaScriptでプログラミング 前章で紐解いた、人工衛星の移動速度を用いて、人工衛星が 地球周回軌道をグルグルと回るシミュレーションをJavaScirptで 作ってみましょう dx = -G , dy = -G , r = √ x + y この移動速度の数式をコード化した以下は、数式そのままです （最近、関数型しか書いて無いので、状態を持てる・更新できる言語に拒否反応が(-_-u… ） … // 公転対象の位置から重力影響を計算し、速度を変更後、公転対象の位置を移動 moveOnGravityEffect: function() { var r = Math.sqrt( Math.pow( this.x, 2 ) + Math.pow( this.y, 2 ) ); this.dx = this.dx - G * M * this.x / Math.pow( r, 3 ); // x方向の移動速度 this.dy = this.dy - G * M * this.y / Math.pow( r, 3 ); // y方向の移動速度 this.x = this.x + this.dx; // x位置を、x方向の移動速度で更新 this.y = this.y + this.dy; // y位置を、y方向の移動速度で更新 }, … Mx r 3 My r 3 2 2 再掲

17 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3 月の質量M は、以下の通りです ➢ 月の質量 M = 7.346 x 10 kg 月の分の移動速度も、計算式は、地球と同じです dx = -G , dy = -G r は、月との距離になるので、x とy の各々から、月の座標である moon_x とmoon_y を引いて計算します r = √ (x - moon_x) + (y - moon_y) L2／L3は、月の重力分、引っ張られるため、移動速度は月より も大きくなり、間にあるL1は、相殺され、小さくなります 22 Mx r 3 My r 3 2 2

18 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3 地球と月の距離は、以下の通りです (1日15時間、時速5kmで歩き続けたとして、13.9年の距離) ➢ 地球と月の距離 3.844 x 10 km L1／L2／L3の月もしくは月軌道との距離は、以下の通りです ➢ L1 (月の内側に) 5.802 x 10 km ➢ L2 (月の内側に) 6.451 x 10 km ➢ L3 (月軌道の内側に) 2.725 x 10 km なお、この距離は、元JAXA勤務の、歌島 昌由 博士という方が、 高次方程式を高精度で解いた結果※として、発表しています ※NASDA-TMR-960033 宇宙開発事業団技術報告｢ラグランジュ点近傍の軌道力学｣ 5 4 4 3

19 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3 L3にあるスペースコロニーが、月と同じように周回軌道をグルグル 回ります (L1／L2はゴチャゴチャするので割愛)

20 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3 地球の質量を、月と同じくらいに軽くすると、周回軌道を外れて、 どこかへすっ飛んでいってしまいます… この場合、もっと地球の傍に配置する必要があります

21 ２．ラグランジュ点 L1／L2／L3 地球の質量を、太陽と同じくらい重くすると、アッという間に、地球 に吸い寄せられてしまいます

22 ３．ラグランジュ点 L4／L5

23 ３．ラグランジュ点 L4／L5 次は、ラグランジュ点L4／L5に、働く力学を確認しましょう L4／L5は、2惑星が、直線上に並んでおらず、「二等辺三角形 の頂点」の位置で重力が発生するため、その合力は、2惑星の 重心方向 (下図の×) に向きます この重心方向へ落ち続ける中、重心方向と直角の向きの速度 が維持されることで、地表へ落ちずに周回し続けます L4 or L5 月 地球 F

24 ３．ラグランジュ点 L4／L5 2惑星の重心は、2惑星の距離を質量比 (1:81) で分けた点 となりますが、地球の半径が6,371kmなので、重心が地球上に 重なっていることになります (つまり下図は、重心が月側に寄って誇張された図になっている) L4 or L5 月 地球 F 1：81 3.844 x 10 km 5 3.797 x 10 km 5 4,687 km 地球半径6,371kmより内側↑

