Welcome to the "Parametricity" 🏙️ − Generic だけど Specific な世界 −

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− #関数型まつり 2026 — @Guvalif (TAKASE Kazuyuki)

自己紹介 - 高瀬和之 (TAKASE Kazuyuki) 𝕏：@Guvalif 余談) ScalaMatsuri 2020
ぶりの登壇です 💪 Profile { works = [ "IoT エンジニア", "フロントエンド・エンジニア", "開発人事", "TechPM (← 現職)", "エンジニア育成 (← 複業)" ], memo = "関数型 XXX を名乗りがち 😗" }

関数型プログラミングに対する私の立ち位置 🧑‍🏫 良い設計を発見するための、ベース知識として用いる安全な開発を実現するための、勘所として用いるこれらは決してプログラミング言語に依存すること無く、普遍的に応用可能だと考える

アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？

アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？初めて聞く 👂

アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？初めて聞く 👂 聞いたことはあるが、中身は知らない 🤔

アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？初めて聞く 👂 聞いたことはあるが、中身は知らない 🤔 理論的背景も含めて知っている ✌️

アイスブレイク："Parametricity"，知ってる？初めて聞く 👂 聞いたことはあるが、中身は知らない 🤔 理論的背景も含めて知っている ✌️ 住んでいる 🏙️

I. (パラメトリック) 多相型

多相型のモチベーション (1) 配列に対する head 関数を考えるもし多相型が無い場合、次のようなことが起こる： const headN:
(_: number[]) => number | undefined = (xs) => xs.at(0); const headS: (_: string[]) => string | undefined = (xs) => xs.at(0); const headB: (_: boolean[]) => boolean | undefined = (xs) => xs.at(0); // 以下、同一な実装であっても各型ごとに区別しなければならない 😇

多相型のモチベーション (2) 多相型がある場合、次のように記述できる： const head: <T>(_: T[]) => T
| undefined = (xs) => xs.at(0); head([ 1, 2, 3 ]); // 1 head([ 'a', 'b', 'c' ]); // 'a' head([ true, false, true ]); // true head([]); // undefined // 任意の型 `T` に対して、(型安全性を保って) 同一な実装を用いることができる 🙆‍♂️

本当に？ 🤔 ある型 T ごとに分岐を許すと、変な実装も許されそうしかし直感的には、そのような実装はできないようにしたい多相型で型付けされた実装に対して、暗黙のうちにある型
T に依存しないことを考えていそう → 多相型で型付けすることで、実装が限定されることを導きたい

II. 数学的なモデル化

前提本資料では、以下の前提のもと数学的なモデルを考えていく： (素朴な) 型を集合とみなす純粋な関数のみを考慮する不動点演算子 (いわゆる
Y or Z コンビネータ) は考慮しない type F<X, Y> = (_: (_: X) => Y) => (_: X) => Y; type G<X, Y> = (_: G<X, Y> ) => (_: X) => Y; const Z = <X, Y>(f: F<X, Y>) => ( (g: G<X, Y>) => f((x) => g(g)(x)) ) ( (g: G<X, Y>) => f((x) => g(g)(x)) );

導入：多相型の表現多相型で型付けされた値は (チルダ) で区別する。このとき： 1. 通常の TypeScript における型表現 ∗ ~
h ~ h ~ h ~ A : : : ⟨T⟩(_ : T[]) ⇒ T ∣ undefined ⟨T⟩. T[] ⇒ T ∣ undefined ⟨A/T⟩. A[] ⇒ A ∣ undefined (1) (2) (3)

導入：多相型の表現多相型で型付けされた値は (チルダ) で区別する。このとき： 1. 通常の TypeScript における型表現 2. 引数を省力した型表現
(本資料では一貫してこの型表現を採用) ∗ ~ h ~ h ~ h ~ A : : : ⟨T⟩(_ : T[]) ⇒ T ∣ undefined ⟨T⟩. T[] ⇒ T ∣ undefined ⟨A/T⟩. A[] ⇒ A ∣ undefined (1) (2) (3)

