Share
Embed
Slide 1
Slide 1 text
Welcome to the "Parametricity"
🏙️
− Generic だけど Specific な世界 −
#関数型まつり 2026 — @Guvalif (TAKASE Kazuyuki)
Slide 2
Slide 2 text
自己紹介 - 高瀬 和之 (TAKASE Kazuyuki)
𝕏：@Guvalif
余談) ScalaMatsuri 2020 ぶりの登壇です
💪
Profile {
works = [
"IoT エンジニア",
"フロントエンド・エンジニア",
"開発人事",
"TechPM (← 現職)",
"エンジニア育成 (← 複業)"
],
memo = "関数型 XXX を名乗りがち
😗"
}
Slide 3
Slide 3 text
関数型プログラミングに対する私の立ち位置
🧑🏫
良い設計を発見する ための、ベース知識として用いる
安全な開発を実現する ための、勘所として用いる
これらは決してプログラミング言語に依存すること無く、
普遍的に応用可能 だと考える
Slide 4
Slide 4 text
アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？
Slide 5
Slide 5 text
アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？
初めて聞く
👂
Slide 6
Slide 6 text
アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？
初めて聞く
👂
聞いたことはあるが、中身は知らない
🤔
Slide 7
Slide 7 text
アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？
初めて聞く
👂
聞いたことはあるが、中身は知らない
🤔
理論的背景も含めて知っている
✌️
Slide 8
Slide 8 text
アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？
初めて聞く
👂
聞いたことはあるが、中身は知らない
🤔
理論的背景も含めて知っている
✌️
住んでいる
🏙️
Slide 9
Slide 9 text
アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？
初めて聞く
👂
聞いたことはあるが、中身は知らない
🤔
理論的背景も含めて知っている
✌️
住んでいる
🏙️
Slide 10
Slide 10 text
I. (パラメトリック) 多相型
Slide 11
Slide 11 text
多相型のモチベーション (1)
配列に対する head 関数を考える
もし
多相型が無い 場合、次のようなことが起こる：
const headN: (_: number[]) => number | undefined =
(xs) => xs.at(0);
const headS: (_: string[]) => string | undefined =
(xs) => xs.at(0);
const headB: (_: boolean[]) => boolean | undefined =
(xs) => xs.at(0);
// 以下、同一な実装であっても各型ごとに区別しなければならない
😇
Slide 12
Slide 12 text
多相型のモチベーション (2)
多相型がある 場合、次のように記述できる：
const head: (_: T[]) => T | undefined =
(xs) => xs.at(0);
head([ 1, 2, 3 ]); // 1
head([ 'a', 'b', 'c' ]); // 'a'
head([ true, false, true ]); // true
head([]); // undefined
// 任意の型 `T` に対して、(型安全性を保って) 同一な実装を用いることができる
🙆♂️
Slide 13
Slide 13 text
本当に？
🤔
ある型 T ごとに分岐を許すと、変な実装も許されそう
しかし直感的には、そのような実装はできないようにしたい
多相型で型付けされた実装 に対して、
暗黙のうちに
ある型 T
に依存しない ことを考えていそう
→
多相型で型付けすることで、実装が限定される ことを導きたい
Slide 14
Slide 14 text
II. 数学的なモデル化
Slide 15
Slide 15 text
前提
本資料では、以下の前提のもと数学的なモデルを考えていく：
(素朴な)
型 を
集合 とみなす
純粋な関数のみを考慮する
不動点演算子 (いわゆる Y or Z コンビネータ) は考慮しない
type F = (_: (_: X) => Y) => (_: X) => Y;
type G = (_: G ) => (_: X) => Y;
const Z = (f: F) =>
( (g: G) => f((x) => g(g)(x)) )
( (g: G) => f((x) => g(g)(x)) );
Slide 16
Slide 16 text
導入：多相型の表現
多相型で型付けされた値は (チルダ) で区別する。このとき：
1. 通常の TypeScript における型表現
∗
~
h
~
h
~
h
~
A
:
:
:
⟨T⟩(_ : T[]) ⇒ T ∣ undefined
⟨T⟩. T[] ⇒ T ∣ undefined
⟨A/T⟩. A[] ⇒ A ∣ undefined
(1)
(2)
(3)
Slide 17
Slide 17 text
導入：多相型の表現
多相型で型付けされた値は (チルダ) で区別する。このとき：
1. 通常の TypeScript における型表現
2.
