Upgrade to Pro — share decks privately, control downloads, hide ads and more …

Interaction (Causal inference: What if, Chapter 5)

Shuntaro Sato
November 18, 2020

Interaction (Causal inference: What if, Chapter 5)

Keywords: 因果推論, Interaction(交互作用), Joint intervention, Sufficient cause

Shuntaro Sato

November 18, 2020
Tweet

More Decks by Shuntaro Sato

Other Decks in Science

Transcript

  1.  
    Causal Inference: What If 勉強会
    Chap.5 Interaction
    Yuji Masumura
    Twitter: @msmr_0408
    May 30, 2020
    1 / 35

    View full-size slide

  2. Table of Contents
    5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    2 / 35

    View full-size slide

  3. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    3 / 35

    View full-size slide

  4. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    ・2つ以上の treatment が実行可能な時、interactionの
    identification が可能になる。
    ・Joint intervention: 2 つ以上の treatment に基づく介入
    ▶ A = 1: 心臓移植, A = 0: 心臓移植なし
    ▶ E = 1: マルチビタミン錠, E = 0: マルチビタミン錠なし
    ・4 種類の treatment group
    (A = 1, E = 1), (A = 1, E = 0)
    (A = 0, E = 1), (A = 0, E = 0)
    ・4 potential outcomes
    Ya=1,e=1, Y a=1,e=0, Y a=0,e=1, Y a=0,e=0
    4 / 35

    View full-size slide

  5. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    Counterfactual framework内では
    ・E を 1 にした際の A の Y に対する causal effect が E を 0 にし
    た際の A の Y に対する causal effect と異なる時 interactionがあ
    るという
    ・A と E 間にadditive scaleの interaction がある:
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] ̸=
    Pr[Ya=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]
    or
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=1,e=0 = 1] ̸=
    Pr[Ya=0,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]
    ▶ A と E は interaction の定義の中で同等の地位にある
    5 / 35

    View full-size slide

  6. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    interactionとeffect modificationの違い
    ▶ effect modification は A の causal effect について言及してい
    ても V (an effect modifier) の Y に対する causal effect には
    何も言っていない (cf. surrogate effect modification)
    ▶ interaction E は A と同等の地位にあり、E の Y に対する
    causal effect について言及している。
    6 / 35

    View full-size slide

  7. Technical Point 5.1
    interaction の別の表記
    ・A と E 間にadditive scaleの interaction がある:
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1] ̸=
    {Pr[Ya=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]}
    + {Pr[Ya=0,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]}
    不等号が > の時、superadditive
    不等号が < の時、subadditiveという
    ・A と E 間にmultiplicative scaleの interaction がある:
    Pr[Y a=1,e=1=1]
    Pr[Y a=0,e=0=1]
    ̸= Pr[Y a=1,e=0=1]
    Pr[Y a=0,e=0=1]
    × Pr[Y a=0,e=1=1]
    Pr[Y a=0,e=0=1]
    不等号が > の時、supermultiplicative
    不等号が < の時、submultiplicativeという
    7 / 35

    View full-size slide

  8. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    8 / 35

    View full-size slide

  9. 5.2 Identifying interraction
    ・A と E 両方にexchangeability, positivity, and consistencyが要求
    される
    (1)E がランダムに割り当てられている時
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] = Pr[Y a=1 = 1|E = 1] が成立
    (∵ exchangeability)
    Interaction の定義は以下のように変形できる
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] ̸=
    Pr[Ya=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]
    ⇔ Pr[Ya=1 = 1|E = 1] − Pr[Y a=0 = 1|E = 1] ̸=
    Pr[Ya=1 = 1|E = 0] − Pr[Y a=0 = 1|E = 0]
    これはmodificationの定義と全く同じ (cf. p43)
    9 / 35

    View full-size slide

  10. 5.2 Identifying interaction
    (2)E がランダムでない時
    ・A, E を 2 つ別々の treatment としてではなく、4 つの状態をと
    りうる 1 つの treatment として捉えた方が良い (11, 10, 01, 00)

    treatment が 1 種類の時と変わらないやり方で identification で
    きる (standarization, IPW)
    ・これまでと唯一異なるのは、treatment がとりうる値が複数
    あるというだけ
    Pr[Y a=1,e=1 = 1], Pr[Y a=1,e=0 = 1],
    Pr[Y a=0,e=1 = 1], Pr[Y a=0,e=0 = 1]
    10 / 35

