Partial differential equation_2 Fluid dynamics

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/ FreeFEM とPython で学ぶ偏微分⽅程式⼊⾨ FreeFEM とPython で学ぶ偏微分⽅程式⼊⾨第2 回流体⼒学⼊⾨第2 回流体⼒学⼊⾨ clock@LiberalArtsCommunity clock@LiberalArtsCommunity 2019/10/26 2019/10/26 1 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.

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/ 注意1. 運動量変化が単純な時間の偏微分にはならない周辺の要素から流れ込む分の変化を考える必要がある注意2. 積分には効いてこないが、流体中には常に相互作⽤が働いている作⽤反作⽤の法則から、内⼒の合計は0 流体中に働く⼒を特徴づける量: 応⼒テンソル応⼒テンソルは、「ある⾯に対し、どのような⼒が働くか？」を指定 2 . 8 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.

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/ ⾮圧縮性流体⾮圧縮性流体⾮圧縮性流体：圧⼒をかけても体積が変化しないような流体⽔や空気は、⾮圧縮性の近似が良い精度で成り⽴つ⾮圧縮性の数学的表現: Newton 流体: 剪断変形と歪みが⽐例数学的表現: は恒等変換を表すテンソルは変形速度テンソル ∇ ⋅ u = 0 σ = 2ηD(u) − pI I D(u) = ∇u + (∇u) /2 ( T) 2 . 9 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.

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/ 圧⼒については⼀位に定まらないため、ペナルティ法を使うペナルティ法： ( は⼗分⼩さいパラメータ) として、⾮圧縮条件を緩める物理的な解釈：体積変化が少しでも起こると、圧⼒によって押し返すような効果弱形式の書き換えここではテスト関数、はテンソルの内積を表す ∇ ⋅ u = −ϵp ϵ ρ + u ⋅ ∇u ⋅ v dV + ηD(u) : D(v) dV ∫ Ω ( ∂t ∂u ) ∫ Ω − ϵpq dV − p∇ ⋅ v dV − q∇ ⋅ u dV ∫ Ω ∫ Ω ∫ Ω − f ⋅ v dV = 0 ∫ Ω v, q D(u) : D(v) 3 . 2 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.

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/ ( 補⾜) Reynolds 数( ) を⾒れば、流体の振る舞いがある程度わかる : 流速、 : 円筒の直径、 : 粘性率と質量密度の⽐ : 層流 : Kàrmàn 渦 : 乱流 (cf. ) Re Re = ν UL U L ν = μ/ρ Re < 40 40 < Re < 1000 1000 < Re https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number 4 . 8   Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.