DPを使ったナップザック問題の解き方/Solve knapsack problem with DP

Transcript

1. DP(動的計画法)を使った
   ナップザック問題の解き方
   情報科学科 1年
   倉持大樹
   1
   

   View Slide

2. DP(動的計画法)とは？
   • 数学の漸化式のように解くアルゴリズム
   • 全探索で行うと時間がかかりすぎる問題に使う
   2
   

   View Slide

3. DPの実践(ナップザック問題)
   問題
   Ｎ個の品物があり、各品物に重さと価値が決まっている。
   これらの品物からいくつかを重さの総和がＷを超えない
   ように選んだときの、価値の総和の最大値を求めよ。
   例
   N=3
   (重さ,価値)＝(2,3),(1,4),(3,6)
   W=3
   ⇒7 ( (2,3),(1,4)を選んだとき )
   3
   

   View Slide

4. 他の解法(ナップザック問題)
   各品物について選ぶ、選ばないを決める
   →全パターンの重さ、価値の合計を出す
   →重さがW以下の中での価値の最大値を見つける
   品物 (2,3) (1,4) (3,6) 重さ 価値
   〇 〇 〇 6 13
   〇 〇 × 3 7
   〇 × 〇 5 9
   〇 × × 2 3
   × 〇 〇 4 10
   × 〇 × 1 4
   × × 〇 3 6
   × × × 0 0 4
   

   View Slide

5. DPの考え方(ナップザック問題)
   考える範囲
   ⇒一度に全体を考えるとわかりずらい
   5
   

   View Slide

6. DPの考え方(ナップザック問題)
   𝑥𝑖
   =ｉ番目まででの価値の最大値
   考える範囲
   ⇒考える範囲を増やしていく
   6
   

   View Slide

7. DPの考え方(ナップザック問題)
   →重さの情報がないため 𝑥𝑖
   を 𝑥𝑖−1
   から
   求められない
   ⇒・添え字の数を２つに増やす
   ・増やした添え字に重さの情報を入れる
   𝑥𝑖
   =ｉ番目まででの価値の最大値
   𝑥𝑖,𝑤
   =ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
   7
   

   View Slide

8. DPの考え方(ナップザック問題)
   𝑥𝑖,𝑤
   =ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
   i＼w 0 1 2 3
   0
   1
   2
   3
   表の右下の数字は
   3番目までで重さが3以下の価値の最大値
   8
   

   View Slide

9. DPの考え方(ナップザック問題)
   𝑥𝑖,𝑤
   = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
   i＼w 0 1 2 3
   0
   1
   2
   3
   1. i=0の行を埋める⇒一つも候補がない
   9
   

   View Slide

10. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 ０ ０ ０ ０
    1
    2
    3
    1. i=0の行を埋める⇒一つも候補がない
    10
    

    View Slide

11. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1
    2
    3
    2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
    マスに入る数の候補は
    (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
    (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
    ※w-2列が存在しないときは(ⅰ)のみ
    11
    

    View Slide

12. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1
    2
    3
    2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
    (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
    (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
    12
    

    View Slide

13. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0
    2
    3
    2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
    (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
    (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
    13
    

    View Slide

14. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0
    2
    3
    2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
    (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
    (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
    14
    

    View Slide

15. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0 3 3
    2
    3
    2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める
    (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない)
    (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ)
    15
    

    View Slide

16. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0 3 3
    2
    3
    3. ２番目の品物(1,4)を選ぶが決め、i=2の行を埋める
    16
    

    View Slide

17. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0 3 3
    2 0 4 4 7
    3
    3. ２番目の品物(1,4)を選ぶが決め、i=2の行を埋める
    17
    

    View Slide

18. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0 3 3
    2 0 4 4 7
    3
    4. ３番目の品物(3,6)を選ぶが決め、i=3の行を埋める
    18
    

    View Slide

19. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0 3 3
    2 0 4 4 7
    3 0 4 4 7
    4. ３番目の品物(3,6)を選ぶが決め、i=3の行を埋める
    19
    

    View Slide

20. DPの考え方(ナップザック問題)
    𝑥𝑖,𝑤
    = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値
    i＼w 0 1 2 3
    0 0 0 0 0
    1 0 0 3 3
    2 0 4 4 7
    3 0 4 4 7
    5. 表の１番右下のマスの値が答え
    20
    

    View Slide

21. DPの実践(ナップザック問題)
    1. 漸化式の添え字の数を決める
    2. 漸化式を決定する
    3. 初期値を決定する
    解法の手順
    21
    

    View Slide

22. DPの実践(ナップザック問題)
    ⇒添え字は i と w の２つ
    ｉ…何番目の品物まで考えるか
    ｗ…重さはいくつ以下とするか
    1. 漸化式の添え字の数を決める
    22
    

    View Slide

23. DPの実践(ナップザック問題)
    i番目の品物の重さ・価値 ⇒ 𝑤𝑖
    ・𝑣𝑖
    とすると
    𝑥𝑖,𝑤
    = ൝
    max(𝑥𝑖−1,𝑤−𝑤𝑖
    ＋𝑣𝑖
    , 𝑥𝑖−1,𝑤
    )
    𝑥𝑖−1,𝑤
    𝑤 ≥ 𝑤𝑖
    𝑤 < 𝑤𝑖
    (ⅰ) 一つ上の行にある数 (ｉ番目を選ばない)
    (ⅱ) 一つ上の行のw-𝑤𝑖
    列にある数＋𝑣𝑖
    (ｉ番目を選ぶ)
    2. 漸化式の決定
    漸化式
    23
    

    View Slide

24. DPの実践(ナップザック問題)
    3. 初期値の決定
    𝑥𝑖,𝑤
    = 0 0 ≤ 𝑤 ≤ 𝑊
    ⇒表のｉ=0の行をすべて0で埋めた
    i＼w 0 1 2 3
    0 ０ ０ ０ ０
    1
    24
    

    View Slide

25. 最後に
    • 𝑂(2𝑁) → 𝑂(𝑁𝑊)まで短縮できた
    • このほかの２つDPを使う問題のパターンに
    取り組みたい
    • ナップザック問題をより発展させた問題に
    取り組みたい
    25
    

    View Slide