導入：多相型の表現多相型で型付けされた値は (チルダ) で区別する。このとき： 2. 引数を省力した型表現 (本資料では一貫してこの型表現を採用) 3. ある型 A
による具体化 ∗ ~ h ~ h ~ h ~ A : : : ⟨T⟩(_ : T[]) ⇒ T ∣ undefined ⟨T⟩. T[] ⇒ T ∣ undefined ⟨A/T⟩. A[] ⇒ A ∣ undefined (1) (2) (3) ※ ※ 厳密には、具体化した時点で型パラメータ <T> は消去されます ( <A/T> は視覚的区別 )

検討：多相型を集合でモデル化する？ 🤔 型を集合とみなすことは素朴だが、(e.g. boolean = ) ある型 T
ごとに分岐する実装を排除しきれない！ {true, false}

検討：多相型を集合でモデル化する？ 🤔 型を集合とみなすことは素朴だが、(e.g. boolean = ) ある型 T
ごとに分岐する実装を排除しきれない！ e.g. を考える：型パラメータが取れることを、宇宙に属する任意の集合に対する操作として解釈する関数の型を、配置集合として解釈するここで、ある型による具体化は、恒等関数以外も含みうる {true, false} ⟨T⟩. T ⇒ T ⟨T⟩ U T T ⇒ T TT A AA

方針：多相型を関係でモデル化し、制約を強めるそもそも "関係" とは？デカルト積の部分集合のことソフトウェア・エンジニア的には、
2 Tuple の集まりのこと A × B

方針：多相型を関係でモデル化し、制約を強めるそもそも "関係" とは？デカルト積の部分集合のことソフトウェア・エンジニア的には、
2 Tuple の集まりのこと本資料では、関係を考えるときで囲って表すは、の部分集合であることを表す A × B [[ X ]] : (A, B) R [[ ]] (A, B) R A × B

III. さまざまな関係

空関係の部分集合として、空集合を取ることができるこれもとして、関係に持ち上げて捉えて良い A × B ∅ [[
∅ ]] [[ ∅ ]] : (A, B) R

恒等関係型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ： [[ I ]] : T (T, T)
= R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T

恒等関係型を関係に持ち上げる際の、自明な例のひとつ： e.g. の持ち上げ： [[ I ]] : T
(T, T) = R {(t, t) ∣ t ∈ T} ≅ T boolean [[ I ]] boolean = = = ≅ {(t, t) ∣ t ∈ boolean} {(t, t) ∣ t ∈ {true, false}} {(true, true), (false, false)} boolean

関係としての関数関数は、関係に持ち上げることができる： f : X ⇒ Y [[
f ]] [[ f ]] : (X, Y) = R {(x, ) ∣ ∈Y f(x) x ∈ X}

関係としての関数関数は、関係に持ち上げることができる： e.g. not 関数の持ち上げ： f :
X ⇒ Y [[ f ]] [[ f ]] : (X, Y) = R {(x, ) ∣ ∈Y f(x) x ∈ X} ¬ : boolean ⇒ boolean [[ ¬ ]] = = = {(x, ¬(x)) ∣ x ∈ boolean} {(x, ¬(x)) ∣ x ∈ {true, false}} {(true, false), (false, true)}

メモ 📝：関係の表現力関数の関係への持ち上げは、 1 つの入力に対して 1 つの出力を持つ表現に限定される
一方、関係はの任意の部分集合なので、 1 つの入力に対して複数の出力を持つ表現も許容できる f : X ⇒ Y [[ f ]] X × Y

メモ 📝：関係の表現力関数の関係への持ち上げは、 1 つの入力に対して 1 つの出力を持つ表現に限定される
一方、関係はの任意の部分集合なので、 1 つの入力に対して複数の出力を持つ表現も許容できる e.g. 平方根の関係について： f : X ⇒ Y [[ f ]] X × Y [[ S ]] = {(x, y) ∣ x = y } 2 (4, 2) ∈ [[ S ]] ∧ (4, −2) ∈ [[ S ]]

