時間の矢について / Time's arrow

by kaityo256

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1 28 慶應義塾大学理工学部物理情報工学科渡辺宙志 2024年1月12日研究室ミーティング時間の矢について

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2 28 時間の矢とは？我々の感じる「時間」は一方向に流れている過去の記憶はあるが、未来の記憶はないこれはなぜだろう？

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3 28 時間反転対称性ミクロな支配方程式は時間反転対称性を持つ 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝐹(𝑥) 例：ニュートンの運動方程式運動を録画したビデオを逆再生してもどちらが正方向か区別がつかない時間に関して二階微分 →もし𝑥(𝑡)が解なら、𝑥(−𝑡)も解

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4 28 時間反転対称性マクロな支配方程式は時間反転非対称性 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕2𝜌 𝜕𝑥2 例：拡散方程式時間に関して一階微分 →もし𝜌(𝑥, 𝑡)が解でも、𝜌(𝑥, −𝑡)は解にならない拡散現象を録画したビデオを逆再生したら逆再生とわかる

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5 28 ミクロからマクロへ水にインクを垂らすと拡散していく水原子の動き 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝐹(𝑥) 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕2𝜌 𝜕𝑥2 マクロには時間反転非対称ミクロには時間反転対称

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6 28 エーレンフェストの壺 1 2 3 4 5 6 • 2つ壺を用意する • 数字が書かれた玉をN個用意する • 一つの玉をランダムに選んで、その玉をもう一方に移す • 最初は片方にすべての玉を入れておく • 片方の壺の玉の数の時間発展を追う

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7 28 エーレンフェストの壺 N=10の場合ステップ壺の中の玉の数

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8 28 エーレンフェストの壺 N=100の場合ステップ壺の中の玉の数

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9 28 エーレンフェストの壺 N=1000の場合ステップ壺の中の玉の数どんな状態からスタートしても玉が半分ずつの状態に収束する

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10 28 エーレンフェストの壺 1 2 3 4 5 6 ミクロな操作は可逆マクロな観測事実は不可逆時間の矢どこで時間反転対称性が破れたのか？ ※逆過程が等確率で起きる ※初期条件を忘れる

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11 28 玉が1個の場合玉が一つの場合、右側の壺の状態は二通り 1 玉がない玉がある

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12 28 玉が1個の場合マルコフ遷移図 1 1 状態がくるくる回ってしまって定常状態にならない (偶数回と奇数回でそれぞれ必ず異なる状態になる) 1

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13 28 エーレンフェストの壺(改) 1 2 3 4 5 6 • 2つ壺を用意する • 数字が書かれた玉をN個用意する • 一つの玉をランダムに選んでその玉をもう一方に移すが、確率ε(0< ε <1)でなにもしない • 最初は片方にすべての玉を入れておく • 片方の壺の玉の数の時間発展を追う

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14 28 玉が1個の場合マルコフ遷移図 1 − 𝜀 同じ状態にとどまる可能性があるため、定常状態が存在する 1 − 𝜀 𝜀 𝜀 1

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15 28 確率の時間発展と定常状態 1 tステップ目に玉がない確率 𝑝𝜙 𝑡 𝑝1 𝑡 tステップ目に玉がある確率

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16 28 確率の時間発展と定常状態 𝑝𝜙 𝑡+1= 𝜀𝑝𝜙 𝑡 + (1 − 𝜀)𝑝1 𝑡 𝑝1 𝑡+1= (1 − 𝜀)𝑝𝜙 𝑡 + 𝜀𝑝1 𝑡 確率の時間発展 Ԧ 𝑝𝑡 = 𝑝𝜙 𝑡 𝑝1 𝑡 と書くと Ԧ 𝑝𝑡+1 = 𝑀 Ԧ 𝑝𝑡 𝑀 = 𝜀 1 − 𝜀 1 − 𝜀 𝜀 ただし

