使える！数学！応用数学入門 / Introduction of applied mathematics

by konakalab

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使える！数学！応用数学入門情報工学部情報工学科准教授小中英嗣（こなかえいじ）

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数学を「使う」高校で勉強する数学，どんな場面で使えるの？

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数学を「使う」 今日の内容：数学が「現象を記述すること」に使える 「ニュートンの運動方程式」からスタート 変数，関数，微分，指数関数，代数方程式，複素数，オイラーの公式，三角関数，ベクトルと内積，… 高校で勉強する数学，どんな場面で使えるの？

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ニュートンの運動方程式：動きの規則とその原理ニュートンの運動方程式 𝑚𝑎 = 𝐹 「質量𝑚の物体に力𝐹が加わったときの加速度𝑎がこのように決まる」という主張 今のところこの規則に反する現象は観測されていない加速度とは？ (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) (加速度)=(速度の変化量)/(経過時間) 数式を使って書ける

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変数と関数とグラフ変数と関数 変数：値が変わる量を文字(記号)で表す仕組み 時間，位置，速度，加速度⇔𝑡, 𝑥, 𝑣, 𝑎 関数：変数同士の依存関係を表すしくみ 「位置が時間ごとに変化する」⇔𝑥(𝑡) 簡潔に・わかりやすく表現する工夫関数とグラフ グラフ：関数で結びつけられた変数の関係を図示したもの

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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 𝑣 = 𝑥 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑥(𝑡) 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑡

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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 𝑣 = lim Δ𝑡→0 𝑥 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑥(𝑡) 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑡

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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 微小な変化量⇔変数の前に𝑑をつける “difference” 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡

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速度と微分 (速度)=(位置の変化量)/(経過時間) 経過時間⇔Δ𝑡 「瞬間の」⇔Δ𝑡 → 0 微小な変化量⇔変数の前に𝑑をつける “difference” ×「微分を使うと位置から速度を求められる」 ◎「位置から速度を求める計算を一般化したものが微分である」加速度は位置を時間で二階微分 𝑣 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑥, 𝑎 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑥

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ばねを含む運動方程式フックの法則 「ばねを長く伸ばすには力がたくさん必要」 ばねは伸ばしたら縮む⇔伸びと力は逆向き⇔負号がつくばねにつながれたおもりの運動方程式 𝑚𝑎 = 𝐹, 𝐹 = −𝑘𝑥 ֞ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 𝑥(𝑡)とその微分を含んだ方程式：「微分方程式」 物理の問題は微分方程式を解くことである 𝐹 = −𝑘𝑥

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微分方程式を解くための (高校での)準備「微分したらどうなる関数」を知りたいのか？ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 「微分したら自分自身の定数倍になる関数」がわかるとうれしそう 知ってる？

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微分方程式を解くための (高校での)準備「微分したらどうなる関数」を知りたいのか？ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 「微分したら自分自身の定数倍になる関数」がわかるとうれしそう 知ってる？  𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑥 𝑡 高校数学っぽい書き方だと…  𝑓 𝑥 ′ = 𝑎𝑓(𝑥)

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微分方程式を解くための (高校での)準備「微分したらどうなる関数」を知りたいのか？ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥 「微分したら自分自身の定数倍になる関数」がわかるとうれしそう 知ってる？  𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑥 𝑡 高校数学っぽい書き方だと…  𝑓 𝑥 ′ = 𝑎𝑓(𝑥) 𝑒𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑒𝑎𝑥

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指数関数と𝑒(ネイピア数)を知っておくべき理由 Q: どうして𝑒って知らないといけないの？ A： 𝑒𝑎𝑥が上の条件を満たす特別にきれいな関数だから． 余談： 𝑒は物理ではなく金融(福利の利息の計算)の問題を考える必要に迫られて導出された定数 𝑒𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑒𝑎𝑥

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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 𝑒𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑒𝑎𝑥

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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥

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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 「左から何かを施す演算」として見通しが良い． 「左から微分したもの」(左辺)と「左から定数をかけたもの」(右辺) が「等しい」(等号)という主張，がわかりやすい 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥

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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥

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微分の記号として 𝑑 𝑑𝑥 が便利な理由 関数𝑥(𝑡)として， 「二階微分したら」(左辺) 「自分自身の負の定数倍」(右辺) 「と等しくなる」(等号) が解である(それを見つけなさい！) という主張． 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑥 = − 𝑘 𝑚 𝑥

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指数関数とばねの問題 ⇒代数方程式(二次方程式) 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝑘𝑥, 𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒𝑠𝑡 ֞ 𝑚𝐶𝑎2𝑒𝑠𝑡 = −𝑘𝐶𝑒𝑠𝑡 ֞ 𝑚𝑠2 = −𝑘 𝑠の二次方程式が現れた！ 𝑚𝑠2 = −𝑘, ∴ 𝑠 = ±𝑗 𝑘 𝑚 (𝑗2 = −1) 複素数(虚数)が現れた！

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二次方程式と複素数を知っておくべき理由 運動方程式は二階微分方程式 指数関数が解の候補 二次方程式に帰着される⇒解けない二次方程式があると困る 波を理解するために必要

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指数関数の肩に複素数って，何なの？ 𝑠 = ±𝑗 𝑘 𝑚 = ±𝑗𝜔0 𝑥 𝑡 = 𝐶1 𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝐶2 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 知識：ばね・重り系なので位置は単振動となるはず オイラーの公式 利点：オイラーの公式を使って指数関数と複素数を組み合わせる ⇒振動とその微積分が簡単に書けるようになる 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 sin 𝜔𝑡

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確認：2階微分してみる三角関数 𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 ֞ 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 = −𝜔2𝑥(𝑡) 指数関数 𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒±𝑗𝜔𝑡 ֞ 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = −𝐶𝜔2𝑒±𝑗𝜔𝑡 = −𝜔2𝑥(𝑡) どちらも「二階微分したら自分自身の負の定数倍になる関数」 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 sin 𝜔𝑡

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電気回路を微分方程式で書いてみる 電磁誘導 「電流の変化を妨げる方向に誘導起電力が生じる」 𝑅𝐼 𝑡 + 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸(𝑡)

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抵抗・コイル回路の微分方程式を複素数だけで解いてみる 𝐸 𝑡 = 𝐸0 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝐼 𝑡 = 𝐼0 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝐼0 𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝐸0 𝑒𝑗𝜔𝑡 ∴ 𝐼0 = 𝐸0 /(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿) 𝑅𝐼 𝑡 + 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝐸(𝑡)

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抵抗・コイル回路の微分方程式を複素数だけで解いてみる(続き) 𝐼0 = 𝐸0 𝑅+𝑗𝜔𝐿 正弦波を確定させる3つの要素 振幅𝐴，位相𝜃，角周波数𝜔 振幅(比)：複素数の絶対値 位相(差)：複素数の偏角 角周波数：変わらない 𝐼0 = 𝐸0 ⋅ 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 = 𝐸0 𝑅2 + 𝜔𝐿 2 ∠𝐼0 = ∠𝐸0 + ∠ 1 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 = ∠𝐸0 − ∠(𝑅 + 𝑗𝜔𝐿) 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃) 複素数の四則演算だけで振幅と位相の変化がわかる

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複素数の絶対値と偏角の関係を知っておくべき理由  𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 , ∠ 𝑧1 𝑧2 = ∠𝑧1 + ∠𝑧2 三角関数(正弦波)が解となるような微分方程式を四則演算だけで解ける 複素数の絶対値と偏角が正弦波の振幅比と位相差に対応

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複素数の絶対値と偏角の関係を知っておくべき理由  𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 , ∠ 𝑧1 𝑧2 = ∠𝑧1 + ∠𝑧2 三角関数(正弦波)が解となるような微分方程式を四則演算だけで解ける 複素数の絶対値と偏角が正弦波の振幅比と位相差に対応 人類が現在持ちうる，最も簡潔で簡単な微分方程式の解法 ×複素数，なんだかよくわからないし存在しないとか言われているし勉強するの無駄じゃないの…？ ◎複素数まで数を拡張するだけなのに，四則演算で微分方程式が解けるなんて感動的！！！！！