引数を省力した型表現 (本資料では一貫してこの型表現を採用)
∗
~
h
~
h
~
h
~
A
:
:
:
⟨T⟩(_ : T[]) ⇒ T ∣ undefined
⟨T⟩. T[] ⇒ T ∣ undefined
⟨A/T⟩. A[] ⇒ A ∣ undefined
(1)
(2)
(3)
Slide 18
Slide 18 text
導入：多相型の表現
多相型で型付けされた値は (チルダ) で区別する。このとき：
2.
引数を省力した型表現 (本資料では一貫してこの型表現を採用)
3. ある型 A による具体化
∗
~
h
~
h
~
h
~
A
:
:
:
⟨T⟩(_ : T[]) ⇒ T ∣ undefined
⟨T⟩. T[] ⇒ T ∣ undefined
⟨A/T⟩. A[] ⇒ A ∣ undefined
(1)
(2)
(3)
※
※ 厳密には、具体化した時点で型パラメータ は消去されます ( は視覚的区別 )
Slide 19
Slide 19 text
検討：多相型を
集合 でモデル化する？
🤔
型を集合とみなすことは素朴だが、(e.g. boolean = )
ある型 T
ごとに分岐する実装 を排除しきれない！
{true, false}
Slide 20
Slide 20 text
検討：多相型を
集合 でモデル化する？
🤔
型を集合とみなすことは素朴だが、(e.g. boolean = )
ある型 T
ごとに分岐する実装 を排除しきれない！
e.g. を考える：
型パラメータ が取れること を、
宇宙 に属する
任意の集合 に対する操作 として解釈する
関数の型 を、配置集合 として解釈する
ここで、ある型 による具体化 は、恒等関数以外も含みうる
{true, false}
⟨T⟩. T ⇒ T
⟨T⟩
U T
T ⇒ T TT
A AA
Slide 21
Slide 21 text
方針：多相型を
関係 でモデル化し、制約を強める
そもそも "関係" とは？
デカルト積 の部分集合 のこと
ソフトウェア・エンジニア的には、 2 Tuple の集まりのこと
A × B
Slide 22
Slide 22 text
方針：多相型を
関係 でモデル化し、制約を強める
そもそも "関係" とは？
デカルト積 の部分集合 のこと
ソフトウェア・エンジニア的には、 2 Tuple の集まりのこと
本資料では、関係を考えるとき で囲って表す
は、 の部分集合であることを表す
A × B
[[ X ]] : (A, B)
R
[[ ]]
(A, B)
R A × B
Slide 23
Slide 23 text
III. さまざまな関係
Slide 24
Slide 24 text
空関係
の部分集合として、空集合 を取ることができる
これも として、関係に持ち上げて捉えて良い
A × B ∅
[[ ∅ ]]
[[ ∅ ]] : (A, B)
R
Slide 25
Slide 25 text
恒等関係
型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ：
[[ I
]] :
T
(T, T)
=
R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T
Slide 26
Slide 26 text
恒等関係
型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ：
e.g. の持ち上げ：
[[ I
]] :
T
(T, T)
=
R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T
boolean
[[ I
]]
boolean
=
=
=
≅
{(t, t) ∣ t ∈ boolean}
{(t, t) ∣ t ∈ {true, false}}
{(true, true), (false, false)}
boolean
Slide 27
Slide 27 text
恒等関係
型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ：
e.g. の持ち上げ：
[[ I
]] :
T
(T, T)
=
R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T
boolean
[[ I
]]
boolean
=
=
=
≅
{(t, t) ∣ t ∈ boolean}
{(t, t) ∣ t ∈ {true, false}}
{(true, true), (false, false)}
boolean
Slide 28
Slide 28 text
恒等関係
型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ：
e.g. の持ち上げ：
[[ I
]] :
T
(T, T)
=
R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T
boolean
[[ I
]]
boolean
=
=
=
≅
{(t, t) ∣ t ∈ boolean}
{(t, t) ∣ t ∈ {true, false}}
{(true, true), (false, false)}
