Causal Inference: What If 勉強会 Chap.5 Interaction Yuji Masumura Twitter: @msmr_0408 May 30, 2020 1 / 35 

Table of Contents 5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 2 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 3 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention ・２つ以上の treatment が実行可能な時、interactionの identification が可能になる。 ・Joint intervention: 2 つ以上の treatment に基づく介入 ▶ A = 1: 心臓移植, A = 0: 心臓移植なし ▶ E = 1: マルチビタミン錠, E = 0: マルチビタミン錠なし ・4 種類の treatment group (A = 1, E = 1), (A = 1, E = 0) (A = 0, E = 1), (A = 0, E = 0) ・4 potential outcomes Ya=1,e=1, Y a=1,e=0, Y a=0,e=1, Y a=0,e=0 4 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention Counterfactual framework内では ・E を 1 にした際の A の Y に対する causal effect が E を 0 にし た際の A の Y に対する causal effect と異なる時 interactionがあ るという ・A と E 間にadditive scaleの interaction がある: Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] ̸= Pr[Ya=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1] or Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=1,e=0 = 1] ̸= Pr[Ya=0,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1] ▶ A と E は interaction の定義の中で同等の地位にある 5 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention interactionとeffect modificationの違い ▶ effect modification は A の causal effect について言及してい ても V (an effect modifier) の Y に対する causal effect には 何も言っていない (cf. surrogate effect modification) ▶ interaction E は A と同等の地位にあり、E の Y に対する causal effect について言及している。 6 / 35 

Technical Point 5.1 interaction の別の表記 ・A と E 間にadditive scaleの interaction がある: Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1] ̸= {Pr[Ya=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]} + {Pr[Ya=0,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]} 不等号が > の時、superadditive 不等号が < の時、subadditiveという ・A と E 間にmultiplicative scaleの interaction がある: Pr[Y a=1,e=1=1] Pr[Y a=0,e=0=1] ̸= Pr[Y a=1,e=0=1] Pr[Y a=0,e=0=1] × Pr[Y a=0,e=1=1] Pr[Y a=0,e=0=1] 不等号が > の時、supermultiplicative 不等号が < の時、submultiplicativeという 7 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 8 / 35 

5.2 Identifying interraction ・A と E 両方にexchangeability, positivity, and consistencyが要求 される （1）E がランダムに割り当てられている時 Pr[Y a=1,e=1 = 1] = Pr[Y a=1 = 1|E = 1] が成立 (∵ exchangeability) Interaction の定義は以下のように変形できる Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] ̸= Pr[Ya=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1] ⇔ Pr[Ya=1 = 1|E = 1] − Pr[Y a=0 = 1|E = 1] ̸= Pr[Ya=1 = 1|E = 0] − Pr[Y a=0 = 1|E = 0] これはmodificationの定義と全く同じ (cf. p43) 9 / 35 

5.2 Identifying interaction （2）E がランダムでない時 ・A, E を 2 つ別々の treatment としてではなく、4 つの状態をと りうる 1 つの treatment として捉えた方が良い (11, 10, 01, 00) ↓ treatment が 1 種類の時と変わらないやり方で identification で きる (standarization, IPW) ・これまでと唯一異なるのは、treatment がとりうる値が複数 あるというだけ Pr[Y a=1,e=1 = 1], Pr[Y a=1,e=0 = 1], Pr[Y a=0,e=1 = 1], Pr[Y a=0,e=0 = 1] 10 / 35 

5.2 Identifying interaction （3）conditional exchangeability が A については成立するが E に ついては成立しない時 ・A と E の interaction は評価できないが、modification は評価 できる b/c modifier (V) には exchangeability, positivity, consistency などが必要ない ・A と E の interaction はなくても modification はある場合があ る 11 / 35 

5.2 Identifying interaction ・これまでの議論はdeterministic counterfactual outcome を想定 してきたが、nondeterministicな場合にも適用できる。 deterministic outcome: counterfactual outcomes が treatment を受 ける前から一つの値に固定されていること ( cf. p9) ・しかし、これからの議論はdeterministic outcome にしか適用 できない ・また、これからは treatment と outcome はの値は２種類しか 取らないとする。 12 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 13 / 35 

5.3 Counterfactual response type and interaction 個々人をdeterministic counterfactual responses によって分類する （1）treatment が 1 つの場合 > 4 種類 ・Doomed: treatment に関係なく Y a = 1 になる人 ・Helped: treatment を受けなかった時のみ Y a = 1 になる人 ・Hurt: treatment を受けた時のみ Y a = 1 になる人 ・Immune: treatment に関係なく Y a = 0 になる人 14 / 35 