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微分方程式を複素数で解く例 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑥 = sin 𝑡 ⇒ 𝑗 + 1 𝑋0 = 1 ⇒ 𝑋0 = 1 1+𝑗 ⇒ 𝑋0 = 1 2 , ∠𝑋0 = − 𝜋 4 ∴ 𝑥 𝑡 = 1 2 sin 𝑡 − 𝜋 4 (検算) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1 2 cos 𝑡 − 𝜋 4 , 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑥 = 1 2 cos 𝑡 − 𝜋 4 + 1 2 sin 𝑡 − 𝜋 4 = sin 𝑡 = (右辺) 複素数の四則演算だけで振幅と位相の変化がわかる

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ここからは駆け足で！ベクトルと内積と分解ベクトルの分解ベクトルの内積 Ԧ 𝑥 Ԧ 𝑒 𝐿 = Ԧ 𝑥 cos 𝜃 = Ԧ 𝑥 ⋅ Ԧ 𝑒 Ԧ 𝑒 𝜃

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ここからは駆け足で！ベクトルと内積と分解直交ベクトルへの分解  Ԧ 𝑥 = Ԧ 𝑥 ⋅ 𝑒1 𝑒1 + Ԧ 𝑥 ⋅ 𝑒2 𝑒2 前提  𝑒1 = 𝑒2 = 1  𝑒1 ⋅ 𝑒2 = 0 𝑒1 𝑒2 Ԧ 𝑥

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内積を関数に拡張する関数の内積 内積：同じ位置の要素の積を足す  Ԧ 𝑝 ⋅ Ԧ 𝑞 = 𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 ⋅ 𝑞𝑦 直交関数への分解 前提  𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗  𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝑓, 𝑔 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 (𝑥)

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内積を関数に拡張する直交関数への分解 前提  𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗  𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 (𝑥) 直交ベクトルへの分解 𝑒1 𝑒2 Ԧ 𝑥

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内積を関数に拡張する直交関数への分解 前提  𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗  𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 1 𝑖 = 𝑗 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑛 (𝑥) 直交ベクトルへの分解 𝑒1 𝑒2 Ԧ 𝑥 ベクトルの分解→関数の分解につながる

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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数を異なる円の和で作る 「フーリエ級数展開」

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正弦波の和でいろいろな関数を作る 4 𝜋 sin 𝑡 + 1 3 sin 3𝑡 + 1 5 sin 5𝑡 + ⋯

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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数を異なる円の和で作る 「フーリエ級数展開」

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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数を異なる円の和で作る 「フーリエ級数展開」

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正弦波の和でいろいろな関数を作る 赤線の関数からギザギザの部分(雑音)を取り除く (ディジタル)「フィルタ」 音声・画像処理の一例

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さらに駆け足！：漸化式漸化式 𝑛を時刻だと思うと… 例：𝑎𝑛 = 𝑘𝑎𝑛−1 + (1 − 𝑘)

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さらに駆け足！：漸化式漸化式 「時間とともに変化する規則」の計算 実は微分方程式にとても近い 音声/画像処理に使われている 𝑛を時刻だと思うと… 例：𝑎𝑛 = 𝑘𝑎𝑛−1 + (1 − 𝑘)

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漸化式を使った音声処理 (のシンプルな例) 𝑏𝑛 : 元の音 𝑎𝑛 :処理後の音 𝑎𝑛 = 0.3259𝑎𝑛−1 + 0.3375 𝑏𝑛 + 𝑏𝑛−1

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漸化式を使った音声処理 (のシンプルな例) 𝑏𝑛 : 元の音 𝑎𝑛 :処理後の音 𝑎𝑛 = (もうちょっと複雑な式)

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30分では語りつくせませんが… 「勉強」と「研究」 「勉強」と「研究」はつながっている 高校までの数学・物理は情報工学の強力な武器！ 「受験のため」ではもったいない！！ △研究では今まで全く知らない高度な手法を使う ◎研究では「すでに知っている/知られている方法」で解けるかどうかを最初に検討しっかり数学を学んでから大学に来てください！数学が「役に立つ」日々が待っています！！

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教員SNSなど Twitter@konakalab  https://twitter.com/konakalab Webサイト https://www-ie.meijo- u.ac.jp/~konaka/index.html 発表済みスライド https://speakerdeck.com/konakalab イラスト素材 「いらすとや」 https://www.irasutoya.com/