boolean
Slide 29
Slide 29 text
恒等関係
型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ：
e.g. の持ち上げ：
[[ I
]] :
T
(T, T)
=
R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T
boolean
[[ I
]]
boolean
=
=
=
≅
{(t, t) ∣ t ∈ boolean}
{(t, t) ∣ t ∈ {true, false}}
{(true, true), (false, false)}
boolean
Slide 30
Slide 30 text
関係としての関数
関数 は、関係 に持ち上げることができる：
f : X ⇒ Y [[ f ]]
[[ f ]] : (X, Y)
=
R
{(x,
) ∣
∈Y
f(x) x ∈ X}
Slide 31
Slide 31 text
関係としての関数
関数 は、関係 に持ち上げることができる：
e.g. not 関数 の持ち上げ：
f : X ⇒ Y [[ f ]]
[[ f ]] : (X, Y)
=
R
{(x,
) ∣
∈Y
f(x) x ∈ X}
¬ : boolean ⇒ boolean
[[ ¬ ]] =
=
=
{(x, ¬(x)) ∣ x ∈ boolean}
{(x, ¬(x)) ∣ x ∈ {true, false}}
{(true, false), (false, true)}
Slide 32
Slide 32 text
関係としての関数
関数 は、関係 に持ち上げることができる：
e.g. not 関数 の持ち上げ：
f : X ⇒ Y [[ f ]]
[[ f ]] : (X, Y)
=
R
{(x,
) ∣
∈Y
f(x) x ∈ X}
¬ : boolean ⇒ boolean
[[ ¬ ]] =
=
=
{(x, ¬(x)) ∣ x ∈ boolean}
{(x, ¬(x)) ∣ x ∈ {true, false}}
{(true, false), (false, true)}
Slide 33
Slide 33 text
関係としての関数
関数 は、関係 に持ち上げることができる：
e.g. not 関数 の持ち上げ：
f : X ⇒ Y [[ f ]]
[[ f ]] : (X, Y)
=
R
{(x,
) ∣
∈Y
f(x) x ∈ X}
¬ : boolean ⇒ boolean
[[ ¬ ]] =
=
=
{(x, ¬(x)) ∣ x ∈ boolean}
{(x, ¬(x)) ∣ x ∈ {true, false}}
{(true, false), (false, true)}
Slide 34
Slide 34 text
メモ
📝：関係の表現力
関数 の関係への持ち上げ は、
1 つの入力に対して 1 つの出力を持つ表現 に限定される
一方、
関係 は の任意の部分集合なので、
1 つの入力に対して複数の出力を持つ表現 も許容できる
f : X ⇒ Y [[ f ]]
X × Y
Slide 35
Slide 35 text
メモ
📝：関係の表現力
関数 の関係への持ち上げ は、
1 つの入力に対して 1 つの出力を持つ表現 に限定される
一方、
関係 は の任意の部分集合なので、
1 つの入力に対して複数の出力を持つ表現 も許容できる
e.g. 平方根の関係 について：
f : X ⇒ Y [[ f ]]
X × Y
[[ S ]] = {(x, y) ∣ x = y }
2
(4, 2) ∈ [[ S ]] ∧ (4, −2) ∈ [[ S ]]
Slide 36
Slide 36 text
関数関係 (1)
2 つの関係 と を用いて、
2 Tuple
の各要素が関数 となるような関係を定義できる：
[[ X ]] : (X, X )
′
R [[ Y ]] : (Y, Y )
′
R
[[ X ]]
R
[[ Y ]] : (X ⇒ Y, X ⇒ Y )
′ ′
R
(f, f )
{ ′
for all (x, x )
′
(f(x), f (x ))
′ ′
∈
∈
[[ X ]],
[[ Y ]]
}
Slide 37
Slide 37 text
関数関係 (2)
具体例として、 を考えてみる：
【 関数関係が満たすべき条件 】
[[ I
]]
boolean
R
[[ I
]]
0∣1
for all (
)
x=x′
※
x, x′
(
)
f(x)=f (x )
′ ′
※
f(x), f (x )
′ ′
∈
∈
[[ I
]],
boolean
[[ I
]]
0∣1
※ 恒等関係に含まれる 2 Tuple は、常に第 1 要素と第 2 要素が等しいため
Slide 38
Slide 38 text
関数関係 (2)
具体例として、 を考えてみる：
【 関数関係が満たすべき条件 】
→ 関数の外延性から、 を満たす 2 Tuple のみ考えれば良い
[[ I
]]
boolean
R
[[ I
]]
0∣1
for all (
)
x=x′
※
x, x′
(
)
f(x)=f (x )
′ ′
※
f(x), f (x )
′ ′
∈
∈
[[ I