    View full-size slide

  11. 5.2 Identifying interaction
    (3)conditional exchangeability が A については成立するが E に
    ついては成立しない時
    ・A と E の interaction は評価できないが、modification は評価
    できる
    b/c modifier (V) には exchangeability, positivity, consistency
    などが必要ない
    ・A と E の interaction はなくても modification はある場合があ

    11 / 35

    View full-size slide

  12. 5.2 Identifying interaction
    ・これまでの議論はdeterministic counterfactual outcome を想定
    してきたが、nondeterministicな場合にも適用できる。
    deterministic outcome: counterfactual outcomes が treatment を受
    ける前から一つの値に固定されていること ( cf. p9)
    ・しかし、これからの議論はdeterministic outcome にしか適用
    できない
    ・また、これからは treatment と outcome はの値は2種類しか
    取らないとする。
    12 / 35

    View full-size slide

  13. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    13 / 35

    View full-size slide

  14. 5.3 Counterfactual response type and interaction
    個々人をdeterministic counterfactual responses によって分類する
    (1)treatment が 1 つの場合 > 4 種類
    ・Doomed: treatment に関係なく Y a = 1 になる人
    ・Helped: treatment を受けなかった時のみ Y a = 1 になる人
    ・Hurt: treatment を受けた時のみ Y a = 1 になる人
    ・Immune: treatment に関係なく Y a = 0 になる人
    14 / 35

    View full-size slide

  15. 5.3 Counterfactual response type and interaction
    (2)treatment が 2 つの場合 > type 1-16 までの 16 種類
    ▶ Type 1 の人は treatment A, E 両方から
    影響を受けない
    ▶ Type 16 の人も treatmentA, E 両方から
    影響を受けない
    ▶ もし、全員が Type 1 or Type 16 なら A
    も E も Y に対する因果効果がないと言
    える
    15 / 35

    View full-size slide

  16. 5.3 Counterfactual response type and interaction
    ▶ Type 4 の人は treatment A の値に関係な
    く、e=1 なら死亡し e=0 なら生存する
    ▶ Type 13 の人は treatment A 値に関係な
    く、e=1 なら死亡し e=0 なら生存する
    ▶ Type 6 の人は treatment E の値に関係な
    く、a=1 なら死亡し a=0 なら生存する
    ▶ Type 11 の人は treatment E の値に関係
    なく、a=0 なら死亡し a=1 なら生存す

    16 / 35

    View full-size slide

  17. 5.3 Counterfactual response type and interaction
    Type 1, 4, 6, 11, 13, 16 の人は共通して
    ▶ E の値に関係なく、A の Y に対する因
    果効果は一定
    ▶ A の値に関係なく、E の Y に対する因
    果効果は一定
    という特徴を持つ

    もし全ての人がこのうちのどれかに属する
    なら A, E 間で (additive scale の)
    interactionはない
    17 / 35

    View full-size slide

  18. 5.3 Counterfactual response type and interaction
    別の表記
    A, E 間にinteraction があることは以下の3
    種類のどれかに 1 人はいること示す
    ▶ 4 つの potential outcomes の内 1 つだけ
    で Y=1 になる (Type 8, 12, 14, and 15)
    ▶ 4 つの potential outcomes の内 3 つにお
    いて Y = 1 になる (Type 2, 3, 5, and 9)
    ▶ 4 つの potential outcomes の内 2 つにお
    いて Y = 1 になり、かつ2つの
    treatment の効果が真逆 (Type 7 and 10)
    18 / 35

    View full-size slide

  19. 5.3 Counterfactual response type and interaction
    逆にadditiveなinteractionがないということ

    ▶ これらに該当する人がいない
    ▶ Type 7, 10 間、もしくは Type 8, 12 間な
    どで cancellation がおきている
    のいずれかがおきていることを示す
    19 / 35

