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PK戦の先攻有利は「ABBA方式」で変わるか？：
a revisit
Sports Analyst Meetup #4
@NTTドコモベンチャーズ
August 24, 2019
K_Hamada7 (@k_hmd_7)
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自己紹介
1
➢ はまだ（@k_hmd_7）
➢ 修士課程2年生（M2）
➢ オペレーションズ・リサーチ専攻
➢ スポーツに関する研究をメインにやっている
➢ 来年から，Web系企業のデータサイエンティスト
➢ 初参加です！よろしくお願いします！
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今日やること
2
➢ 前回のu++さんの発表
➢ サッカーのPKで「ABAB方式」
と「ABBA方式」を比較
➢ モンテカルロシミュレーション
により検討
【今日やること】
➢ シミュレーションではなく数式で追ってみる
➢ ABAB方式よりもABBA方式の方が公平なことを確認
➢ ABBA方式よりも公平な方式について検討
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ABAB方式？ABBA方式？
3
➢ ABAB方式（最も一般的な方式）
1 2 3 4 5 1’ 2’
A A A A A A A
B B B B B B B
実はこの方式はAが圧倒的に有利！
• 相手チームよりビハインドだと心理的なプレッシャー
（「外したらもう追いつけないかも…」）
• 結果，Aの勝率は約60%
通常ステージ サドンデスステージ
決着がつかなければ
…
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交互に最初のキッカーを
やれば良いのでは？
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ABAB方式？ABBA方式？
5
1 2 3 4 5 1’ 2’
A B A B A B A
B A B A B A B
通常ステージ
➢ ABBA方式（有名な代替案，実用化された例も！）
交互に最初に蹴れば公平なのでは？というお気持ち
実際，大幅に改善されそう
Aの勝利確率は…
ABAB：60.7%，ABBA：51.6%
（u++さんがシミュレーションにより確認）
サドンデスステージ
…
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ABAB方式？ABBA方式？
6
1 2 3 4 5 1’ 2’
A B A B A B A
B A B A B A B
通常ステージ
➢ ABBA方式（有名な代替案，実用化された例も！）
交互に最初に蹴れば公平なのでは？というお気持ち
実際，大幅に改善されそう ← 数式で追いたい
Aの勝利確率は…
ABAB：60.7%，ABBA：51.6% ← もっと公平にしたい
（u++さんがシミュレーションにより確認）
サドンデスステージ
…
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本題に入ります
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先攻チーム（A）の勝利確率
8
➢ 用いる記号
• : 通常時のPK成功確率
• : ビハインド時のPK成功確率（ < ）
• , , :
通算 回目のシュートでA，Bのスコアが 対 になる確率
•
: サドンデスステージでAが勝利する確率
➢ 先攻チームAの勝利確率
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先攻チーム（A）の勝利確率
9
➢ 用いる記号
• : 通常時のPK成功確率
• : ビハインド時のPK成功確率（ < ）
• , , :
通算 回目のシュートでA，Bのスコアが 対 になる確率
•
: サドンデスステージでAが勝利する確率
➢ 先攻チームAの勝利確率
サドンデスにならずに
勝つ確率
サドンデスになって
勝つ確率
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先攻チーム（A）の勝利確率
10
➢ 用いる記号
• : 通常時のPK成功確率
• : ビハインド時のPK成功確率（ < ）
• , , :
通算 回目のシュートでA，Bのスコアが 対 になる確率
•
: サドンデスステージでAが勝利する確率
➢ 先攻チームAの勝利確率
かんたん
めんどくさい
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（サドンデスで勝つ確率）の計算
11
➢ ABAB方式
= 1 − + [(1 − )2 + ]
A
B
Aの勝利
Bの勝利
継続
A
B
Aの勝利
Bの勝利
継続
A
B
…
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（サドンデスで勝つ確率）の計算
12
➢ ABAB方式
= 1 − + [(1 − )2 + ]
Aの勝利 サドンデス継続
続きも初めと
同じ構造
∴
=
1 −
2 − −
A
B
Aの勝利
Bの勝利
継続
A
B
Aの勝利
Bの勝利
継続
A
B
…
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（サドンデスで勝つ確率）の計算
13
➢ ABBA方式
= 1 − + [(1 − )2 + ](1 −
)
Aの勝利 サドンデス継続
最初のキッカーが入れ替わる
→ここでの
はBの勝利確率
∴
=
− + 1
+ 2 − 2 + 2
B
A
Aの勝利
Bの勝利
継続
A
B
Aの勝利
Bの勝利
継続
B
A
…
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(, , )の計算
14
下のような構造に注目する
➢ Aがシュートする場合
(, , )
( − 1, , − 1)
(, , − 1)
決める
外す
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(, , )の計算
15
下のような構造に注目する
➢ Aがシュートする場合
(, , )
( − 1, , − 1)
(, , − 1)
− 1 ≥ ⇒ w.p.
− 1 < ⇒ w.p.
≥ ⇒ w.p. 1 −
< ⇒ w.p. 1 −
決める
外す
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(, , )の計算
16
下のような構造に注目する
➢ Aがシュートする場合
(, , )
( − 1, , − 1)
(, , − 1)
− 1 ≥ ⇒ w.p.
− 1 < ⇒ w.p.
≥ ⇒ w.p. 1 −
< ⇒ w.p. 1 −
決める
外す
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(, , )の計算
17
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お待たせしました
結果です！！
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ABAB方式とABBA方式の比較
19
ABAB ABBA
シミュレーション 0.607 0.516
提案モデル 0.604 0.517
➢ パラメータ設定（u++さんの設定を踏襲）
• = 0.81
• = 0.71（Aの勝利確率0.6， = 0.81から逆算）
➢ 結果
モデルは正しく動いていそう
もっと公平な設計はないのか？
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より公平なPK戦方式
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➢ 状況設定
• サドンデスステージはABAB…で固定する
• 通常ステージの並びのみ変える
• A，Bは各ラウンドで1度ずつシュートする
つまり，25 = 32通りの組合せ
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より公平なPK戦方式
21
➢ 状況設定
• サドンデスステージはABAB…で固定する
• 通常ステージの並びのみ変える
• A，Bは各ラウンドで1度ずつシュートする
つまり，25 = 32通りの組合せ
➢ 結果
通常ステージを
B/A/B/B/A （各ラウンドの最初のキッカーのみ記載）
の順で蹴れば，先攻チームの勝利確率は0.499
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上位5つ
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順番 Aの勝利確率 0.5との差
BABBA 0.499 0.001
BABAB 0.501 0.001
ABBBB 0.497 0.003
BAABB 0.505 0.005
BBAAB 0.492 0.008
➢ サドンデスステージはAに有利
→ 通常ステージをBに有利にすることで
バランスを取っている
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下位5つ
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順番 Aの勝利確率 0.5との差
ABAAA 0.568 0.068
AABAA 0.577 0.077
AAABA 0.581 0.081
AAAAB 0.583 0.083
AAAAA 0.604 0.104
➢ Bの位置が1つずつずれていく
→ ラウンドごとに「価値」が違う
前の方がリードになりやすいため，嬉しい
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まとめ
24
➢ サッカーのPKにおいて「ABAB方式」よりも
「ABBA」方式の方が公平なことを数式的に確かめた
➢ 提案モデルを用いてB/A/B/B/Aの順に蹴れば
非常に公平であることが分かった
➢ 提案モデルから各ラウンドの価値の違いを
定量化できそう
➢ 選手の特性を考慮した最適なPK順の決定
などの問題にも繋げられそう