5.3 Counterfactual response type and interaction （2）treatment が 2 つの場合 > type 1-16 までの 16 種類 ▶ Type 1 の人は treatment A, E 両方から 影響を受けない ▶ Type 16 の人も treatmentA, E 両方から 影響を受けない ▶ もし、全員が Type 1 or Type 16 なら A も E も Y に対する因果効果がないと言 える 15 / 35 

5.3 Counterfactual response type and interaction ▶ Type 4 の人は treatment A の値に関係な く、e=1 なら死亡し e=0 なら生存する ▶ Type 13 の人は treatment A 値に関係な く、e=1 なら死亡し e=0 なら生存する ▶ Type 6 の人は treatment E の値に関係な く、a=1 なら死亡し a=0 なら生存する ▶ Type 11 の人は treatment E の値に関係 なく、a=0 なら死亡し a=1 なら生存す る 16 / 35 

5.3 Counterfactual response type and interaction Type 1, 4, 6, 11, 13, 16 の人は共通して ▶ E の値に関係なく、A の Y に対する因 果効果は一定 ▶ A の値に関係なく、E の Y に対する因 果効果は一定 という特徴を持つ ↓ もし全ての人がこのうちのどれかに属する なら A, E 間で (additive scale の) interactionはない 17 / 35 

5.3 Counterfactual response type and interaction 別の表記 A, E 間にinteraction があることは以下の３ 種類のどれかに 1 人はいること示す ▶ 4 つの potential outcomes の内 1 つだけ で Y=1 になる (Type 8, 12, 14, and 15) ▶ 4 つの potential outcomes の内 3 つにお いて Y ＝ 1 になる (Type 2, 3, 5, and 9) ▶ 4 つの potential outcomes の内 2 つにお いて Y ＝ 1 になり、かつ２つの treatment の効果が真逆 (Type 7 and 10) 18 / 35 

5.3 Counterfactual response type and interaction 逆にadditiveなinteractionがないということ は ▶ これらに該当する人がいない ▶ Type 7, 10 間、もしくは Type 8, 12 間な どで cancellation がおきている のいずれかがおきていることを示す 19 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 20 / 35 

5.4 Sufficient causes treatment A を受けた人の中でも生きる人も死ぬ人も出てくる ため A だけでは特定の outcome を常にもたらす要因としては 不十分 U1: A = 1 と一緒に働いた時、特定の結果を必ずもたらす背景 要因の最小の集合 ex.) 心移植 (A=1) は麻酔アレルギー (U1 = 1) の人に施したときのみ、また そのとき必ず死 (Y=1) をもたらす U2: A = 0 と一緒に働いた時、特定の結果を必ずもたらす背景 要因の最小の集合 ex.) 心移植をしない (A=0) ことは駆出率が 20% 以下 (U2 = 1) の患者にの み、またそのとき必ず死 (Y=1) をもたらす U0: treatment に関わらず、特定の結果を必ずもたらす背景要因 の最小の集合 ex.) 心移植の有無に関わらず、膵臓癌を患っている (U0 ) 患者は必ず亡くな る (Y=1) 21 / 35 

5.4 Sufficient causes Sufficient causes: A=1 と U1 が同時にあること A=0 と U2 が同時にあること A にの値に関わらず U0 があること Sufficient-component causes: sufficient causes とその構成要素を さす Causal pies: 図を用いる利点 2 つ ・effect modification の visualize ex.) U1 の分布の違いで同じ A ＝ 1 の Y に対する結果が異なる ・別の interaction 概念の visualize 　（詳細は次の section） 22 / 35 

5.4 Sufficient causes A と E ２つの treatment に対してのsufficient causes > 9 種類 常に以下の 9 つが存在するわけではない ・A もしくは E どちらかのみが関係するもの 1. by treatment A (treatment E is irrelevant) 2. by the absence of treatment A (treatment E is irrelevant) 3. by treatment E (treatment A is irrelevant) 4. by the absence of treatment E (treatment A is irrelevant) 23 / 35 

5.4 Sufficient causes ・A と E の特定の組み合わせが関係するもの 5. by both treatment A and E 6. by treatment of A and the absence of E 7. by the treatment of E and the absence of A 8. by the absence of both A and B ・A も E も関係しないもの 9. by other mechanism (both treatment of A and E are irrelevant) 24 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 25 / 35 

5.5 Sufficient cause interaction Sufficient cause interaction: ある sufficient cause 内で A と E が同 時に生じているとき、AE 間に interaction があるという ・the sufficient-component-cause framework に依拠した第二の interaction の概念 (↔ Counterfactual framework) ・Counterfactual framework では扱えなかった causal mechanism により近づける上に、mechanism に関する詳細な知識を常に要 求されるわけではない (cf. Fine Point 5.3) Ex.) U5 = 1 の背景要因を持つ個人が存在する（Y a=1,e=1 = 1 かつ Y a=1,e=0 = Y a=0,e=1 = 0 の個人が存在する）なら A, E 間 にsufficient cause interactionが存在する synergistic: （A=1, E=1）が同じ sufficient cause にある時 antagonistic: (A=1, E=0) or (A=0, E=1) が同じ sufficient cause にある時 26 / 35 

