PK戦の先攻有利は「ABBA方式」で変わるか？：a revisit / On the fairness of penalty-shootout designs in soccer

Sports Analyst Meetup #4 (https://spoana.connpass.com/event/138392/) での発表資料．
u++さんがモンテカルロシミュレーションでやった内容 (https://speakerdeck.com/upura/pk-abba-simulation) を数式で追い，既存の方式よりも「ABBA方式」が公平なことを確認．さらに，「ABBA方式」よりも公平なPK戦の設計を提案．

Transcript

1. PK戦の先攻有利は「ABBA方式」で変わるか？： a revisit Sports Analyst Meetup #4 @NTTドコモベンチャーズ August 24, 2019 K_Hamada7 (@k_hmd_7)
2. /24 自己紹介 1 ➢ はまだ（@k_hmd_7） ➢ 修士課程2年生（M2） ➢ オペレーションズ・リサーチ専攻 ➢ スポーツに関する研究をメインにやっている ➢ 来年から，Web系企業のデータサイエンティスト ➢ 初参加です！よろしくお願いします！
3. /24 今日やること 2 ➢ 前回のu++さんの発表 ➢ サッカーのPKで「ABAB方式」 と「ABBA方式」を比較 ➢ モンテカルロシミュレーション により検討 【今日やること】 ➢ シミュレーションではなく数式で追ってみる ➢ ABAB方式よりもABBA方式の方が公平なことを確認 ➢ ABBA方式よりも公平な方式について検討
4. /24 ABAB方式？ABBA方式？ 3 ➢ ABAB方式（最も一般的な方式） 1 2 3 4 5 1’ 2’ A A A A A A A B B B B B B B 実はこの方式はAが圧倒的に有利！ • 相手チームよりビハインドだと心理的なプレッシャー （「外したらもう追いつけないかも…」） • 結果，Aの勝率は約60% 通常ステージ サドンデスステージ 決着がつかなければ …
5. 交互に最初のキッカーを やれば良いのでは？
6. /24 ABAB方式？ABBA方式？ 5 1 2 3 4 5 1’ 2’ A B A B A B A B A B A B A B 通常ステージ ➢ ABBA方式（有名な代替案，実用化された例も！） 交互に最初に蹴れば公平なのでは？というお気持ち 実際，大幅に改善されそう Aの勝利確率は… ABAB：60.7%，ABBA：51.6% （u++さんがシミュレーションにより確認） サドンデスステージ …
7. /24 ABAB方式？ABBA方式？ 6 1 2 3 4 5 1’ 2’ A B A B A B A B A B A B A B 通常ステージ ➢ ABBA方式（有名な代替案，実用化された例も！） 交互に最初に蹴れば公平なのでは？というお気持ち 実際，大幅に改善されそう ← 数式で追いたい Aの勝利確率は… ABAB：60.7%，ABBA：51.6% ← もっと公平にしたい （u++さんがシミュレーションにより確認） サドンデスステージ …
8. 本題に入ります
9. /24 先攻チーム（A）の勝利確率 8 ➢ 用いる記号 • : 通常時のPK成功確率 • : ビハインド時のPK成功確率（ < ） • , , : 通算 回目のシュートでA，Bのスコアが 対 になる確率 • : サドンデスステージでAが勝利する確率 ➢ 先攻チームAの勝利確率
10. /24 先攻チーム（A）の勝利確率 9 ➢ 用いる記号 • : 通常時のPK成功確率 • : ビハインド時のPK成功確率（ < ） • , , : 通算 回目のシュートでA，Bのスコアが 対 になる確率 • : サドンデスステージでAが勝利する確率 ➢ 先攻チームAの勝利確率 サドンデスにならずに 勝つ確率 サドンデスになって 勝つ確率
11. /24 先攻チーム（A）の勝利確率 10 ➢ 用いる記号 • : 通常時のPK成功確率 • : ビハインド時のPK成功確率（ < ） • , , : 通算 回目のシュートでA，Bのスコアが 対 になる確率 • : サドンデスステージでAが勝利する確率 ➢ 先攻チームAの勝利確率 かんたん めんどくさい