]],
boolean
[[ I
]]
0∣1
f = f′
※ 恒等関係に含まれる 2 Tuple は、常に第 1 要素と第 2 要素が等しいため
Slide 39
Slide 39 text
関数関係 (3)
その上で、
関数の型 の値 をすべて列挙する：
boolean ⇒ 0∣1
const c0: (_: boolean) => 0|1 =
(_) => 0;
const c1: (_: boolean) => 0|1 =
(_) => 1;
const n: (_: boolean) => 0|1 =
(x) => Number(x) as 0|1;
const u: (_: boolean) => 0|1 =
(x) => Number(!x) as 0|1;
Slide 40
Slide 40 text
関数関係 (4)
最後に を満たす 2 Tuple を列挙すると、以下となる：
f = f′
[[ I
]]
boolean
R
[[ I
]] =
0∣1
{(c
, c
), (c
, c
), (n, n), (u, u)}
0 0 1 1
Slide 41
Slide 41 text
全称関係 (1)
を、関係 を表現のどこかに持つ関係とする
その上で、関係 について
全称量化 することを考える：
F([[ X ]]) [[ X ]]
[[ X ]]
⟨[[ X ]]⟩. F([[ X ]]) = (
,
)
{ f
~
f
~′
for all [[ X ]]
(
,
)
f
~
X
f
~′
X′
:
∈
(X, X )
,
′
R
F([[ X ]])
}
Slide 42
Slide 42 text
全称関係 (1)
を、関係 を表現のどこかに持つ関係とする
その上で、関係 について
全称量化 することを考える：
ここで、 は で添字づけられた集まり，
は で添字づけられた集まりを意味し、
と を型で考えると、
多相型で型付けされた値 とみなせる
F([[ X ]]) [[ X ]]
[[ X ]]
⟨[[ X ]]⟩. F([[ X ]]) = (
,
)
{ f
~
f
~′
for all [[ X ]]
(
,
)
f
~
X
f
~′
X′
:
∈
(X, X )
,
′
R
F([[ X ]])
}
f
~
X
f
~′ X′
X X′
Slide 43
Slide 43 text
全称関係 (2)
具体例として、 を考えてみる：
【 全称関係が満たすべき条件 】
⟨[[ X ]]⟩. [[ X ]]
for all [[ X ]]
(
,
)
f
~
X
f
~′
X′
:
∈
(X, X )
,
′
R
[[ X ]]
Slide 44
Slide 44 text
全称関係 (2)
具体例として、 を考えてみる：
【 全称関係が満たすべき条件 】
ここで、どのような と に対しても、
空関係 を考慮する必要がある →
述語を満たせない 😇
⟨[[ X ]]⟩. [[ X ]]
for all [[ X ]]
(
,
)
f
~
X
f
~′
X′
:
∈
(X, X )
,
′
R
[[ X ]]
X X′
[[ ∅ ]] : (X, X )
′
R
Slide 45
Slide 45 text
全称関係 (2)
具体例として、 を考えてみる：
【 全称関係が満たすべき条件 】
ここで、どのような と に対しても、
空関係 を考慮する必要がある →
述語を満たせない 😇
→ を満たすことは、とても大変
😵💫
⟨[[ X ]]⟩. [[ X ]]
for all [[ X ]]
(
,
)
f
~
X
f
~′
X′
:
∈
(X, X )
,
′
R
[[ X ]]
X X′
[[ ∅ ]] : (X, X )
′
R
for all [[ ∗ ]]
Slide 46
Slide 46 text
ここまでのまとめ
以下それぞれを定義し、簡単に性質を確かめた：
空関係
恒等関係
関係としての関数
関数関係
全称関係
(本資料では取り扱わないが) 参考文献では
直積関係 や
リスト関係 なども記載されているので、興味があれば参照まで
📝
[[ ∅ ]]
[[ I
]]
T
[[ f ]]
[[ X ]]
R
[[ Y ]]
⟨[[ X ]]⟩. F([[ X ]])
Slide 47
Slide 47 text
※ まだ、実装が限定される性質は示していない
🤔
Slide 48
Slide 48 text
IV. "Parametricity" の主張
Slide 49
Slide 49 text
Parametricity
多相型を持つ型システムを考える
ある値 の型 から、帰納的に導出できる
関係 は、
を満たす
【 簡単な具体例 】
に関して、 が成り立つ
※ t T [[ T ]]
(t, t) ∈ [[ T ]]
:
t
true
T
boolean (true, true) ∈ [[ I
]]
boolean
※ 参考文献における記述は "閉じた項" ですが、型環境を適切に考慮すれば解消可能です
Slide 50
Slide 50 text
実際に試してみる (1)
(の型) から、 という関係を
帰納的に導出した上で、満たすべき条件を考える：
【 関係が満たすべき条件 】
:
f
~
⟨T⟩. T ⇒ T ⟨[[ T ]]⟩. [[ T ]]