5.1 Interaction requires a joint intervention 5.2 Identifying interaction 5.3 Counterfactual response type and interaction 5.4 Sufficient causes 5.5 Sufficient cause interaction 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? 27 / 35 

5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes? ・Counterfactual framework とSufficient-component causes framework はそれぞれ異なった疑問に答えている - Counterfactual framework: ある介入が与えられた時、どんな効果が生じるのか? - Sufficient-component causes framework: ある効果が与えられた時、 その原因になるものは何か? ・後者の方が mechanism、effect modification などの背景要因、 effect modification と synergism、interaction の関連などが理解し やすい ・一方で、近年の発展を考慮しても後者を際立たせるのに必要 な大量のデータを手に入れられることはまれ ⇒ counterfactual framework の方が一般的 28 / 35 

Technical Point 5.2 Monotonicity (単調性) { Ya=1 ≥ Y a=0 for Doomed, Hurt, Immune type Ya=0 > Y a=1 for Helped type treatment A がどんな人の outcome も阻害しない時 (= Helped type がいない時)、全員の counterfactual outcome が a におい てmonotonicallyに増加している、もしくは、A の Y に対する因 果効果はmonotonicである、という ・treatment が２つあるとき a, e 両方において上記が成立していれば良い 具体的には (Y a=1,e=1 = 0, Y a=0,e=1 = 1), (Y a=1,e=1 = 0, Y a=1,e=0 = 1), (Y a=1,e=0 = 0,Y a=0,e=0 = 1), (Y a=0,e=1 = 0, Y a=0,e=0 = 1) となる人が存在しないこと 29 / 35 

Fine Point 5.1 Counterfactual response type と interaction の関係について ・例えば、Type 7 or Type 8 (Y a=1,e=1 = 1 and Y a=1,e=0 = Y a=0,e=1 = 0) がいるかどうかを判別したい。 ・Type 7 or Type8 が存在する十分条件は Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] > Pr[Y a=1,e=0 = 1] しかし、これは強すぎる十分条件で使いにくい ・A, E においてmonotonicityが成立している仮定のもとで上記 の式は Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] > Pr[Y a=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1] となる 30 / 35 

Fine Point 5.2 Counterfactual response type と sufficient causes の対応関係 Exchangeability: Pr[Y a=1 = 1|A = 1] = Pr[Y a=1 = 1|A = 0], Pr[Y a=0 = 1|A = 1] = Pr[Y a=0 = 0|A = 0] ・Y a=1 = 1 となるのは Doomed か Hurt これに対応する component causes は U0 = 1 or U1 = 1 ・Y a=1 = 0 となるのは Doomed か Helped これに対応する component causes は U0 = 1 or U2 = 1 ⇒ Exchangeability: Pr[U0 = 1 or U1 = 1|A = 1] = Pr[U0 = 1 or U1 = 1|A = 0], Pr[U0 = 1 or U0 = 1|A = 1] = Pr[U0 = 1 or U0 = 1|A = 0] 31 / 35 

Fine Point 5.4 Fine Point 3.4 でAttributable fraction(寄与分画) を定義した。 （寄与分画＝ treatment を受けた人のうち、treatment が原因である疾病にな った割合を示すもの） Pr[Y =1]−Pr[Y a=0=1] Pr[Y =1] ・２つの treatment A, E を想定 A の attributable fraction を 75%, E の attributable fraction を 50% とする A と E の joint intervention は 50 + 75 = 125% の症例を防げたの か？ → 当然違う. 100% は超えない 32 / 35 

Fine Point 5.4 Q: ではなぜ 100% を超えたのか？ A: 2 回カウントされていた人がいたから e.g.) U5 = 1 の人は A ＝ 0, E=0 のいずれかがあれば症状は出 ない ・Sufficient-component-cause framework はこの問題を理解しや すくする ・A, E 両者が sufficient causes の構成要素かもしれない時、A, E 別々に論じるのは misleading. (e.g. 遺伝子と環境) 33 / 35 

Technical Point 5.3 treatment A, E がmonotonicityを満たす時、sufficient causes の内 いくつかは存在しないことが担保されている。 Ex.) A=1: 喫煙, A=0: 喫煙しない E=1: 運動しない, E=0: 運動する 喫煙が心臓病を防ぐことがない、運動しないことが心臓病を防 ぐことがない時、A=0 or E=0 を含むような sufficient causes は 存在しない。 34 / 35 

ありがとうございました。 35 / 35