12. /24 （サドンデスで勝つ確率）の計算 11 ➢ ABAB方式 = 1 − + [(1 − )2 + ] A B Aの勝利 Bの勝利 継続 A B Aの勝利 Bの勝利 継続 A B …
13. /24 （サドンデスで勝つ確率）の計算 12 ➢ ABAB方式 = 1 − + [(1 − )2 + ] Aの勝利 サドンデス継続 続きも初めと 同じ構造 ∴ = 1 − 2 − − A B Aの勝利 Bの勝利 継続 A B Aの勝利 Bの勝利 継続 A B …
14. /24 （サドンデスで勝つ確率）の計算 13 ➢ ABBA方式 = 1 − + [(1 − )2 + ](1 − ) Aの勝利 サドンデス継続 最初のキッカーが入れ替わる →ここでの はBの勝利確率 ∴ = − + 1 + 2 − 2 + 2 B A Aの勝利 Bの勝利 継続 A B Aの勝利 Bの勝利 継続 B A …
15. /24 (, , )の計算 14 下のような構造に注目する ➢ Aがシュートする場合 (, , ) ( − 1, , − 1) (, , − 1) 決める 外す
16. /24 (, , )の計算 15 下のような構造に注目する ➢ Aがシュートする場合 (, , ) ( − 1, , − 1) (, , − 1) − 1 ≥ ⇒ w.p. − 1 < ⇒ w.p. ≥ ⇒ w.p. 1 − < ⇒ w.p. 1 − 決める 外す
17. /24 (, , )の計算 16 下のような構造に注目する ➢ Aがシュートする場合 (, , ) ( − 1, , − 1) (, , − 1) − 1 ≥ ⇒ w.p. − 1 < ⇒ w.p. ≥ ⇒ w.p. 1 − < ⇒ w.p. 1 − 決める 外す
18. /24 (, , )の計算 17
19. お待たせしました 結果です！！
20. /24 ABAB方式とABBA方式の比較 19 ABAB ABBA シミュレーション 0.607 0.516 提案モデル 0.604 0.517 ➢ パラメータ設定（u++さんの設定を踏襲） • = 0.81 • = 0.71（Aの勝利確率0.6， = 0.81から逆算） ➢ 結果 モデルは正しく動いていそう もっと公平な設計はないのか？
21. /24 より公平なPK戦方式 20 ➢ 状況設定 • サドンデスステージはABAB…で固定する • 通常ステージの並びのみ変える • A，Bは各ラウンドで1度ずつシュートする つまり，25 = 32通りの組合せ
22. /24 より公平なPK戦方式 21 ➢ 状況設定 • サドンデスステージはABAB…で固定する • 通常ステージの並びのみ変える • A，Bは各ラウンドで1度ずつシュートする つまり，25 = 32通りの組合せ ➢ 結果 通常ステージを B/A/B/B/A （各ラウンドの最初のキッカーのみ記載） の順で蹴れば，先攻チームの勝利確率は0.499
23. /24 上位5つ 22 順番 Aの勝利確率 0.5との差 BABBA 0.499 0.001 BABAB 0.501 0.001 ABBBB 0.497 0.003 BAABB 0.505 0.005 BBAAB 0.492 0.008 ➢ サドンデスステージはAに有利 → 通常ステージをBに有利にすることで バランスを取っている
24. /24 下位5つ 23 順番 Aの勝利確率 0.5との差 ABAAA 0.568 0.068 AABAA 0.577 0.077 AAABA 0.581 0.081 AAAAB 0.583 0.083 AAAAA 0.604 0.104 ➢ Bの位置が1つずつずれていく → ラウンドごとに「価値」が違う 前の方がリードになりやすいため，嬉しい
25. /24 まとめ 24 ➢ サッカーのPKにおいて「ABAB方式」よりも 「ABBA」方式の方が公平なことを数式的に確かめた ➢ 提案モデルを用いてB/A/B/B/Aの順に蹴れば 非常に公平であることが分かった ➢ 提案モデルから各ラウンドの価値の違いを 定量化できそう ➢ 選手の特性を考慮した最適なPK順の決定 などの問題にも繋げられそう