DPを使ったナップザック問題の解き方/Solve knapsack problem with DP

1. DP(動的計画法)を使った ナップザック問題の解き方 情報科学科 1年 倉持大樹 1
2. DP(動的計画法)とは？ • 数学の漸化式のように解くアルゴリズム • 全探索で行うと時間がかかりすぎる問題に使う 2
3. DPの実践(ナップザック問題) 問題 Ｎ個の品物があり、各品物に重さと価値が決まっている。 これらの品物からいくつかを重さの総和がＷを超えない ように選んだときの、価値の総和の最大値を求めよ。 例 N=3 (重さ,価値)＝(2,3),(1,4),(3,6) W=3 ⇒7 ( (2,3),(1,4)を選んだとき ) 3
4. 他の解法(ナップザック問題) 各品物について選ぶ、選ばないを決める →全パターンの重さ、価値の合計を出す →重さがW以下の中での価値の最大値を見つける 品物 (2,3) (1,4) (3,6) 重さ 価値 〇 〇 〇 6 13 〇 〇 × 3 7 〇 × 〇 5 9 〇 × × 2 3 × 〇 〇 4 10 × 〇 × 1 4 × × 〇 3 6 × × × 0 0 4
5. DPの考え方(ナップザック問題) 考える範囲 ⇒一度に全体を考えるとわかりずらい 5
6. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖 =ｉ番目まででの価値の最大値 考える範囲 ⇒考える範囲を増やしていく 6
7. DPの考え方(ナップザック問題) →重さの情報がないため 𝑥𝑖 を 𝑥𝑖−1 から 求められない ⇒・添え字の数を２つに増やす ・増やした添え字に重さの情報を入れる 𝑥𝑖 =ｉ番目まででの価値の最大値 𝑥𝑖,𝑤 =ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 7
8. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 =ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 1 2 3 表の右下の数字は 3番目までで重さが3以下の価値の最大値 8
9. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 1 2 3 1. i=0の行を埋める⇒一つも候補がない 9
10. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 ０ ０ ０ ０ 1 2 3 1. i=0の行を埋める⇒一つも候補がない 10
11. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 2 3 2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める マスに入る数の候補は (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない) (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ) ※w-2列が存在しないときは(ⅰ)のみ 11
12. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 2 3 2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない) (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ) 12
13. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 2 3 2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない) (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ) 13
14. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 2 3 2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない) (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ) 14
15. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 2 3 2. １番目の品物(2,3)を選ぶが決め、i=1の行を埋める (ⅰ) 一つ上の行にある数 (１番目を選ばない) (ⅱ) 一つ上の行のw-2列にある数＋3 (１番目を選ぶ) 15
16. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 2 3 3. ２番目の品物(1,4)を選ぶが決め、i=2の行を埋める 16
17. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 2 0 4 4 7 3 3. ２番目の品物(1,4)を選ぶが決め、i=2の行を埋める 17
18. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 2 0 4 4 7 3 4. ３番目の品物(3,6)を選ぶが決め、i=3の行を埋める 18
19. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 2 0 4 4 7 3 0 4 4 7 4. ３番目の品物(3,6)を選ぶが決め、i=3の行を埋める 19
20. DPの考え方(ナップザック問題) 𝑥𝑖,𝑤 = ｉ番目までで重さがw以下の価値の最大値 i＼w 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 3 3 2 0 4 4 7 3 0 4 4 7 5. 表の１番右下のマスの値が答え 20
21. DPの実践(ナップザック問題) 1. 漸化式の添え字の数を決める 2. 漸化式を決定する 3. 初期値を決定する 解法の手順 21
22. DPの実践(ナップザック問題) ⇒添え字は i と w の２つ ｉ…何番目の品物まで考えるか ｗ…重さはいくつ以下とするか 1. 漸化式の添え字の数を決める 22
23. DPの実践(ナップザック問題) i番目の品物の重さ・価値 ⇒ 𝑤𝑖 ・𝑣𝑖 とすると 𝑥𝑖,𝑤 = ൝ max(𝑥𝑖−1,𝑤−𝑤𝑖 ＋𝑣𝑖 , 𝑥𝑖−1,𝑤 ) 𝑥𝑖−1,𝑤 𝑤 ≥ 𝑤𝑖 𝑤 < 𝑤𝑖 (ⅰ) 一つ上の行にある数 (ｉ番目を選ばない) (ⅱ) 一つ上の行のw-𝑤𝑖 列にある数＋𝑣𝑖 (ｉ番目を選ぶ) 2. 漸化式の決定 漸化式 23
24. DPの実践(ナップザック問題) 3. 初期値の決定 𝑥𝑖,𝑤 = 0 0 ≤ 𝑤 ≤ 𝑊 ⇒表のｉ=0の行をすべて0で埋めた i＼w 0 1 2 3 0 ０ ０ ０ ０ 1 24
25. 最後に • 𝑂(2𝑁) → 𝑂(𝑁𝑊)まで短縮できた • このほかの２つDPを使う問題のパターンに 取り組みたい • ナップザック問題をより発展させた問題に 取り組みたい 25