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DP(動的計画法)を使った
ナップザック問題の解き方
情報科学科 1年
倉持大樹
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DP(動的計画法)とは？
• 数学の漸化式のように解くアルゴリズム
• 全探索で行うと時間がかかりすぎる問題に使う
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DPの実践(ナップザック問題)
問題
Ｎ個の品物があり、各品物に重さと価値が決まっている。
これらの品物からいくつかを重さの総和がＷを超えない
ように選んだときの、価値の総和の最大値を求めよ。
例
N=3
(重さ,価値)＝(2,3),(1,4),(3,6)
W=3
⇒7 ( (2,3),(1,4)を選んだとき )
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他の解法(ナップザック問題)
各品物について選ぶ、選ばないを決める
→全パターンの重さ、価値の合計を出す
→重さがW以下の中での価値の最大値を見つける
品物 (2,3) (1,4) (3,6) 重さ 価値
〇 〇 〇 6 13
〇 〇 × 3 7
〇 × 〇 5 9
〇 × × 2 3
× 〇 〇 4 10
× 〇 × 1 4
× × 〇 3 6
× × × 0 0 4
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DPの考え方(ナップザック問題)
考える範囲
⇒一度に全体を考えるとわかりずらい
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖
=ｉ番目まででの価値の最大値
考える範囲
⇒考える範囲を増やしていく
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DPの考え方(ナップザック問題)
→重さの情報がないため 𝑥𝑖
を 𝑥𝑖−1
から
求められない
⇒・添え字の数を２つに増やす
・増やした添え字に重さの情報を入れる
𝑥𝑖
=ｉ番目まででの価値の最大値
𝑥𝑖,𝑤
=ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
=ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0
1
2
3
表の右下の数字は
3番目までで重さが3以下の価値の最大値
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0
1
2
3
1. i=0の行を埋める⇒一つも候補がない
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 ０ ０ ０ ０
1
2
3
1. i=0の行を埋める⇒一つも候補がない
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1
2
3
2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
マスに入る数の候補は
(ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
(ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
※w-2列が存在しないときは(ⅰ)のみ
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1
2
3
2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
(ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
(ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0
2
3
2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
(ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
(ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0
2
3
2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
(ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
(ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 3 3
2
3
2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
(ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
(ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 3 3
2
3
3. ２番目の品物(1,4)を選ぶが決め、i=2の行を埋める
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 3 3
2 0 4 4 7
3
3. ２番目の品物(1,4)を選ぶが決め、i=2の行を埋める
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 3 3
2 0 4 4 7
3
4. ３番目の品物(3,6)を選ぶが決め、i=3の行を埋める
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 3 3
2 0 4 4 7
3 0 4 4 7
4. ３番目の品物(3,6)を選ぶが決め、i=3の行を埋める
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DPの考え方(ナップザック問題)
𝑥𝑖,𝑤
= ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
i＼w 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 3 3
2 0 4 4 7
3 0 4 4 7
5. 表の１番右下のマスの値が答え
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DPの実践(ナップザック問題)
1. 漸化式の添え字の数を決める
2. 漸化式を決定する
3. 初期値を決定する
解法の手順
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DPの実践(ナップザック問題)
⇒添え字は i と w の２つ
ｉ…何番目の品物まで考えるか
ｗ…重さはいくつ以下とするか
1. 漸化式の添え字の数を決める
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DPの実践(ナップザック問題)
i番目の品物の重さ・価値 ⇒ 𝑤𝑖
・𝑣𝑖
とすると
𝑥𝑖,𝑤
= ൝
max(𝑥𝑖−1,𝑤−𝑤𝑖
＋𝑣𝑖
, 𝑥𝑖−1,𝑤
)
𝑥𝑖−1,𝑤
𝑤 ≥ 𝑤𝑖
𝑤 < 𝑤𝑖
(ⅰ) 一つ上の行にある数 (ｉ番目を選ばない)
(ⅱ) 一つ上の行のw-𝑤𝑖
列にある数＋𝑣𝑖
(ｉ番目を選ぶ)
2. 漸化式の決定
漸化式
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DPの実践(ナップザック問題)
3. 初期値の決定
𝑥𝑖,𝑤
= 0 0 ≤ 𝑤 ≤ 𝑊
⇒表のｉ=0の行をすべて0で埋めた
i＼w 0 1 2 3
0 ０ ０ ０ ０
1
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最後に
• 𝑂(2𝑁) → 𝑂(𝑁𝑊)まで短縮できた
• このほかの２つDPを使う問題のパターンに
取り組みたい
• ナップザック問題をより発展させた問題に
取り組みたい
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