25 ３．ラグランジュ点 L4／L5 L4／L5の位置が「二等辺三角形の頂点」なら、スペースコロ ニーにかかる2惑星からの重力も、質量比 (1:81) に従います (たとえば地球の質量が軽くなれば、重心も中央に寄っていく) 重心と重力のかかり方が、正比例しているため、各惑星の質量 が変わったとしても、二等辺三角形が維持されることとなります (なお、下図には未記載ですが、L4／L5の外向けの遠心力は、 質量比が大きくなれば強まり、小さくなれば弱まります) 月 地球 81：1

26 ３．ラグランジュ点 L4／L5 L4／L5の軌道は、「二等辺三角形の頂点」であるため、月から 地球の距離と、L4から地球の距離が、円の半径と等しくなります つまり、地球を中心とした、月の軌道と全く同じになるため、軌道 計算は、そのまま流用できます (なんか中高でやる証明問題みたい…私、アレがすごく苦手でした 大人になって、多少、理屈が分かってくると、結構、面白くなるんですけどね)

27 ３．ラグランジュ点 L4／L5 L4／L5にあるスペースコロニーも、月と同じ周回軌道をグルグル 回ります

28 ３．ラグランジュ点 L4／L5 【余談】 今回のような、3つの天体が、重力によって、お互いに影響し合う シチュエーションで、それら軌道を決定する問題は、「三体問題」 もしくは「多体問題」と呼ばれ、解析的には解けない …つまり、 方程式の変形で解くことは不可能… と言われています しかし、3体のうち、1体の質量が、他2体と比べ、無視できるほど 小さい場合は、「制限三体問題」と呼ばれ、特殊解を求めること が可能となります 更に、2体の軌道が、円軌道である場合、「円制限三体問題」 と呼ばれます 今回のラグランジュ点は、この「円制限三体問題」に該当します

29 ４．配置以外の宇宙空間で考えること

30 ４．配置以外の宇宙空間で考えること 以下のようなことを考察します (続編をお楽しみに) ① スペースコロニーにかかる遠心力 ② スペースコロニー周辺の重力場 (上面、下面、側面) ③ 重力を発生させるための回転 ④ 構造材料選定・輸送 (打ち上げ、マスドライバー射出) ⑤ 外壁・太陽発電・ガラス強度 (デブリ、重力場、遠心力) ⑥ ガラスの紫外線カット ⑦ 太陽発電の運用／電力コンティンジェンシー ⑧ 外壁・太陽発電・ガラスのメンテナンス ⑨ 外壁・太陽発電・ガラスの破損コンティンジェンシー ⑩ ラグランジュ点の軌道から逸れた場合の復元プラン ⑪ 想定外挙動時のトラブルシューティング／救援体制維持

31 ５．スペースコロニー内では…

32 ５．スペースコロニー内では… 以下のようなことを考察します (続編をお楽しみに) ① 大気、空気の波 (圧縮性流体)、漏出率、音波 ② コロニー内重力、陸地、コロニー内飛行 ③ 陸地、地震 ④ 陸地の太陽照射に伴う窓風「ウインドウウインド」 ⑤ 気象 ⑥ 海洋、圧力影響、海の波 (非圧縮性流体) ⑦ 移住者の衣食住、経済活動 ⑧ 移住者の心理面影響 ⑨ コロニーと地球の政権、自治・独立 ⑩ 戦争対策、「コロニー落とし」への対策

33 ６．物理・数学をプログラミングする世界

34 ６．物理・数学をプログラミング世界にようこそ 今回は、スペースコロニーの宇宙空間での配置を考えるにあたり、 「ラグランジュ点」と「各点における重力影響」についての理論を 解説し、数式を紐解き、プログラミングしてみました 「理論→数式→プログラミング」の流れが、「なんとなく難しく無い かも？」と思っていただけたら、この入門としては大成功です 数式の紐解きの中で、偏微分や座標系の変換等、数学のテク ニックが幾つか出てきましたが、頻出するパターンは決まっている ので、一歩ずつ理解し、慣れていけば、抵抗感は無くなります 数式からコードに落とす点も、思った以上にスンナリだったのでは 無いでしょうか？機械学習などでも、これは同様の感覚です これからも物理・数学のプログラミングを楽しんでください！