R
[[ T ]]
for all
for all
[[ T ]]
(t, t )
′
(
(t),
(t ))
f
~
T
f
~
T′
′
:
∈
∈
(T, T )
,
′
R
[[ T ]],
[[ T ]]
Slide 51
Slide 51 text
実際に試してみる (1)
(の型) から、 という関係を
帰納的に導出した上で、満たすべき条件を考える：
【 関係が満たすべき条件 】
:
f
~
⟨T⟩. T ⇒ T ⟨[[ T ]]⟩. [[ T ]]
R
[[ T ]]
for all
for all
[[ T ]]
(t, t )
′
(
(t),
(t ))
f
~
T
f
~
T′
′
:
∈
∈
(T, T )
,
′
R
[[ T ]],
[[ T ]]
Slide 52
Slide 52 text
実際に試してみる (1)
(の型) から、 という関係を
帰納的に導出した上で、満たすべき条件を考える：
【 関係が満たすべき条件 】
:
f
~
⟨T⟩. T ⇒ T ⟨[[ T ]]⟩. [[ T ]]
R
[[ T ]]
for all
for all
[[ T ]]
(t, t )
′
(
(t),
(t ))
f
~
T
f
~
T′
′
:
∈
∈
(T, T )
,
′
R
[[ T ]],
[[ T ]]
Slide 53
Slide 53 text
実際に試してみる (2)
の部分集合として、関数の持ち上げ を
任意にとってみる：
(T, T )
′
R [[ g : T ⇒ T ]]
′
for all
for all
[[ g ]]
(t, t )
′
(
(t),
(t ))
f
~
T
f
~
T′
′
:
∈
∈
(T, T )
,
′
R
[[ g ]],
[[ g ]]
Slide 54
Slide 54 text
実際に試してみる (3)
関数の持ち上げ は、 を満たす 2 Tuple のみ持つので：
[[ g ]] (∗, g(∗))
for all
for all
[[ g ]]
(t,
)
g(t)
t′
(
(t),
)
f
~
T
g(
(t))
f
~
T
(t )
f
~
T′
′
:
∈
∈
(T, T )
,
′
R
[[ g ]],
[[ g ]]
Slide 55
Slide 55 text
実際に試してみる (4)
ここまでの状況を整理すると：
t′
(t )
f
~
T′
′
=
=
g(t)
g(
(t))
f
~
T
Slide 56
Slide 56 text
実際に試してみる (4)
ここまでの状況を整理すると：
代入して整理すると、以下の等式が得られる：
t′
(t )
f
~
T′
′
=
=
g(t)
g(
(t))
f
~
T
(g(t)) =
f
~
T′
g(
(t))
f
~
T
Slide 57
Slide 57 text
実際に試してみる (4)
ここまでの状況を整理すると：
代入して整理すると、以下の等式が得られる：
→ この等式によって、 の実装が限定される！
t′
(t )
f
~
T′
′
=
=
g(t)
g(
(t))
f
~
T
(g(t)) =
f
~
T′
g(
(t))
f
~
T
f
~
Slide 58
Slide 58 text
Fin.
🥳
Slide 59
Slide 59 text
α. 自然性条件
Slide 60
Slide 60 text
関数関係，ふたたび (1)
2 つの関係 と を用いて、
2 Tuple の各要素が関数となるような関係を定義できる：
[[ X ]] : (X, X )
′
R [[ Y ]] : (Y, Y )
′
R
[[ X ]]
R
[[ Y ]] : (X ⇒ Y, X ⇒ Y )
′ ′
R
(f, f )
{ ′
for all (x, x )
′
(f(x), f (x ))
′ ′
∈
∈
[[ X ]],
[[ Y ]]
}
Slide 61
Slide 61 text
関数関係，ふたたび (2)
2 つの関係 と を取り巻く状況：
[[ X ]] : (X, X )
′
R [[ Y ]] : (Y, Y )
′
R
Slide 62
Slide 62 text
関数関係，ふたたび (3)
から関数の持ち上げ を、
から関数の持ち上げ を選ぶ：
(X, X )
′
R [[ g ]]
(Y, Y )
′
R
[[ h ]]
Slide 63
Slide 63 text
関数関係，ふたたび (3)
から関数の持ち上げ を、
から関数の持ち上げ を選ぶ： →
＼完全に可換図式／
(X, X )
′
R [[ g ]]
(Y, Y )
′
R
[[ h ]]
Slide 64
Slide 64 text
全称関係で "対象" を任意に動かす
可換図式が任意に成立することを表し、
特に の場合は
自然変換 といえる
=
f
~
f
~′
Slide 65
Slide 65 text
まとめ
関数関係 により、
可換図式 が得られる
全称関係 により、
自然変換 が得られる
これより、
多相関数は自然変換 であることもわかる
【 参考文献 】
『Theorems for free !』by Philip Wadler
『型システム入門 - プログラミング言語と型の理論 -』by オーム社