Partial differential equation_2 Fluid dynamics

偏微分方程式入門の第二回目として、流体力学の解説用資料の公開版です。
詳細版と実装コードを確認されたい方は、下記よりご購入いただけますのでご確認ください。
https://note.mu/lib_arts/n/n4c5088a58562

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1. / FreeFEM とPython で学ぶ偏微分⽅程式⼊⾨ FreeFEM とPython で学ぶ偏微分⽅程式⼊⾨ 第2 回 流体⼒学⼊⾨ 第2 回 流体⼒学⼊⾨ clock@LiberalArtsCommunity clock@LiberalArtsCommunity 2019/10/26 2019/10/26 1 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
2. / 流体⼒学⼊⾨ 流体⼒学⼊⾨ 2 . 1 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
3. / 流体とは何か 流体とは何か 固体： 変形しにくい 液体、気体： 変形しやすい どちらも形が⾃由⾃在に変わるため、運動の様⼦は似ている このような物体を総称して「流体」と呼ぶ 流体の例： ⽔、空気、ペースト、マヨネーズ、etc 2 . 2 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
4. / 流体⼒学: 流体の運動の性質について調べる分野 流体⼒学の応⽤ 気象学、海洋学、天体物理学など 数学的な定式化 流体は、物質で満たされた場と考えることができる 偏微分⽅程式による記述が可能 2 . 3 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
5. / 流体の運動⽅程式 ( 偏微分⽅程式) 解析計算が極めて困難 ( 境界条件などが振る舞いに⼤きく寄与) 数値計算に頼らざるを得ない状況が⼤多数 有限要素法による実装は可能 計算機を通して流体の性質を掴む 2 . 4 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
6. / 流体の運動⽅程式 流体の運動⽅程式 流体の運動はどのように記述されるのか？を⼤まかに追う 今回は「⾮圧縮性流体」のみを扱う 2 . 5 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
7. / 流体を連続体( 質量分布が連続的な物体) と⾒なす 運動⽅程式( 積分系): は速度、 は境界に働く⼒、 は体積⼒ ρu dV = s dS + f dV dt d ∫ Ω ∫ ∂Ω ∫ Ω u s f 2 . 6 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
8. / この⽅程式を、局所的な形( 微分系) に直す ( 式変形省略) 結果: はベクトル微分演算⼦ は応⼒テンソル ρ + u ⋅ ∇u = ∇ ⋅ σ + f ( ∂t ∂u ) ∇ = + e ^x ∂x ∂ + e ^y ∂y ∂ e ^z ∂z ∂ σ 2 . 7 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
9. / 注意1. 運動量変化が単純な時間の偏微分にはならない 周辺の要素から流れ込む分の変化を考える必要がある 注意2. 積分には効いてこないが、流体中には常に相互作⽤が働いている 作⽤反作⽤の法則から、内⼒の合計は0 流体中に働く⼒を特徴づける量: 応⼒テンソル 応⼒テンソルは、「ある⾯に対し、どのような⼒が働くか？」を 指定 2 . 8 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
10. / ⾮圧縮性流体 ⾮圧縮性流体 ⾮圧縮性流体： 圧⼒をかけても体積が変化しないような流体 ⽔や空気は、⾮圧縮性の近似が良い精度で成り⽴つ ⾮圧縮性の数学的表現: Newton 流体: 剪断変形と歪みが⽐例 数学的表現: は恒等変換を表すテンソル は変形速度テンソル ∇ ⋅ u = 0 σ = 2ηD(u) − pI I D(u) = ∇u + (∇u) /2 ( T) 2 . 9 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
11. / ⾮圧縮性Newton 流体の⽅程式 に を代⼊して計算 ( 省略) 結果： これをNavier-Stokes ⽅程式という ∇ ⋅ σ σ = 2ηD(u) − pI ρ + u ⋅ ∇u = η∇ u − ∇p + f, ( ∂t ∂u ) 2 ∇ ⋅ u = 0 2 . 10 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
12. / 流体⼒学における有限要素法 流体⼒学における有限要素法 3 . 1 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
13. / 圧⼒については⼀位に定まらないため、ペナルティ法を使う ペナルティ法： ( は⼗分⼩さいパラメータ) として、⾮ 圧縮条件を緩める 物理的な解釈： 体積変化が少しでも起こると、圧⼒によって押し 返すような効果 弱形式の書き換え ここで はテスト関数、 はテンソルの内積を表す ∇ ⋅ u = −ϵp ϵ ρ + u ⋅ ∇u ⋅ v dV + ηD(u) : D(v) dV ∫ Ω ( ∂t ∂u ) ∫ Ω − ϵpq dV − p∇ ⋅ v dV − q∇ ⋅ u dV ∫ Ω ∫ Ω ∫ Ω − f ⋅ v dV = 0 ∫ Ω v, q D(u) : D(v) 3 . 2 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
14. / FreeFEM による実装 FreeFEM による実装 4 . 1 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
15. / 注意 注意 流れの可視化には流れ関数 を使う 等⾼線が流線に⼀致するような関数 ⾮圧縮性流体の場合に存在 数学的にややこしいので詳細は解説しない ψ 4 . 2 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
16. / Couette 流れ Couette 流れ 2 つの円筒中にある流体の運動 境界条件： 内壁、外壁で⾓速度がそれぞれ 速度場に関するDirichlet 条件 ω , ω 1 2 4 . 3 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
17. / Couette 流れの実験: 流速を上げていくと、様⼦が変わる 層流から乱流への変化 https://www.youtube.com/watch?v=ygW630nzDIg 4 . 4 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
18. / 層流領域での数値計算 詳細はコードの実装例で紹介 4 . 5 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
19. / Kàrmàn 渦 Kàrmàn 渦 ⻑⽅形領域中に物体( 障害物) を置く 流速を早くすると流れの振る舞いはどう変わるのか？ 4 . 6 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
20. / 数値計算結果( 流速が早い場合) ： うねりが周期的に発⽣ ( 詳細はコードの実装例で説明) 4 . 7 Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.
21. / ( 補⾜) Reynolds 数( ) を⾒れば、流体の振る舞いがある程度わかる : 流速、 : 円筒の直径、 : 粘性率と質量密度の⽐ : 層流 : Kàrmàn 渦 : 乱流 (cf. ) Re Re = ν UL U L ν = μ/ρ Re < 40 40 < Re < 1000 1000 < Re https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number 4 . 8   Copyright © Liberal Arts Community. All Rights Reserved.