    View full-size slide

  20. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    20 / 35

    View full-size slide

  21. 5.4 Sufficient causes
    treatment A を受けた人の中でも生きる人も死ぬ人も出てくる
    ため A だけでは特定の outcome を常にもたらす要因としては
    不十分
    U1: A = 1 と一緒に働いた時、特定の結果を必ずもたらす背景
    要因の最小の集合
    ex.) 心移植 (A=1) は麻酔アレルギー (U1
    = 1) の人に施したときのみ、また
    そのとき必ず死 (Y=1) をもたらす
    U2: A = 0 と一緒に働いた時、特定の結果を必ずもたらす背景
    要因の最小の集合
    ex.) 心移植をしない (A=0) ことは駆出率が 20% 以下 (U2
    = 1) の患者にの
    み、またそのとき必ず死 (Y=1) をもたらす
    U0: treatment に関わらず、特定の結果を必ずもたらす背景要因
    の最小の集合
    ex.) 心移植の有無に関わらず、膵臓癌を患っている (U0
    ) 患者は必ず亡くな
    る (Y=1)
    21 / 35

    View full-size slide

  22. 5.4 Sufficient causes
    Sufficient causes: A=1 と U1
    が同時にあること
    A=0 と U2
    が同時にあること
    A にの値に関わらず U0
    があること
    Sufficient-component causes: sufficient causes とその構成要素を
    さす
    Causal pies:
    図を用いる利点 2 つ
    ・effect modification の visualize
    ex.) U1
    の分布の違いで同じ A = 1 の Y に対する結果が異なる
    ・別の interaction 概念の visualize  (詳細は次の section)
    22 / 35

    View full-size slide

  23. 5.4 Sufficient causes
    A と E 2つの treatment に対してのsufficient causes > 9 種類
    常に以下の 9 つが存在するわけではない
    ・A もしくは E どちらかのみが関係するもの
    1. by treatment A (treatment E is irrelevant)
    2. by the absence of treatment A (treatment E is irrelevant)
    3. by treatment E (treatment A is irrelevant)
    4. by the absence of treatment E (treatment A is irrelevant)
    23 / 35

    View full-size slide

  24. 5.4 Sufficient causes
    ・A と E の特定の組み合わせが関係するもの
    5. by both treatment A and E
    6. by treatment of A and the absence of E
    7. by the treatment of E and the absence of A
    8. by the absence of both A and B
    ・A も E も関係しないもの
    9. by other mechanism (both treatment of A and E are
    irrelevant)
    24 / 35

    View full-size slide

  25. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    25 / 35

    View full-size slide

  26. 5.5 Sufficient cause interaction
    Sufficient cause interaction: ある sufficient cause 内で A と E が同
    時に生じているとき、AE 間に interaction があるという
    ・the sufficient-component-cause framework に依拠した第二の
    interaction の概念 (↔ Counterfactual framework)
    ・Counterfactual framework では扱えなかった causal mechanism
    により近づける上に、mechanism に関する詳細な知識を常に要
    求されるわけではない (cf. Fine Point 5.3)
    Ex.) U5 = 1 の背景要因を持つ個人が存在する(Y a=1,e=1 = 1
    かつ Y a=1,e=0 = Y a=0,e=1 = 0 の個人が存在する)なら A, E 間
    にsufficient cause interactionが存在する
    synergistic: (A=1, E=1)が同じ sufficient cause にある時
    antagonistic: (A=1, E=0) or (A=0, E=1) が同じ sufficient cause
    にある時
    26 / 35

    View full-size slide

  27. 5.1 Interaction requires a joint intervention
    5.2 Identifying interaction
    5.3 Counterfactual response type and interaction
    5.4 Sufficient causes
    5.5 Sufficient cause interaction
    5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    27 / 35

    View full-size slide

  28. 5.6 Counterfactuals or sufficient-component causes?
    ・Counterfactual framework とSufficient-component causes
    framework はそれぞれ異なった疑問に答えている
    - Counterfactual framework:
    ある介入が与えられた時、どんな効果が生じるのか?
    - Sufficient-component causes framework:
    ある効果が与えられた時、
    その原因になるものは何か?
    ・後者の方が mechanism、effect modification などの背景要因、
    effect modification と synergism、interaction の関連などが理解し
    やすい
    ・一方で、近年の発展を考慮しても後者を際立たせるのに必要
    な大量のデータを手に入れられることはまれ
    ⇒ counterfactual framework の方が一般的
    28 / 35