関数関係 (1) 2 つの関係とを用いて、 2 Tuple の各要素が関数となるような関係を定義できる：
[[ X ]] : (X, X ) ′ R [[ Y ]] : (Y, Y ) ′ R [[ X ]] R [[ Y ]] : (X ⇒ Y, X ⇒ Y ) ′ ′ R (f, f ) { ′ for all (x, x ) ′ (f(x), f (x )) ′ ′ ∈ ∈ [[ X ]], [[ Y ]] }

関数関係 (2) 具体例として、を考えてみる：【関数関係が満たすべき条件】 [[ I
]] boolean R [[ I ]] 0∣1 for all ( ) x=x′ ※ x, x′ ( ) f(x)=f (x ) ′ ′ ※ f(x), f (x ) ′ ′ ∈ ∈ [[ I ]], boolean [[ I ]] 0∣1 ※ 恒等関係に含まれる 2 Tuple は、常に第 1 要素と第 2 要素が等しいため

関数関係 (2) 具体例として、を考えてみる：【関数関係が満たすべき条件】 → 関数の外延性から、を満たす
2 Tuple のみ考えれば良い [[ I ]] boolean R [[ I ]] 0∣1 for all ( ) x=x′ ※ x, x′ ( ) f(x)=f (x ) ′ ′ ※ f(x), f (x ) ′ ′ ∈ ∈ [[ I ]], boolean [[ I ]] 0∣1 f = f′ ※ 恒等関係に含まれる 2 Tuple は、常に第 1 要素と第 2 要素が等しいため

関数関係 (4) 最後にを満たす 2 Tuple を列挙すると、以下となる： f = f′
[[ I ]] boolean R [[ I ]] = 0∣1 {(c , c ), (c , c ), (n, n), (u, u)} 0 0 1 1

全称関係 (1) を、関係を表現のどこかに持つ関係とするその上で、関係について全称量化することを考える： F([[ X
]]) [[ X ]] [[ X ]] ⟨[[ X ]]⟩. F([[ X ]]) = ( , ) { f ~ f ~′ for all [[ X ]] ( , ) f ~ X f ~′ X′ : ∈ (X, X ) , ′ R F([[ X ]]) }

全称関係 (1) を、関係を表現のどこかに持つ関係とするその上で、関係について全称量化することを考える：ここで、は
で添字づけられた集まり，はで添字づけられた集まりを意味し、とを型で考えると、多相型で型付けされた値とみなせる F([[ X ]]) [[ X ]] [[ X ]] ⟨[[ X ]]⟩. F([[ X ]]) = ( , ) { f ~ f ~′ for all [[ X ]] ( , ) f ~ X f ~′ X′ : ∈ (X, X ) , ′ R F([[ X ]]) } f ~ X f ~′ X′ X X′

全称関係 (2) 具体例として、を考えてみる：【全称関係が満たすべき条件】 ⟨[[ X ]]⟩.
[[ X ]] for all [[ X ]] ( , ) f ~ X f ~′ X′ : ∈ (X, X ) , ′ R [[ X ]]

全称関係 (2) 具体例として、を考えてみる：【全称関係が満たすべき条件】ここで、どのようなとに対しても、
空関係を考慮する必要がある → 述語を満たせない 😇 ⟨[[ X ]]⟩. [[ X ]] for all [[ X ]] ( , ) f ~ X f ~′ X′ : ∈ (X, X ) , ′ R [[ X ]] X X′ [[ ∅ ]] : (X, X ) ′ R

全称関係 (2) 具体例として、を考えてみる：【全称関係が満たすべき条件】ここで、どのようなとに対しても、
空関係を考慮する必要がある → 述語を満たせない 😇 → を満たすことは、とても大変 😵‍💫 ⟨[[ X ]]⟩. [[ X ]] for all [[ X ]] ( , ) f ~ X f ~′ X′ : ∈ (X, X ) , ′ R [[ X ]] X X′ [[ ∅ ]] : (X, X ) ′ R for all [[ ∗ ]]

ここまでのまとめ以下それぞれを定義し、簡単に性質を確かめた：空関係恒等関係関係としての関数関数関係全称関係 (本資料では取り扱わないが) 参考文献では直積関係
やリスト関係なども記載されているので、興味があれば参照まで 📝 [[ ∅ ]] [[ I ]] T [[ f ]] [[ X ]] R [[ Y ]] ⟨[[ X ]]⟩. F([[ X ]])