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17 28 確率の時間発展と定常状態 Ԧ 𝑝1 = 𝑀 Ԧ 𝑝0 この𝑀を遷移行列、もしくはマルコフ行列と呼ぶ確率ベクトルに𝑀をかける→時間が1ステップ進む無限回かける→(もしあれば)定常状態が得られる Ԧ 𝑝∞ = 𝑀∞ Ԧ 𝑝0 Ԧ 𝑝2 = 𝑀 Ԧ 𝑝1 = 𝑀2 Ԧ 𝑝0 ⋮

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18 28 確率の時間発展と定常状態 𝑀 = 𝜀 1 − 𝜀 1 − 𝜀 𝜀 マルコフ行列の最大固有値は1 最大固有値に対応する固有ベクトルが定常状態 Ԧ 𝑝∞ = 𝑀 Ԧ 𝑝∞ もし Ԧ 𝑝∞ が定常状態なら、 𝑀をかけても状態がかわらないに対応する固有ベクトルは Ԧ 𝑝∞ = 1/2 1/2 定常状態は2つの状態が等確率で現れる 1 =

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19 28 玉が2個の場合 1 tステップ目に玉がない確率 𝑝𝜙 𝑡 𝑝1 𝑡 tステップ目に玉1がある確率 2 𝑝2 𝑡 tステップ目に玉2がある確率 𝑝12 𝑡 tステップ目に玉1,2がある確率 2 1

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20 28 マルコフ遷移図(N=2) 1 2 2 1 𝜀 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 1 2 (1 − 𝜀) 𝜀 𝜀 𝜀

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21 28 ミクロな対称性 1 確率1/2で玉1が選ばれ、かつ確率(1 − 𝜀)で玉を移す 1 2 (1 − 𝜀) 1 1 2 (1 − 𝜀) すべての2つの状態間の遷移確率は等しい全ての過程と逆過程は等確率で起きる →可逆過程

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22 28 遷移行列 𝑀 = 𝜀 𝑐 𝑐 0 𝑐 𝜀 0 𝑐 𝑐 0 𝜀 𝑐 0 𝑐 𝑐 𝜀 𝑐 ≡ 1 2 1 − 𝜀 Ԧ 𝑝∞ = 1/4 1/4 1/4 1/4 最大固有値に対応する固有ベクトル十分時間が経つと、全てのミクロな状態は等確率で出現する →等重率の原理 1 2 2 1 = = =

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23 28 粗視化 1 2 = = 玉の数字を見ないことにする同一視

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24 28 粗視化十分時間がたった後に片方の壺を観察すると 𝑝0 = 1 4 𝑝1 = 1 2 𝑝2 = 1 4 玉がない玉が1個玉が2個 1 2 玉が1つ(=N/2)ある状態を観測する確率が最も高くなった

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25 28 粗視化：玉がN個の場合十分時間がたった後に片方の壺を観察すると玉がない玉が1個 𝑝0 = 1 2𝑁 𝑝1 = 𝑁 2𝑁 … 玉がn個 𝑝𝑛 = 𝐶𝑛 2𝑁 𝑁 N個の玉がある→ミクロな状態は2𝑁個 n個の玉がある状態→ 𝐶𝑛 個 𝑁

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26 28 粗視化：玉がN個の場合 𝑁 = 1000 Nが大きい時にN/2を中心とするガウス分布に収束玉の数がほぼN/2である状態が観測される 𝑛 𝑝𝑛

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27 28 まとめ現実のこの世界は・・・？ • エーレンフェストの壺はミクロには可逆、マクロには不可逆 • ミクロとは「全ての玉の番号を知っている状態」 • マクロとは「玉の区別をなくした状態」 • ミクロにはすべての状態が等確率で出現する →等重率の原理 • マクロには玉が半分ずつに分かれる状態に収束する →時間の矢 • 古典的には「粗視化」が時間反転対称性を破る

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28 28 参考 https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/materials/Irreversiblity09.pdf スライドを作成するにあたり以下を参考にさせていただきました (本スライドの誤り、思い違いなどはすべて渡辺の責任です)