    View full-size slide

  29. Technical Point 5.2
    Monotonicity (単調性)
    {
    Ya=1 ≥ Y a=0 for Doomed, Hurt, Immune type
    Ya=0 > Y a=1 for Helped type
    treatment A がどんな人の outcome も阻害しない時 (= Helped
    type がいない時)、全員の counterfactual outcome が a におい
    てmonotonicallyに増加している、もしくは、A の Y に対する因
    果効果はmonotonicである、という
    ・treatment が2つあるとき
    a, e 両方において上記が成立していれば良い
    具体的には (Y a=1,e=1 = 0, Y a=0,e=1 = 1),
    (Y a=1,e=1 = 0, Y a=1,e=0 = 1), (Y a=1,e=0 = 0,Y a=0,e=0 = 1),
    (Y a=0,e=1 = 0, Y a=0,e=0 = 1) となる人が存在しないこと
    29 / 35

    View full-size slide

  30. Fine Point 5.1
    Counterfactual response type と interaction の関係について
    ・例えば、Type 7 or Type 8 (Y a=1,e=1 = 1 and
    Y a=1,e=0 = Y a=0,e=1 = 0) がいるかどうかを判別したい。
    ・Type 7 or Type8 が存在する十分条件は
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] > Pr[Y a=1,e=0 = 1]
    しかし、これは強すぎる十分条件で使いにくい
    ・A, E においてmonotonicityが成立している仮定のもとで上記
    の式は
    Pr[Y a=1,e=1 = 1] − Pr[Y a=0,e=1 = 1] >
    Pr[Y a=1,e=0 = 1] − Pr[Y a=0,e=0 = 1]
    となる
    30 / 35

    View full-size slide

  31. Fine Point 5.2
    Counterfactual response type と sufficient causes の対応関係
    Exchangeability: Pr[Y a=1 = 1|A = 1] = Pr[Y a=1 = 1|A = 0],
    Pr[Y a=0 = 1|A = 1] = Pr[Y a=0 = 0|A = 0]
    ・Y a=1 = 1 となるのは Doomed か Hurt
    これに対応する component causes は U0 = 1 or U1 = 1
    ・Y a=1 = 0 となるのは Doomed か Helped
    これに対応する component causes は U0 = 1 or U2 = 1
    ⇒ Exchangeability:
    Pr[U0 = 1 or U1 = 1|A = 1] = Pr[U0 = 1 or U1 = 1|A = 0],
    Pr[U0 = 1 or U0 = 1|A = 1] = Pr[U0 = 1 or U0 = 1|A = 0]
    31 / 35

    View full-size slide

  32. Fine Point 5.4
    Fine Point 3.4 でAttributable fraction(寄与分画) を定義した。
    (寄与分画= treatment を受けた人のうち、treatment が原因である疾病にな
    った割合を示すもの)
    Pr[Y =1]−Pr[Y a=0=1]
    Pr[Y =1]
    ・2つの treatment A, E を想定
    A の attributable fraction を 75%, E の attributable fraction を
    50% とする
    A と E の joint intervention は 50 + 75 = 125% の症例を防げたの
    か?
    → 当然違う. 100% は超えない
    32 / 35

    View full-size slide

  33. Fine Point 5.4
    Q: ではなぜ 100% を超えたのか?
    A: 2 回カウントされていた人がいたから
    e.g.) U5 = 1 の人は A = 0, E=0 のいずれかがあれば症状は出
    ない
    ・Sufficient-component-cause framework はこの問題を理解しや
    すくする
    ・A, E 両者が sufficient causes の構成要素かもしれない時、A, E
    別々に論じるのは misleading. (e.g. 遺伝子と環境)
    33 / 35

    View full-size slide

  34. Technical Point 5.3
    treatment A, E がmonotonicityを満たす時、sufficient causes の内
    いくつかは存在しないことが担保されている。
    Ex.) A=1: 喫煙, A=0: 喫煙しない
    E=1: 運動しない, E=0: 運動する
    喫煙が心臓病を防ぐことがない、運動しないことが心臓病を防
    ぐことがない時、A=0 or E=0 を含むような sufficient causes は
    存在しない。
    34 / 35

    View full-size slide

  35. ありがとうございました。
    35 / 35

    View full-size slide