※ まだ、実装が限定される性質は示していない 🤔

IV. "Parametricity" の主張

Parametricity 多相型を持つ型システムを考えるある値の型から、帰納的に導出できる関係は、を満たす【簡単な具体例
】に関して、が成り立つ ※ t T [[ T ]] (t, t) ∈ [[ T ]] : t true T boolean (true, true) ∈ [[ I ]] boolean ※ 参考文献における記述は "閉じた項" ですが、型環境を適切に考慮すれば解消可能です

実際に試してみる (1) (の型) から、という関係を帰納的に導出した上で、満たすべき条件を考える：【関係が満たすべき条件】
: f ~ ⟨T⟩. T ⇒ T ⟨[[ T ]]⟩. [[ T ]] R [[ T ]] for all for all [[ T ]] (t, t ) ′ ( (t), (t )) f ~ T f ~ T′ ′ : ∈ ∈ (T, T ) , ′ R [[ T ]], [[ T ]]

実際に試してみる (2) の部分集合として、関数の持ち上げを任意にとってみる： (T, T ) ′
R [[ g : T ⇒ T ]] ′ for all for all [[ g ]] (t, t ) ′ ( (t), (t )) f ~ T f ~ T′ ′ : ∈ ∈ (T, T ) , ′ R [[ g ]], [[ g ]]

実際に試してみる (3) 関数の持ち上げは、を満たす 2 Tuple のみ持つので： [[ g
]] (∗, g(∗)) for all for all [[ g ]] (t, ) g(t) t′ ( (t), ) f ~ T g( (t)) f ~ T (t ) f ~ T′ ′ : ∈ ∈ (T, T ) , ′ R [[ g ]], [[ g ]]

実際に試してみる (4) ここまでの状況を整理すると： t′ (t
) f ~ T′ ′ = = g(t) g( (t)) f ~ T

実際に試してみる (4) ここまでの状況を整理すると：代入して整理すると、以下の等式が得られる： t′
(t ) f ~ T′ ′ = = g(t) g( (t)) f ~ T (g(t)) = f ~ T′ g( (t)) f ~ T

実際に試してみる (4) ここまでの状況を整理すると：代入して整理すると、以下の等式が得られる： → この等式によって、の実装が限定される！
t′ (t ) f ~ T′ ′ = = g(t) g( (t)) f ~ T (g(t)) = f ~ T′ g( (t)) f ~ T f ~

Fin. 🥳

α. 自然性条件

関数関係，ふたたび (1) 2 つの関係とを用いて、 2 Tuple の各要素が関数となるような関係を定義できる： [[
X ]] : (X, X ) ′ R [[ Y ]] : (Y, Y ) ′ R [[ X ]] R [[ Y ]] : (X ⇒ Y, X ⇒ Y ) ′ ′ R (f, f ) { ′ for all (x, x ) ′ (f(x), f (x )) ′ ′ ∈ ∈ [[ X ]], [[ Y ]] }

関数関係，ふたたび (2) 2 つの関係とを取り巻く状況： [[ X ]] :
(X, X ) ′ R [[ Y ]] : (Y, Y ) ′ R

関数関係，ふたたび (3) から関数の持ち上げを、から関数の持ち上げを選ぶ： (X, X )
′ R [[ g ]] (Y, Y ) ′ R [[ h ]]

関数関係，ふたたび (3) から関数の持ち上げを、から関数の持ち上げを選ぶ： → ＼完全に可換図式／ (X, X
) ′ R [[ g ]] (Y, Y ) ′ R [[ h ]]

全称関係で "対象" を任意に動かす可換図式が任意に成立することを表し、特にの場合は自然変換といえる =
f ~ f ~′

まとめ関数関係により、可換図式が得られる全称関係により、自然変換が得られるこれより、
多相関数は自然変換であることもわかる【参考文献】『Theorems for free !』by Philip Wadler 『型システム入門 - プログラミング言語と型の理論 -』by オーム社

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